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例1.利用配方法解方程$x^{2}+4x-5= 0$,经过配方,得到 ()
A.$(x+2)^{2}= 9$
B.$(x-2)^{2}= 9$
C.$(x+4)^{2}= 9$
D.$(x-4)^{2}= 9$
分析:先移项,再配方,变形后即可得出选项.
解:$x^{2}+4x-5= 0,x^{2}+4x= 5,x^{2}+4x+4= 5+4,(x+2)^{2}= 9$,故选:A.
A.$(x+2)^{2}= 9$
B.$(x-2)^{2}= 9$
C.$(x+4)^{2}= 9$
D.$(x-4)^{2}= 9$
分析:先移项,再配方,变形后即可得出选项.
解:$x^{2}+4x-5= 0,x^{2}+4x= 5,x^{2}+4x+4= 5+4,(x+2)^{2}= 9$,故选:A.
答案
A
例2.完成下列配方过程:
(1)$x^{2}+12x+$____$=(x+6)^{2}$;
(2)$x^{2}-12x+$____$=(x-$____$)^{2}$;
(3)$x^{2}-$____$+\frac {9}{16}= (x-\frac {3}{4})^{2}$;
(4)$x^{2}-2\sqrt {2}x+$____$=(x-$____$)^{2}$.
分析:原式各项利用完全平方公式的结构特征判断.
解:(1)36;(2)36,6;(3)$\frac {3}{2}x$;(4)$2,\sqrt {2}$
(1)$x^{2}+12x+$____$=(x+6)^{2}$;
(2)$x^{2}-12x+$____$=(x-$____$)^{2}$;
(3)$x^{2}-$____$+\frac {9}{16}= (x-\frac {3}{4})^{2}$;
(4)$x^{2}-2\sqrt {2}x+$____$=(x-$____$)^{2}$.
分析:原式各项利用完全平方公式的结构特征判断.
解:(1)36;(2)36,6;(3)$\frac {3}{2}x$;(4)$2,\sqrt {2}$
答案
（1）$36$；（2）$36$，$6$；（3）$\frac{3}{2}x$；（4）$2$，$\sqrt{2}$
【对应训练】
1.一元二次方程$x^{2}-2x-m= 0$,用配方法解该方程,配方后的方程为 ()
A.$(x-1)^{2}= m^{2}+1$
B.$(x-1)^{2}= m-1$
C.$(x-1)^{2}= 1-m$
D.$(x-1)^{2}= m+1$
1.一元二次方程$x^{2}-2x-m= 0$,用配方法解该方程,配方后的方程为 ()
A.$(x-1)^{2}= m^{2}+1$
B.$(x-1)^{2}= m-1$
C.$(x-1)^{2}= 1-m$
D.$(x-1)^{2}= m+1$
答案
D
2.用配方法配成一个完全平方式:
$x^{2}+4x+$____$=(x+$____$)^{2}$;
$x^{2}-3x+$____$=(x-$____$)^{2}$.
$x^{2}+4x+$____$=(x+$____$)^{2}$;
$x^{2}-3x+$____$=(x-$____$)^{2}$.
答案
4 2 $\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$
3.已知$x^{2}+6x= -1可以配成(x+p)^{2}= q$的形式,则$q= $____.
答案
8
例3.解方程:
(1)$x^{2}-2x= 4$;
解:配方$x^{2}-2x+1= 4+1,\therefore (x-1)^{2}= 5,\therefore x= 1\pm \sqrt {5},\therefore x_{1}= 1+\sqrt {5},x_{2}= 1-\sqrt {5}$
(2)$2x^{2}-4x-5= 0$;
解:$2x^{2}-4x= 5,\therefore x^{2}-2x= \frac {5}{2},\therefore x^{2}-2x+1= \frac {5}{2}+1$,即$(x-1)^{2}= \frac {7}{2},\therefore x-1= \pm \frac {\sqrt {14}}{2},x= 1\pm \frac {\sqrt {14}}{2},\therefore x_{1}= \frac {2+\sqrt {14}}{2},x_{2}= \frac {2-\sqrt {14}}{2}$
(3)$3(x-1)(x+2)= x+4$;
解:原方程变形为$3x^{2}+2x-10= 0$.两边都除以3得$x^{2}+\frac {2}{3}x-\frac {10}{3}= 0$,配方得$x^{2}+\frac {2}{3}x+(\frac {1}{3})^{2}= \frac {10}{3}+\frac {1}{9}$.即$(x+\frac {1}{3})^{2}= \frac {31}{9}$,则$x+\frac {1}{3}= \pm \frac {\sqrt {31}}{3}$,所以$x_{1}= -\frac {1+\sqrt {31}}{3},x_{2}= \frac {\sqrt {31}-1}{3}$
(4)$3x^{2}-6x= 8$.
