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活动1 拼图小游戏
活动目标
1. 通过数学活动,探索用字母表示数,能根据问题情境列代数式.
2. 会求代数式的值,能解决与图形相关的规律探索问题.
活动导引
某校课外活动小组组织大家参加用火柴棍拼图的游戏,如图所示,用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形.
内容探究
探究拼成n个正方形需用多少根火柴棍
动手拼图探究,思考下列问题:
1. 如图①所示,拼1个正方形,需要4根火柴棍;如图②所示,拼2个正方形,需要
2. 拼10个这样的正方形,需要
3. 拼100个这样的正方形,需要多少根火柴棍?你是怎样得到的?
4. 如果用n表示所拼正方形的个数,那么拼n个这样的正方形,需要多少根火柴棍?
5. 根据上面你得到的计算方法,拼200个这样的正方形,需要多少根火柴?
活动目标
1. 通过数学活动,探索用字母表示数,能根据问题情境列代数式.
2. 会求代数式的值,能解决与图形相关的规律探索问题.
活动导引
某校课外活动小组组织大家参加用火柴棍拼图的游戏,如图所示,用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形.
内容探究
探究拼成n个正方形需用多少根火柴棍
动手拼图探究,思考下列问题:
1. 如图①所示,拼1个正方形,需要4根火柴棍;如图②所示,拼2个正方形,需要
7
根火柴;如图③所示,拼3个正方形,需要10
根火柴棍.2. 拼10个这样的正方形,需要
31
根火柴棍.3. 拼100个这样的正方形,需要多少根火柴棍?你是怎样得到的?
4. 如果用n表示所拼正方形的个数,那么拼n个这样的正方形,需要多少根火柴棍?
5. 根据上面你得到的计算方法,拼200个这样的正方形,需要多少根火柴?
答案
1. 7 10
2. 31
3. 解:拼100个这样的正方形,需要301根火柴棍.因为4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,…;所以拼100个这样的正方形,需要3×100+1=301(根)火柴棍.
4. 解:拼n个这样的正方形,需要(3n+1)根火柴棍.
5. 解:拼200个这样的正方形,需要601根火柴棍.
2. 31
3. 解:拼100个这样的正方形,需要301根火柴棍.因为4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,…;所以拼100个这样的正方形,需要3×100+1=301(根)火柴棍.
4. 解:拼n个这样的正方形,需要(3n+1)根火柴棍.
5. 解:拼200个这样的正方形,需要601根火柴棍.
解析
【分析】
解决本题可按照“观察计数→找变化规律→推导通用公式→代入数值计算”的思路展开：首先数出前3个图形的火柴棍数量，对比可知每多拼1个正方形，火柴棍数量固定增加3根；再结合前几个图形的火柴棍数量特征，推导出拼n个正方形时火柴棍数量的代数式；最后将题目给出的正方形个数代入代数式计算，即可得到对应结果。
【解析】
1. 直接观察计数：图②是拼2个正方形，数得需要7根火柴棍；图③是拼3个正方形，数得需要10根火柴棍。
2. 先归纳规律：拼1个正方形需要$4=3×1+1$根火柴棍，拼2个需要$7=3×2+1$根，拼3个需要$10=3×3+1$根，由此可得拼k个正方形需要$(3k+1)$根火柴棍。当$k=10$时，$3×10+1=31$，即拼10个正方形需要31根火柴棍。
3. 当$k=100$时，代入规律公式得$3×100+1=301$，因此拼100个正方形需要301根火柴棍。
4. 若用n表示正方形的个数，根据上述规律可得，拼n个正方形需要$(3n+1)$根火柴棍。
5. 当$n=200$时，代入公式得$3×200+1=601$，因此拼200个正方形需要601根火柴棍。
【答案】
1. $\boxed{7}$；$\boxed{10}$
2. $\boxed{31}$
3. 301根，推导：由$4=3×1+1$，$7=3×2+1$，$10=3×3+1$，可得拼100个正方形需要$3×100+1=301$（根）
4. $\boxed{(3n+1)}$根
5. $\boxed{601}$根
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察前几个图形的数量差异找到固定增量，进而归纳出通用的代数式，再代入具体数值计算，能够有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
