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例4.解方程:
(1)$(x+1)^{2}-9= 0;$
解:$\because (x+1)^{2}-9= 0,(x+1)^{2}= 9,\therefore x+1= \pm 3$,即$x= -1\pm 3,\therefore x_{1}= -4,x_{2}= 2$
(2)$\frac {1}{4}(x+1)^{2}= 25.$
解:$\because \frac {1}{4}(x+1)^{2}= 25,(x+1)^{2}= 100,x+1= \pm 10,\therefore x_{1}= -11,x_{2}= 9$
分析:(1)由原式移项后可得$(x+1)^{2}= 9$,用直接开平方法即可得;(2)先将系数化为1,进一步利用直接开平方法解方程.
(1)$(x+1)^{2}-9= 0;$
解:$\because (x+1)^{2}-9= 0,(x+1)^{2}= 9,\therefore x+1= \pm 3$,即$x= -1\pm 3,\therefore x_{1}= -4,x_{2}= 2$
(2)$\frac {1}{4}(x+1)^{2}= 25.$
解:$\because \frac {1}{4}(x+1)^{2}= 25,(x+1)^{2}= 100,x+1= \pm 10,\therefore x_{1}= -11,x_{2}= 9$
分析:(1)由原式移项后可得$(x+1)^{2}= 9$,用直接开平方法即可得;(2)先将系数化为1,进一步利用直接开平方法解方程.
答案
(1)方程$(x + 1)^2 - 9 = 0$的解为$x_1 = -4$，$x_2 = 2$；
(2)方程$\frac{1}{4}(x + 1)^2 = 25$的解为$x_1 = -11$，$x_2 = 9$。
(2)方程$\frac{1}{4}(x + 1)^2 = 25$的解为$x_1 = -11$，$x_2 = 9$。
4.一元二次方程$2(x-1)^{2}= 3$的解是 ()
A.$x_{1}= 2,x_{2}= 3$
B.$x_{1}= \frac {3}{2},x_{2}= -\frac {3}{2}$
C.$x_{1}= \frac {\sqrt {6}}{2}+1,x_{2}= -\frac {\sqrt {6}}{2}+1$
D.$x_{1}= \frac {\sqrt {6}}{2}-1,x_{2}= -\frac {\sqrt {6}}{2}-1$
A.$x_{1}= 2,x_{2}= 3$
B.$x_{1}= \frac {3}{2},x_{2}= -\frac {3}{2}$
C.$x_{1}= \frac {\sqrt {6}}{2}+1,x_{2}= -\frac {\sqrt {6}}{2}+1$
D.$x_{1}= \frac {\sqrt {6}}{2}-1,x_{2}= -\frac {\sqrt {6}}{2}-1$
答案
C
5.一元二次方程$(x+6)^{2}= 16$可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是$x+6= 4$,则另一个一元一次方程是______.
答案
$ x+6=-4 $
6.用直接开平方法解一元二次方程.
(1)$2(x+3)^{2}-4= 0;$
(2)$(2x+1)^{2}= (x-1)^{2}.$
(1)$2(x+3)^{2}-4= 0;$
(2)$(2x+1)^{2}= (x-1)^{2}.$
答案
(1) $ x_{1}=-3+\sqrt{2},x_{2}=-3-\sqrt{2} $
(2) $ x_{1}=0,x_{2}=-2 $
(2) $ x_{1}=0,x_{2}=-2 $
例5.对于方程$x^{2}= m-1.$
(1)若方程有两个不相等的实数根,则$m$______;
(2)若方程有两个相等的实数根,则$m$______;
(3)若方程无实数根,则$m$______.
分析:根据方程右边分别为正数,0,负数时,可求出$m$的取值范围.
解:(1)$＞1$;(2)$=1$;(3)$＜1$
(1)若方程有两个不相等的实数根,则$m$______;
(2)若方程有两个相等的实数根,则$m$______;
(3)若方程无实数根,则$m$______.
分析:根据方程右边分别为正数,0,负数时,可求出$m$的取值范围.
解:(1)$＞1$;(2)$=1$;(3)$＜1$
答案
(1)$＞1$；(2)$=1$；(3)$＜1$
【对应训练】
7.若方程$(x-4)^{2}= a$有实数解,则$a$的取值范围是 ()
A.$a≤0$
B.$a≥0$
C.$a＞0$
D.无法确定
7.若方程$(x-4)^{2}= a$有实数解,则$a$的取值范围是 ()
A.$a≤0$
B.$a≥0$
C.$a＞0$
D.无法确定
答案
B
8.用直接开平方法解方程$(x+m)^{2}= n$,下列结论正确的是 ()
A.有两个根,为$x= \pm \sqrt {n}$
B.当$n＞0$时,有两个根,为$x= \pm \sqrt {n}-m$
C.当$x＞0$时,有两个根,为$x= \pm \sqrt {n}+m$
D.当$n≤0$时,无实数根
A.有两个根,为$x= \pm \sqrt {n}$
B.当$n＞0$时,有两个根,为$x= \pm \sqrt {n}-m$
C.当$x＞0$时,有两个根,为$x= \pm \sqrt {n}+m$
D.当$n≤0$时,无实数根
答案
B
9.若代数式$x^{2}-2x与9-2x$的值相等,则$x= $______.
答案
$ \pm 3 $
10.已知一元二次方程$(x-3)^{2}= 1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC$的底边长和腰长,求$\triangle ABC$的周长.
答案
$ \because (x-3)^{2}=1 $，$ \therefore x-3=\pm 1 $，解得，$ x_{1}=4,x_{2}=2 $，$ \because $ 一元二次方程 $ (x-3)^{2}=1 $ 的两个解恰好分别是等腰三角形 $ ABC $ 的底边长和腰长，$ \therefore $ ①当底边长和腰长分别为 4 和 2 时，$ 4=2+2 $，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是 2 和 4 时，能构成三角形，$ \therefore \triangle ABC $ 的周长为 $ 2+4+4=10 $
