1. 如图,$AC$,$BD$ 交于点 $E$,$AE = BE$,$\angle ADE + \angle BCE = 180^{\circ}$,$\angle D ＞ \angle C$。求证：$AD = BC$。

证明:在 EC 上截取 $ EF = ED $.
$ \because ∠DEA = ∠FEB $, $ AE = BE $,
$ \therefore △DEA ≌ △FEB $,
$ \therefore AD = BF $, $ ∠D = ∠BFE $.
$ \because ∠D + ∠C = ∠BFE + ∠BFC = 180^\circ $,
$ \therefore ∠C = ∠BFC $,
$ \therefore BF = BC $,
$ \therefore AD = BC $.

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$ 在 $AB$ 上,点 $E$ 在 $AC$ 上,$\angle BDE = \angle C$,$AE = AB$。求证：$DE = BC$。

证明:在 AC 上取点 F,使 $ BF = BC $.
$ \therefore ∠C = ∠BFC = ∠BDE $,
$ \therefore ∠AFB = ∠ADE $.
又 $ \because ∠A = ∠A $, $ AE = AB $,
$ \therefore △ADE ≌ △AFB $,
$ \therefore DE = BF = BC $.

3. 如图,$AE$,$BC$ 交于点 $D$,且 $AB = CE$,$\angle B + \angle DCE = 180^{\circ}$。求证：$AD = DE$。

证明:方法一:作 $ AF // CE $ 交 BC 于点 F,证 $ AB = AF = CE $, $ △ADF ≌ △EDC $;
方法二:作 $ EF // AB $ 交 BC 的延长线于点 F,证 $ EF = CE = AB $, $ △ABD ≌ △EFD $;
方法三:若过点 A 作 $ AM ⊥ BD $ 于点 M,过点 E 作 $ EN ⊥ CD $ 于点 N. 证 $ △ABM ≌ △ECN $, $ △AMD ≌ △END $ 也可.
注:延长 BA, EC 交于点 M,条件 $ ∠B + ∠DCE = 180^\circ $,实质隐藏着 $ △BCM $ 是等腰三角形.