解决本题可按照“观察计数→找变化规律→推导通用公式→代入数值计算”的思路展开：首先数出前3个图形的火柴棍数量，对比可知每多拼1个正方形，火柴棍数量固定增加3根；再结合前几个图形的火柴棍数量特征，推导出拼n个正方形时火柴棍数量的代数式；最后将题目给出的正方形个数代入代数式计算，即可得到对应结果。
【解析】
1. 直接观察计数：图②是拼2个正方形，数得需要7根火柴棍；图③是拼3个正方形，数得需要10根火柴棍。
2. 先归纳规律：拼1个正方形需要$4=3×1+1$根火柴棍，拼2个需要$7=3×2+1$根，拼3个需要$10=3×3+1$根，由此可得拼k个正方形需要$(3k+1)$根火柴棍。当$k=10$时，$3×10+1=31$，即拼10个正方形需要31根火柴棍。
3. 当$k=100$时，代入规律公式得$3×100+1=301$，因此拼100个正方形需要301根火柴棍。
4. 若用n表示正方形的个数，根据上述规律可得，拼n个正方形需要$(3n+1)$根火柴棍。
5. 当$n=200$时，代入公式得$3×200+1=601$，因此拼200个正方形需要601根火柴棍。
【答案】
1. $\boxed{7}$；$\boxed{10}$
2. $\boxed{31}$
3. 301根，推导：由$4=3×1+1$，$7=3×2+1$，$10=3×3+1$，可得拼100个正方形需要$3×100+1=301$（根）
4. $\boxed{(3n+1)}$根
5. $\boxed{601}$根
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察前几个图形的数量差异找到固定增量，进而归纳出通用的代数式，再代入具体数值计算，能够有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
1. 如图所示,用火柴棍拼成一排由6个三角形组成的图形,需要
13
根火柴棍,小亮用2025根火柴棍,可以拼出1 012
个这样的三角形. 答案
1. 13 1 012
解析
【分析】
这是图形规律探究类题型，解题思路如下：首先从少量三角形对应的火柴棍数量入手找变化规律：1个三角形需要3根火柴棍，每新增1个三角形时，会和相邻的前一个三角形共用1条边，因此仅需要额外增加2根火柴棍，最终可推导出n个三角形所需火柴棍的数量公式为$2n+1$（n为正整数，代表三角形的个数）。第一问已知三角形个数为6，代入公式即可算出火柴棍总数；第二问已知火柴棍总数，代入公式列一元一次方程就能求出三角形的个数。
【解析】
第一步：推导规律
1个三角形：火柴棍数为$3=2×1+1$
2个三角形：火柴棍数为$5=2×2+1$
3个三角形：火柴棍数为$7=2×3+1$
……
综上，n个三角形需要的火柴棍数量为$\boldsymbol{2n+1}$根。
第二步：计算6个三角形需要的火柴棍数
将$n=6$代入公式，得：
$2×6+1=13$（根）
第三步：计算2025根火柴棍可拼的三角形个数
令$2n+1=2025$，解方程：
移项得：$2n=2025-1=2024$
系数化为1得：$n=2024÷2=1012$（个）
【答案】
13；1012
【知识点】
图形找规律、一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是观察到新增三角形时共用边的特点，从而得出火柴棍数量和三角形个数的对应规律，再结合代数计算求解，是规律探究题中较为典型的基础题型。
【难度系数】
0.7
这是图形规律探究类题型，解题思路如下：首先从少量三角形对应的火柴棍数量入手找变化规律：1个三角形需要3根火柴棍，每新增1个三角形时，会和相邻的前一个三角形共用1条边，因此仅需要额外增加2根火柴棍，最终可推导出n个三角形所需火柴棍的数量公式为$2n+1$（n为正整数，代表三角形的个数）。第一问已知三角形个数为6，代入公式即可算出火柴棍总数；第二问已知火柴棍总数，代入公式列一元一次方程就能求出三角形的个数。
【解析】
第一步：推导规律
1个三角形：火柴棍数为$3=2×1+1$
2个三角形：火柴棍数为$5=2×2+1$
3个三角形：火柴棍数为$7=2×3+1$
……
综上，n个三角形需要的火柴棍数量为$\boldsymbol{2n+1}$根。
第二步：计算6个三角形需要的火柴棍数
将$n=6$代入公式，得：
$2×6+1=13$（根）
第三步：计算2025根火柴棍可拼的三角形个数
令$2n+1=2025$，解方程：
移项得：$2n=2025-1=2024$
系数化为1得：$n=2024÷2=1012$（个）
【答案】
13；1012
【知识点】
图形找规律、一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是观察到新增三角形时共用边的特点，从而得出火柴棍数量和三角形个数的对应规律，再结合代数计算求解，是规律探究题中较为典型的基础题型。
【难度系数】
0.7
