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1. (2023·赤峰中考)用配方法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$时,配方后正确的是 ( )
A. $(x+2)^2 = 3$
B. $(x+2)^2 = 17$
C. $(x-2)^2 = 5$
D. $(x-2)^2 = 17$
A. $(x+2)^2 = 3$
B. $(x+2)^2 = 17$
C. $(x-2)^2 = 5$
D. $(x-2)^2 = 17$
答案
C
2. (2024·盐城校级月考)把方程$x^2+6x-5=0$化成$(x+m)^2=n$的形式,则$m+n=$ ( )
A. 17
B. 14
C. 11
D. 7
A. 17
B. 14
C. 11
D. 7
答案
A
3. (2024·枣庄模拟)已知$P=x^2 - x$，$Q=x - 2$为任意实数，则$P - Q$的值 （ ）
A. 大于0
B. 等于0
C. 小于0
D. 无法确定
A. 大于0
B. 等于0
C. 小于0
D. 无法确定
答案
A
4. 教材P13练习T1变式 填空:(横线上所填数或代数式均默认大于0)
(1)$x^{2}+x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(2)$x^{2}-9x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(3)$x^{2}+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{3}{4}=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$;
(4)$x^{2}-\_\_\_\_\_\_+4a^{2}=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}(a＞0)$.
(1)$x^{2}+x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(2)$x^{2}-9x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$;
(3)$x^{2}+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{3}{4}=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}(x＞0)$;
(4)$x^{2}-\_\_\_\_\_\_+4a^{2}=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}(a＞0)$.
答案
$\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{81}{4}$ ; $\frac{9}{2}$ ; $\sqrt{3}x$ ; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $4ax$ ; $2a$
5. 当$x=$______时,代数式$5-(x-2)^2$有最大值,最大值为________;当$y=$______时,式子$y^2+2y-5$有最小值,最小值为________.
答案
2
; 5
; -1
; -6
; 5
; -1
; -6
6. 已知直角三角形的三边a、b、c，且两直角边a、b满足等式$(a^2 + b^2)^2 - 2(a^2 + b^2) - 15 = 0$，则斜边c的值为______．
答案
$\sqrt{5}$
7. 新题型 新定义（2024·苏州模拟）我们规定：
若$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1),\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=x_1x_2+y_1y_2$.例如$\boldsymbol{a}=(1,3),\boldsymbol{b}=(2,4)$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1×2+3×4=2+12=14$.已知$\boldsymbol{a}=(x-1,x+1),\boldsymbol{b}=(x+3,4)$，若$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=7$，且$-2≤ x≤3$，则$x$的值为______.
若$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1),\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=x_1x_2+y_1y_2$.例如$\boldsymbol{a}=(1,3),\boldsymbol{b}=(2,4)$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1×2+3×4=2+12=14$.已知$\boldsymbol{a}=(x-1,x+1),\boldsymbol{b}=(x+3,4)$，若$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=7$，且$-2≤ x≤3$，则$x$的值为______.
答案
$-3+\sqrt{15}$
8. (教材 P13 练习 T2 变式) 用配方法解下列方程.
(1)$x^2 - 6x = 1$;
(2)$x^2 + \frac{10}{3}x + 1 = 0$;
(3)$x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$;
(4)$(y - 2)^2 = y + 7$.
(1)$x^2 - 6x = 1$;
(2)$x^2 + \frac{10}{3}x + 1 = 0$;
(3)$x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$;
(4)$(y - 2)^2 = y + 7$.
答案
解：$x^2-6x+9=10$$ (x-3)^2=10 $∴$x_{1}=3+\sqrt {10}，$$ x_{2}=3-\sqrt {10}$ ; 解：$x^2+\frac {10}3x+(\frac 53)^2=-1+(\frac 53)^2$$(x+\frac {5}3)^2=\frac {16}9$∴$x_{1}=-\frac {1}{3}，$$x_{2}=-3$ ; 解：$x^2+4\sqrt {3}x+(2\sqrt {3})^2$$=-3+12 $$(x+2\sqrt {3})^2=9 $∴$ x_{1}=3-2 \sqrt {3}，$$x_{2}=-3-2 \sqrt {3}$ ; 解：$y^2-4y+4=y+7$$y^2-5y=3$$y^2-5y+(\frac 52)^2=3+(\frac 52)^2$$(y-\frac 52)^2=\frac {37}{4}$$y-\frac 52=±\frac {\sqrt {37}}2$$y_{1}=\frac {5+\sqrt {37}}{2}，$$y_{2}=\frac {5-\sqrt {37}}{2}$
9. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ ACB = 90°$, 以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧, 交线段$AB$于点$D$, 以点$A$为圆心,$AD$的长为半径画弧, 交线段$AC$于点$E$, 设$BC = a, AC = b$.
(1) 请你判断: 线段$AD$的长度是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根吗? 请说明理由.
(2) 若线段$AD = EC$, 求$\dfrac{a}{b}$的值.
(1) 请你判断: 线段$AD$的长度是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根吗? 请说明理由.
(2) 若线段$AD = EC$, 求$\dfrac{a}{b}$的值.
答案
解：$(1)$是。理由：$ $因为在$\triangle ABC$中，$∠ACB = 90°，$根据勾股定理可得$AB^2=AC^2+BC^2。$$ $又因为$BC = a，$$AC = b，$所以$AB^2=a^2+b^2。$$ $方程$x^2+2ax - b^2=0$变形为$x^2+2ax + a^2=a^2+b^2，$即$(x + a)^2=AB^2。$$ $因为$BD = BC = a，$所以$(x + BD)^2=AB^2，$所以线段$AD$的长度是方程$x^2+2ax - b^2=0$的一个根。$ (2)$因为$AD = EC，$$AC = 2AD = 2AE = b，$
所以$AD=\frac {b}{2}，$则$AB=a+\frac {b}{2}。$$ $又因为$AB^2=AC^2+BC^2，$所以$(a+\frac {b}{2})^2=a^2+b^2，$$ $展开得$a^2+ab+\frac {b^2}{4}=a^2+b^2，$$ $移项得$ab+\frac {b^2}{4}-b^2=0，$$ $即$ab-\frac {3b^2}{4}=0，$因为$b\neq 0(b$为直角边边长$)，$
两边同时除以$b$得$a-\frac {3}{4}b = 0，$$ $整理得$a=\frac {3}{4}b，$所以$\frac {a}{b}=\frac {3}{4}。$
所以$AD=\frac {b}{2}，$则$AB=a+\frac {b}{2}。$$ $又因为$AB^2=AC^2+BC^2，$所以$(a+\frac {b}{2})^2=a^2+b^2，$$ $展开得$a^2+ab+\frac {b^2}{4}=a^2+b^2，$$ $移项得$ab+\frac {b^2}{4}-b^2=0，$$ $即$ab-\frac {3b^2}{4}=0，$因为$b\neq 0(b$为直角边边长$)，$
两边同时除以$b$得$a-\frac {3}{4}b = 0，$$ $整理得$a=\frac {3}{4}b，$所以$\frac {a}{b}=\frac {3}{4}。$
