7. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,∠ B=30°,BC=4\ \mathrm{cm}$,以点 $C$ 为圆心、$2\ \mathrm{cm}$ 长为半径作圆,则$\odot C$ 与直线 $AB$ 的位置关系是______.(填“相交”、“相切”或“相离”)

相切

8. 如图,四边形 $ABCD$ 是$\odot O$的内接四边形,若$∠ BAD = 55°$,则$∠ C$的度数是______.

$125^{\circ}$

9. 如图，PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B，$PA=7\ \mathrm{cm}$，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，则$△ PEF$的周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$。

14

10. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6,将扇形OAB沿过点A的直线折叠,点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$O'$处,折痕交OB于点C,则$\overset{\frown}{O'B}$的长是________.

$\pi$

11. 如图,以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆,圆心为O,过点A作$AE⊥CD$,交CD的延长线于点E,已知DA平分$∠BDE$.
(1)求证:AE是$\odot O$切线.
(2)若$AE=4,CD=6$,求$\odot O$的半径和AD的长.

​$ (1)$​证明：如图，连接​$OA$​∵​$AE\perp CD，$​​$DA$​平分​$∠BDE$​∴​$∠DAE+∠ADE = 90°，$​​$∠ADE=∠ADO$​∵以四边形​$ABCD$​的对角线​$BD$​为直径作圆，圆心为​$O$​∴​$OA = OD，$​则​$∠OAD=∠ADO$​∴​$∠DAE+∠OAD = 90°，$​即​$OA\perp AE$​ 又∵​$OA$​是半径，∴​$AE$​是​$\odot O$​的切线​$ (2)$​解：如图，取​$CD$​的中点​$F，$​连接​$OF$​∴​$OF\perp CD，$​∴四边形​$AEFO$​为矩形∵​$CD = 6，$​∴​$DF=F C = 3$​​$ $​在​$Rt\triangle OF D$​中，​$OF = AE = 4$​根据勾股定理​$OD=\sqrt {OF^2+DF^2}=\sqrt {4^2+3^2} = 5$​∴​$\odot O$​的半径为​$5$​​$ $​在​$Rt\triangle AED$​中，​$AE = 4，$​​$ED=EF - DF=OA - DF=OD - DF=5 - 3 = 2$​​$ $​根据勾股定理​$AD=\sqrt {AE^2+ED^2}=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$​ ;

12. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AE$与$\odot O$相切于点$A$，$AE$与直径$BD$的延长线相交于点$E$.
(1)如图1，若$∠ ACB=71°$，求$∠ E$的度数.
(2)如图2，当$AE=AB$，$DE=2$时，求$∠ E$的度数和$\odot O$的半径.

解：​$(1)$​如图​$1，$​连接​$OA$​∵​$AE$​切​$\odot O$​于点​$A$​∴​$OA\perp AE，$​∴​$∠OAE = 90°$​∵​$∠ACB = 71°$​∴​$∠AOB = 2∠ACB=2×71°=142°$​∴​$∠E=∠AOB-∠OAE=142°-90°=52°$​​$(2)$​如图​$2，$​连接​$OA，$​设​$∠E = x$​∵​$AB = AE，$​∴​$∠ABE=∠E = x$​∵​$OA = OB，$​∴​$∠OAB=∠ABO = x$​∴​$∠AOE=∠ABO+∠OAB = 2x$​∵​$AE$​是​$\odot O$​的切线∴​$OA\perp AE，$​即​$∠OAE = 90°$​∴​$∠AOE+∠E = 90°，$​即​$2x + x = 90°$​解得​$x = 30°，$​∴​$∠E = 30°$​∴​$OA=\frac 12OE$​又∵​$OA = OD，$​∴​$OA = OD = DE$​∵​$DE = 2，$​∴​$OA = 2，$​即​$\odot O$​的半径为​$2$​ ;