解:方程两边都除以3得$x^{2}-2x= \frac {8}{3}$,配方得$x^{2}-2x+1= \frac {8}{3}+1$,即$(x-1)^{2}= \frac {11}{3}$,所以$x-1= \pm \frac {\sqrt {33}}{3}$,解得$x_{1}= \frac {\sqrt {33}}{3}+1,x_{2}= 1-\frac {\sqrt {33}}{3}$
分析:配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
(1)$x^{2}-2x= 4$;
解:配方$x^{2}-2x+1= 4+1,\therefore (x-1)^{2}= 5,\therefore x= 1\pm \sqrt {5},\therefore x_{1}= 1+\sqrt {5},x_{2}= 1-\sqrt {5}$
(2)$2x^{2}-4x-5= 0$;
解:$2x^{2}-4x= 5,\therefore x^{2}-2x= \frac {5}{2},\therefore x^{2}-2x+1= \frac {5}{2}+1$,即$(x-1)^{2}= \frac {7}{2},\therefore x-1= \pm \frac {\sqrt {14}}{2},x= 1\pm \frac {\sqrt {14}}{2},\therefore x_{1}= \frac {2+\sqrt {14}}{2},x_{2}= \frac {2-\sqrt {14}}{2}$
(3)$3(x-1)(x+2)= x+4$;
解:原方程变形为$3x^{2}+2x-10= 0$.两边都除以3得$x^{2}+\frac {2}{3}x-\frac {10}{3}= 0$,配方得$x^{2}+\frac {2}{3}x+(\frac {1}{3})^{2}= \frac {10}{3}+\frac {1}{9}$.即$(x+\frac {1}{3})^{2}= \frac {31}{9}$,则$x+\frac {1}{3}= \pm \frac {\sqrt {31}}{3}$,所以$x_{1}= -\frac {1+\sqrt {31}}{3},x_{2}= \frac {\sqrt {31}-1}{3}$
(4)$3x^{2}-6x= 8$.
解:方程两边都除以3得$x^{2}-2x= \frac {8}{3}$,配方得$x^{2}-2x+1= \frac {8}{3}+1$,即$(x-1)^{2}= \frac {11}{3}$,所以$x-1= \pm \frac {\sqrt {33}}{3}$,解得$x_{1}= \frac {\sqrt {33}}{3}+1,x_{2}= 1-\frac {\sqrt {33}}{3}$
分析:配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
答案
方程$x^{2}-2x = 4$的解为$x_{1}=1+\sqrt{5}$，$x_{2}=1 - \sqrt{5}$。
方程$2x^{2}-4x - 5 = 0$的解为$x_{1}=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
方程$3(x - 1)(x + 2)=x + 4$的解为$x_{1}=-\frac{1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{31}-1}{3}$。
方程$3x^{2}-6x = 8$的解为$x_{1}=\frac{\sqrt{33}}{3}+1$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{33}}{3}$。
方程$2x^{2}-4x - 5 = 0$的解为$x_{1}=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
方程$3(x - 1)(x + 2)=x + 4$的解为$x_{1}=-\frac{1 + \sqrt{31}}{3}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{31}-1}{3}$。
方程$3x^{2}-6x = 8$的解为$x_{1}=\frac{\sqrt{33}}{3}+1$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{33}}{3}$。
