1. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC = 2∠B$,$CD平分∠ACB交AB于点D$. 求证:$AC + AD = BC$(用三种方法).

证明: 方法一: 延长 CA 至点 E, 使 EA = AD, 证 △CDE ≌ △CDB 即可;
方法二: 延长 DA 至点 E, 使 EA = AC, 证 ED = EC = BC 即可;
方法三: 在 BC 上截取 CE = AC, 证 AD = DE = BE 即可.
【点评】方法一, 方法二实质是补短法, 方法三实质是截长法.

2. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC = 2∠C$,$AD⊥BC$,垂足为$D$,若$BD = 2$,$CD = 8$,求$AB$的长(用两种方法).

解: 方法一: (截短法) 在 CD 上截取 DE = BD = 2, 连接 AE.
∵ AD ⊥ BC,
∴ AB = AE,
∴ ∠AEB = ∠B = 2∠C.
∵ ∠AEB = ∠C + ∠EAC,
∴ ∠C = ∠EAC,
∴ AE = EC = CD - DE = 6.
∵ AE = AB,
∴ AB = 6;
方法二: (延长法) 延长 DB 至点 F, 使得 BF = AB, 连接 AF,
∴ ∠F = ∠BAF,
∴ ∠ABC = ∠F + ∠BAF = 2∠F.
∵ ∠ABC = 2∠C,
∴ ∠F = ∠C,
∴ AF = AC.
∵ AD ⊥ BC,
∴ FD = DC = 8.
∵ BD = 2,
∴ FB = FD - BD = 6,
∴ AB = FB = 6.