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9. (1)已知$(2a+1+2b)(2a-1+2b)=63$，则$a+b$的值为______；
(2)如果$(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=63$，那么$a^2+b^2$的值为______。
(2)如果$(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=63$，那么$a^2+b^2$的值为______。
答案
$\pm4$ ; 8
10. 已知关于 $ x $ 的方程 $ a(x+c)^2 + b = 0 $ 的解是 $ x_1 = -2, x_2 = 1 $（$ a、b、c $ 为常数，$ a ≠ 0 $），则方程 $ a(x + c - 2)^2 + b = 0 $ 的解是 ______，$ c = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
$x_{1}=0,x_{2}=3$ ; 0.5
11. 用直接开平方法解下列方程.
(1) $(\dfrac{x+1}{3} - x)^2 = 4$；
(2) $x^2 - 2x + 1 - 25(2x - 1)^2 = 0$；
(3) $mx^2 - 3 = x^2 + 2\ (m ≠ 1)$.
(1) $(\dfrac{x+1}{3} - x)^2 = 4$；
(2) $x^2 - 2x + 1 - 25(2x - 1)^2 = 0$；
(3) $mx^2 - 3 = x^2 + 2\ (m ≠ 1)$.
答案
解：把$\frac{x + 1}{3}-x$看作一个整体，得$\frac{x + 1}{3}-x = 2$或$\frac{x + 1}{3}-x=-2。$ 当$\frac{x + 1}{3}-x = 2$时，去分母得$x + 1-3x = 6，$
移项合并得$-2x = 5，$解得$x=-\frac{5}{2}。$ 当$\frac{x + 1}{3}-x=-2$时，去分母得$x + 1-3x=-6，$
移项合并得$-2x=-7，$解得$x=\frac{7}{2}。$ 所以$x_{1}=-\frac{5}{2},x_{2}=\frac{7}{2}。$ ; 解：化简可得$(x - 1)^{2}=25(2x - 1)^{2}，$
则$x - 1 = 5(2x - 1)$或$x - 1=-5(2x - 1)。$ 当$x - 1 = 5(2x - 1)$时，$x - 1 = 10x - 5，$
移项得$9x = 4，$解得$x=\frac{4}{9}。$ 当$x - 1=-5(2x - 1)$时，$x - 1=-10x + 5，$
移项得$11x = 6，$解得$x=\frac{6}{11}。$ 所以$x_{1}=\frac{4}{9},x_{2}=\frac{6}{11}。$ ; 解：移项得$mx^{2}-x^{2}=2 + 3，$
化简得$(m - 1)x^{2}=5。$ 因为$m\neq1，$所以$x^{2}=\frac{5}{m - 1}。$ 当$m - 1<0，$即$m<1$时，$x^{2}=\frac{5}{m - 1}<0，$
原方程无实数解； 当$m - 1>0，$即$m>1$时，$x^{2}=\frac{5}{m - 1}>0，$
原方程的解是$x=\pm\sqrt{\frac{5}{m - 1}}=\pm\frac{\sqrt{5(m - 1)}}{m - 1}。$
移项合并得$-2x = 5，$解得$x=-\frac{5}{2}。$ 当$\frac{x + 1}{3}-x=-2$时，去分母得$x + 1-3x=-6，$
移项合并得$-2x=-7，$解得$x=\frac{7}{2}。$ 所以$x_{1}=-\frac{5}{2},x_{2}=\frac{7}{2}。$ ; 解：化简可得$(x - 1)^{2}=25(2x - 1)^{2}，$
则$x - 1 = 5(2x - 1)$或$x - 1=-5(2x - 1)。$ 当$x - 1 = 5(2x - 1)$时，$x - 1 = 10x - 5，$
移项得$9x = 4，$解得$x=\frac{4}{9}。$ 当$x - 1=-5(2x - 1)$时，$x - 1=-10x + 5，$
移项得$11x = 6，$解得$x=\frac{6}{11}。$ 所以$x_{1}=\frac{4}{9},x_{2}=\frac{6}{11}。$ ; 解：移项得$mx^{2}-x^{2}=2 + 3，$
化简得$(m - 1)x^{2}=5。$ 因为$m\neq1，$所以$x^{2}=\frac{5}{m - 1}。$ 当$m - 1<0，$即$m<1$时，$x^{2}=\frac{5}{m - 1}<0，$
原方程无实数解； 当$m - 1>0，$即$m>1$时，$x^{2}=\frac{5}{m - 1}>0，$
原方程的解是$x=\pm\sqrt{\frac{5}{m - 1}}=\pm\frac{\sqrt{5(m - 1)}}{m - 1}。$
12. 已知一个等腰三角形的两边长是方程$1-(2x-11)^2=0$的两根,求该等腰三角形的面积.
