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9. (2024凉山州中考)抛物线$y = \frac{2}{3}(x - 1)^2 + c经过(-2,y_1)$,$(0,y_2)$,$(\frac{5}{2},y_3)$三点,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系正确的是()
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
C. $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D. $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$
C. $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D. $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
答案
D
10. 将抛物线$y = (x + 3)^2$向下平移1个单位长度,再向右平移______个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.
答案
2 或 4 解：设抛物线向右平移 $ h $ 个单位长度，则新抛物线的解析式为 $ y = (x + 3 - h)^2 - 1 $。
$ \because $ 抛物线经过原点，$ \therefore $ 当 $ x = 0 $ 时，$ y = (3 - h)^2 - 1 = 0 $，解得 $ h = 2 $ 或 4。
$ \because $ 抛物线经过原点，$ \therefore $ 当 $ x = 0 $ 时，$ y = (3 - h)^2 - 1 = 0 $，解得 $ h = 2 $ 或 4。
11. (2025宜昌)已知点$A(m - 1,y_1)$,$B(m,y_2)都在二次函数y = a(x - 1)^2 + n$的图象上. 若$y_1 = y_2$,则$m$的值为______.
答案
$ \frac{3}{2} $
12. 如图,抛物线的顶点为$C(1,9)$,与$x轴交于A$,$B(4,0)$两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与$y轴交点为D$,求$S_{\triangle BCD}$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与$y轴交点为D$,求$S_{\triangle BCD}$.
答案
解：(1)设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 1)^2 + 9 $，代入 $ B(4, 0) $，
得 $ 9a + 9 = 0 $，$ \therefore a = -1 $，
$ \therefore $ 二次函数的解析式是 $ y = -(x - 1)^2 + 9 $，即 $ y = -x^2 + 2x + 8 $；
(2)当 $ x = 0 $ 时，$ y = 8 $，即抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ D(0, 8) $。
过点 $ C $ 作 $ CE \perp x $ 轴于点 $ E $。
$ \because S_{\triangle BCD} = S_{四边形DOEC} + S_{\triangle CEB} - S_{\triangle DOB} = \frac{1}{2} \times (8 + 9) \times 1 + \frac{1}{2} \times 3 \times 9 - \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 6 $。
得 $ 9a + 9 = 0 $，$ \therefore a = -1 $，
$ \therefore $ 二次函数的解析式是 $ y = -(x - 1)^2 + 9 $，即 $ y = -x^2 + 2x + 8 $；
(2)当 $ x = 0 $ 时，$ y = 8 $，即抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ D(0, 8) $。
过点 $ C $ 作 $ CE \perp x $ 轴于点 $ E $。
$ \because S_{\triangle BCD} = S_{四边形DOEC} + S_{\triangle CEB} - S_{\triangle DOB} = \frac{1}{2} \times (8 + 9) \times 1 + \frac{1}{2} \times 3 \times 9 - \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 6 $。
13. (2024武汉二中)如图,抛物线$y = a(x - 1)^2 - 4与x轴正半轴的交点为A$,与$y轴交于点B(0,-3)$.$P$为第四象限内抛物线上一点,$PH \perp x轴于点H$,交线段$AB于点M$.
(1)求抛物线及直线$AB$的解析式；
(2)若$PM = 2MH$,求点$P$的坐标；
(3)若$PM = BM$,求点$P$的横坐标.
(1)求抛物线及直线$AB$的解析式；
(2)若$PM = 2MH$,求点$P$的坐标；
(3)若$PM = BM$,求点$P$的横坐标.
答案
解：(1)将点 $ B(0, -3) $ 代入 $ y = a(x - 1)^2 - 4 $，
得 $ a(0 - 1)^2 - 4 = -3 $，$ \therefore a = 1 $，
$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = (x - 1)^2 - 4 $，
即 $ y = x^2 - 2x - 3 $，
令 $ y = 0 $，得 $ (x - 1)^2 - 4 = 0 $，
$ \therefore x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $，$ \therefore A(3, 0) $。
$ \because B(0, -3) $，
$ \therefore $ 易求得直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = x - 3 $；
(2)设 $ P(m, m^2 - 2m - 3) $，
则 $ M(m, m - 3) $，$ H(m, 0) $，
$ MH = 3 - m $，
$ PM = m - 3 - (m^2 - 2m - 3) = -m^2 + 3m $。
$ \because PM = 2MH $，
$ \therefore -m^2 + 3m = 2(3 - m) $，
解得 $ m_1 = 2 $，$ m_2 = 3 $（舍），
$ \therefore P(2, -3) $；
(3)由(2)可知，
$ PM = -m^2 + 3m $，
$ \because OA = OB $，$ OA \perp OB $，
$ \therefore \triangle AOB $ 是等腰三角形，易求得 $ BM = \sqrt{2}m $。
又 $ \because PM = BM $，
$ \therefore -m^2 + 3m = \sqrt{2}m $，
解得 $ m_1 = 0 $，$ m_2 = 3 - \sqrt{2} $，
$ \because 0 ＜ m ＜ 3 $，$ \therefore m = 3 - \sqrt{2} $，
$ \therefore $ 点 $ P $ 的横坐标为 $ 3 - \sqrt{2} $。
得 $ a(0 - 1)^2 - 4 = -3 $，$ \therefore a = 1 $，
$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = (x - 1)^2 - 4 $，
即 $ y = x^2 - 2x - 3 $，
令 $ y = 0 $，得 $ (x - 1)^2 - 4 = 0 $，
$ \therefore x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $，$ \therefore A(3, 0) $。
$ \because B(0, -3) $，
$ \therefore $ 易求得直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = x - 3 $；
(2)设 $ P(m, m^2 - 2m - 3) $，
则 $ M(m, m - 3) $，$ H(m, 0) $，
$ MH = 3 - m $，
$ PM = m - 3 - (m^2 - 2m - 3) = -m^2 + 3m $。
$ \because PM = 2MH $，
$ \therefore -m^2 + 3m = 2(3 - m) $，
解得 $ m_1 = 2 $，$ m_2 = 3 $（舍），
$ \therefore P(2, -3) $；
(3)由(2)可知，
$ PM = -m^2 + 3m $，
$ \because OA = OB $，$ OA \perp OB $，
$ \therefore \triangle AOB $ 是等腰三角形，易求得 $ BM = \sqrt{2}m $。
又 $ \because PM = BM $，
$ \therefore -m^2 + 3m = \sqrt{2}m $，
解得 $ m_1 = 0 $，$ m_2 = 3 - \sqrt{2} $，
$ \because 0 ＜ m ＜ 3 $，$ \therefore m = 3 - \sqrt{2} $，
$ \therefore $ 点 $ P $ 的横坐标为 $ 3 - \sqrt{2} $。
