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1. (★) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,我们把锐角 $ A $ 的
对边
与斜边
的比叫做 $ \angle A $ 的正弦,记作 $ \sin A $。答案
对边；斜边
解析
在直角三角形中，锐角的正弦定义为该角的对边与斜边的比。对于$Rt\triangle ABC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$的对边是$BC$，斜边是$AB$，所以$\sin A=\frac{BC}{AB}$，即锐角$A$的对边与斜边的比叫做$\angle A$的正弦。
2. (★) 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 13 $,$ BC = 5 $,则 $ \sin A $ 的值是
$\frac{5}{13}$
。答案
$\frac{5}{13}$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=13$，$BC=5$，根据正弦定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
3. (★) 已知在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,直角边 $ AC $ 是直角边 $ BC $ 的 $ 2 $ 倍,则 $ \sin A $ 的值是
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
。答案
$\frac{\sqrt{5}}{5}$ (这里按填写分数形式要求，若题目是选择题，根据选项对应填写）
解析
在$Rt \triangle ABC$中，设$BC = x$，
因为直角边$AC$是直角边$BC$的$2$倍，
则$AC = 2x$。
根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，
可得$AB=\sqrt{(2x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{4x^{2}+x^{2}}=\sqrt{5x^{2}}=\sqrt{5}x$。
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
把$BC = x$，$AB=\sqrt{5}x$代入可得$\sin A=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
因为直角边$AC$是直角边$BC$的$2$倍，
则$AC = 2x$。
根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，
可得$AB=\sqrt{(2x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{4x^{2}+x^{2}}=\sqrt{5x^{2}}=\sqrt{5}x$。
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
把$BC = x$，$AB=\sqrt{5}x$代入可得$\sin A=\frac{x}{\sqrt{5}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
4. (★) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \sin B = \frac{3}{5} $,则 $ \frac{BC}{AB} = $
$\frac{4}{5}$
。答案
$\frac{4}{5}$（或填 $0.8$ 的分数形式相关答案表达，这里按分数形式给答案）对应的（若为填空题直接写数值）按题目要求此处应填 $\frac{4}{5}$（若题目是填空题形式）。
解析
在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据正弦函数的定义，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，已知$\sin B = \frac{3}{5}$，即$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
设$AC = 3x$，$AB = 5x$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(5x)^{2}-(3x)^{2}}=\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}=\sqrt{16x^{2}} = 4x$。
所以$\frac{BC}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$。
设$AC = 3x$，$AB = 5x$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(5x)^{2}-(3x)^{2}}=\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}=\sqrt{16x^{2}} = 4x$。
所以$\frac{BC}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$。
5. (★) 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,则下列等式成立的是【
A.$ \sin A = \frac{AC}{AB} $
B.$ \sin A = \frac{BC}{AB} $
C.$ \sin A = \frac{AC}{BC} $
D.$ \sin A = \frac{BC}{AC} $
B
】A.$ \sin A = \frac{AC}{AB} $
B.$ \sin A = \frac{BC}{AB} $
C.$ \sin A = \frac{AC}{BC} $
D.$ \sin A = \frac{BC}{AC} $
答案
B
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，故B正确。
6. (★) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ BC = 6 $,$ \sin A = \frac{3}{5} $,则 $ AB = $
10
。答案
$10$
解析
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\sin A = \frac{3}{5}$，
根据正弦函数的定义，$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$，
代入已知条件，得$\frac{6}{AB} = \frac{3}{5}$，
解这个方程，得到$AB = \frac{6 × 5}{3} = 10$。
根据正弦函数的定义，$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$，
代入已知条件，得$\frac{6}{AB} = \frac{3}{5}$，
解这个方程，得到$AB = \frac{6 × 5}{3} = 10$。
7. (★) $ Rt \triangle ABC $ 的面积为 $ 24 cm^2 $,直角边 $ AB $ 为 $ 6 cm $,$ \angle A $ 是锐角,则 $ \sin A = $
4/5
。答案
4/5
解析
在Rt△ABC中，∠A是锐角，故直角边AB、AC，斜边BC。
∵S=24cm²，AB=6cm，
∴S=1/2×AB×AC=24，即1/2×6×AC=24，解得AC=8cm。
由勾股定理得BC=√(AB²+AC²)=√(6²+8²)=10cm。
∴sinA=BC的对边/斜边=AC/BC=8/10=4/5。
∵S=24cm²，AB=6cm，
∴S=1/2×AB×AC=24，即1/2×6×AC=24，解得AC=8cm。
由勾股定理得BC=√(AB²+AC²)=√(6²+8²)=10cm。
∴sinA=BC的对边/斜边=AC/BC=8/10=4/5。
8. (★) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = \alpha $,$ BC = 3 $,则 $ AB $ 的长可以表示为
$\frac{3}{\sin \alpha}$
(用含 $ \alpha $ 的式子表示)。答案
$ \frac{3}{\sin \alpha} $（或 $ 3 \csc \alpha$（但一般写成前者形式） ，按照题目要求填写$ \frac{3}{\sin \alpha} $）
解析
在直角三角形 $ ABC $ 中，$ \angle C = 90° $，$ \angle A = \alpha $，$ BC = 3 $。
根据正弦函数的定义，$ \sin \alpha = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{AB} $。
因此，$ AB = \frac{3}{\sin \alpha} $。
根据正弦函数的定义，$ \sin \alpha = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{AB} $。
因此，$ AB = \frac{3}{\sin \alpha} $。
9. (★) 如图 28.1 - 1,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ a : c = 2 : 3 $,求 $ \sin A $ 和 $ \sin B $ 的值。
答案
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，设$a=2k$，$c=3k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{(3k)^{2}-(2k)^{2}}=\sqrt{9k^{2}-4k^{2}}=\sqrt{5k^{2}}=\sqrt{5}k$。
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
综上，$\sin A=\frac{2}{3}$，$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
由勾股定理得：$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{(3k)^{2}-(2k)^{2}}=\sqrt{9k^{2}-4k^{2}}=\sqrt{5k^{2}}=\sqrt{5}k$。
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
综上，$\sin A=\frac{2}{3}$，$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