答案
解：移项可得$(2x - 11)^{2}=1，$
直接开平方得$2x - 11=\pm1。$ 当$2x - 11 = 1$时，$2x = 12，$解得$x_{1}=6；$ 当$2x - 11=-1$时，$2x = 10，$解得$x_{2}=5。$ 当等腰三角形腰长为$5，$底边长为$6$时，根据勾股定理得底边上的高为$\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4，$
面积为$\frac{1}{2}×6×4 = 12；$ 当等腰三角形腰长为$6，$底边长为$5$时，根据勾股定理得底边上的高为$\sqrt{6^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{119}}{2}，$
面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}。$ 所以该等腰三角形的面积为$12$或$\frac{5\sqrt{119}}{4}。$
直接开平方得$2x - 11=\pm1。$ 当$2x - 11 = 1$时，$2x = 12，$解得$x_{1}=6；$ 当$2x - 11=-1$时，$2x = 10，$解得$x_{2}=5。$ 当等腰三角形腰长为$5，$底边长为$6$时，根据勾股定理得底边上的高为$\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4，$
面积为$\frac{1}{2}×6×4 = 12；$ 当等腰三角形腰长为$6，$底边长为$5$时，根据勾股定理得底边上的高为$\sqrt{6^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{119}}{2}，$
面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{119}}{2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}。$ 所以该等腰三角形的面积为$12$或$\frac{5\sqrt{119}}{4}。$
13. (2024·大庆期末)定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数,如$[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3$.函数$y=[x](-2≤x＜3)$的图像如图所示,则方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$的根为$x=$（ ）
A. $0$或$\sqrt{2}$或$2$
B. $0$或$\sqrt{2}$
C. $1$或$-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
A. $0$或$\sqrt{2}$或$2$
B. $0$或$\sqrt{2}$
C. $1$或$-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
答案
A
14. 若方程$\frac{1}{2}x^4 - 8 = 0$有$a$个不相等的实数根，方程$\frac{3}{x - 2} = |x - 2|$有$b$个不相等的实数根，则$a + b =$______．
答案
3
15. 对于实数 $ p、q $，我们用符号 $ \max\{p,q\} $ 表示 $ p、q $ 两数中较大的数，如：$ \max\{1,2\} = 2 $。
（1）请直接写出 $ \max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\} = \_\_\_\_\_\_ $；
（2）我们知道，当 $ m^2 = 1 $ 时，$ m = \pm1 $，利用这种方法解决下面问题：若 $ \max\{(x-1)^2,x^2\} = 4 $，求 $ x $ 的值。
（1）请直接写出 $ \max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\} = \_\_\_\_\_\_ $；
（2）我们知道，当 $ m^2 = 1 $ 时，$ m = \pm1 $，利用这种方法解决下面问题：若 $ \max\{(x-1)^2,x^2\} = 4 $，求 $ x $ 的值。
答案
$-\sqrt{3}$ ; 解：$(2) $当$x = 0.5$时，$(x - 1)^2=x^2=0.25\neq 4，$不符合题意；$ $当$x>0.5$时，$(x - 1)^2$则$x^2=4，$解得$x = 2$或$x=-2($舍去$)；$$ $当$x<0.5$时，$(x - 1)^2>x^2，$则$(x - 1)^2=4，$解得$x = 3($舍去$)$或$x=-1。$$ $故$x$的值为$2$或$-1。$
