8.(2024·建邺区模拟)如图,在扇形OAB中,D为$\overset{\frown}{AB}$上的点,连接AD并延长,与OB的延长线交于点C,$CD=OA,∠O=75°$,则$∠A$的度数为 （ ）
A.$35°$
B.$52.5°$
C.$70°$
D.$72°$

第8题图

第9题图

第10题图

第11题图

C

9.如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，且$OC⊥ AB$，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足$∠ OCD=25°$，连接AD，则$∠ BAD=$______．

$20^{\circ}$

10.如图,过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为点D,如果∠A=63°,那么∠θ的度数是________.

$18^{\circ}$

11.有一半圆片(其中圆心角$∠ AED=52°$)在平面直角坐标系中按如图所示放置,若点A可以沿y轴正半轴上下滑动,同时点B相应地在x轴正半轴上滑动,当$∠ OAB=n°$时,半圆片上的点D与原点O距离最大,则n的值为______.

$26$

12. 如图，AC是$\odot O$的直径，点B在圆周上（不与点A，C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交$\odot O$于点E，$∠ AOB=3∠ D$. 求证：$DE=OB$.

; 证明：连接$EO。$ $∵OB = OE，$ $∴∠B = ∠OEB。$ $∵∠OEB = ∠D + ∠DOE，$$∠AOB = 3∠D，$ $∴∠B + ∠D = 3∠D，$ $∴∠D + ∠DOE + ∠D = 3∠D，$$∴∠DOE = ∠D，$ $∴ED = EO = OB，$即$DE = OB。$

13. 如图,在$\odot O$中,$MN$为直径,正方形$ABCD$的四个顶点分别在半径$OM$,$OP$以及$\odot O$上,且$∠ POM=45°$.
(1)若$AB=2$,求$PD$的长;
(2)若$\odot O$的半径是$5$,求正方形$ABCD$的边长.

第13题图

解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​为正方形，∴​$DC = BC = AB = 2，$​​$∠DCO = ∠ABC = 90°。$​ ∵​$∠POM = 45°，$​ ∴​$CO = DC = 2，$​ ∴​$OD = \sqrt {2}CO = 2\sqrt {2}。$​​$ $​连接​$AO，$​则​$\triangle ABO$​为直角三角形， ∴​$AO = \sqrt {AB^2 + BO^2} = \sqrt {2^2 + 4^2} = 2\sqrt {5}，$​ ∵​$\odot O$​的半径为​$2\sqrt {5}，$​∴​$PD = OP - OD = 2\sqrt {5} - 2\sqrt {2}。$​​$ (2)$​解：∵四边形​$ABCD$​是正方形，∴​$∠ABC = ∠BCD = 90°，$​​$AB = BC = CD，$​∴​$∠DCO = 90°。$​ ∵​$∠POM = 45°，$​∴​$∠CDO = 45°，$​∴​$CD = CO，$​ ∴​$BO = BC + CO = BC + CD，$​∴​$BO = 2AB。$​​$ $​在​$Rt\triangle ABO$​中，​$AB^2 + BO^2 = AO^2，$​即​$AB^2 + (2AB)^2 = 5^2，$​​$ AB^2+4AB^2=25，$​​$ 5AB^2=25，$​​$ AB^2=5，$​​$ $​解得​$AB = \sqrt {5}，$​即正方形​$ABCD$​的边长为​$\sqrt {5}。$​