登录
12. 学完“3.2 从有理数到实数”一课后，老师布置了这样一道作业题:请把实数$\sqrt{\frac{9}{4}},-π,-\sqrt{4},\sqrt{8}$在数轴上表示出来,并比较它们的大小(用“＜”连接)。老师在巡视时看到乐乐是这样表示的:
老师看了后,问道:“乐乐,你标在数轴上的两个点对应题中的两个无理数,是吗?”乐乐点点头。
老师又说:“你这两个无理数对应的点找得非常准确,遗憾的是没有完成全部解答。”你能帮助乐乐完成这个题目吗?试一试。
老师看了后,问道:“乐乐,你标在数轴上的两个点对应题中的两个无理数,是吗?”乐乐点点头。
老师又说:“你这两个无理数对应的点找得非常准确,遗憾的是没有完成全部解答。”你能帮助乐乐完成这个题目吗?试一试。
答案
12. 如图,$-π＜-\sqrt{4}＜\sqrt{\frac{9}{4}}＜\sqrt{8}$。
解析
【分析】
解题时先按以下思路思考：第一步先化简题目中可开方的数，得到有理数的准确值；第二步判断四个数中的无理数，对应乐乐已经标注的两个数轴上的点，明确两个无理数的左右位置；第三步将剩下的两个有理数标注到数轴对应的位置；最后根据“数轴上右侧的数始终大于左侧的数”的规律，就能按从小到大的顺序排列四个数。
【解析】
1. 先化简各数：
$-\sqrt{4}=-2$，$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1.5$；
2. 判断无理数并估算大小：
$-π\approx-3.14$、$\sqrt{8}\approx2.83$，二者都是无理数，对应乐乐标注在数轴上左边、右边的两个点；
3. 将四个数全部标注在数轴上（如参考图所示），根据数轴上数的大小规则，从小到大排列得：
$-π＜-\sqrt{4}＜\sqrt{\frac{9}{4}}＜\sqrt{8}$
【答案】
如图,$-π＜-\sqrt{4}＜\sqrt{\frac{9}{4}}＜\sqrt{8}$。
【知识点】
实数大小比较，数轴与实数的对应关系，无理数的概念
【点评】
本题属于实数相关的基础应用题，核心是掌握实数的化简方法、无理数的识别方法，以及数轴比较实数大小的规则，解题时注意要先估算无理数的近似值来确定其在数轴上的位置。
【难度系数】
0.7
解题时先按以下思路思考：第一步先化简题目中可开方的数，得到有理数的准确值；第二步判断四个数中的无理数，对应乐乐已经标注的两个数轴上的点，明确两个无理数的左右位置；第三步将剩下的两个有理数标注到数轴对应的位置；最后根据“数轴上右侧的数始终大于左侧的数”的规律，就能按从小到大的顺序排列四个数。
【解析】
1. 先化简各数：
$-\sqrt{4}=-2$，$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1.5$；
2. 判断无理数并估算大小：
$-π\approx-3.14$、$\sqrt{8}\approx2.83$，二者都是无理数，对应乐乐标注在数轴上左边、右边的两个点；
3. 将四个数全部标注在数轴上（如参考图所示），根据数轴上数的大小规则，从小到大排列得：
$-π＜-\sqrt{4}＜\sqrt{\frac{9}{4}}＜\sqrt{8}$
【答案】
如图,$-π＜-\sqrt{4}＜\sqrt{\frac{9}{4}}＜\sqrt{8}$。
【知识点】
实数大小比较，数轴与实数的对应关系，无理数的概念
【点评】
本题属于实数相关的基础应用题，核心是掌握实数的化简方法、无理数的识别方法，以及数轴比较实数大小的规则，解题时注意要先估算无理数的近似值来确定其在数轴上的位置。
【难度系数】
0.7
13. 如图，直径为2的圆从数轴上表示-1的点出发，沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数为
$-1+2π$
。答案
13. $-1+2π$
解析
【分析】
解题时先明确：圆在数轴上无滑动滚动一周，移动的总距离等于圆的周长。第一步先根据圆的直径求出周长，再结合滚动方向是沿数轴正方向（向右），用起点对应的数加上移动的距离，即可求出点A表示的数。
【解析】
1. 计算圆的周长：已知圆的直径为2，根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为直径），可得周长$C=2π$。
2. 确定点A的数值：圆从数轴上表示$-1$的点出发，沿数轴正方向滚动一周，移动的距离为$2π$，因此点A表示的数为起点数加上移动距离，即$-1 + 2π$。
【答案】
$-1+2π$
【知识点】
圆的周长计算，数轴的应用，实数运算
【点评】
本题将圆的周长知识与数轴的知识点结合考查，解题关键是理解无滑动滚动时圆移动的路程等于自身周长，同时掌握数轴上向右移动对应数值增加的规律，属于基础的综合应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确：圆在数轴上无滑动滚动一周，移动的总距离等于圆的周长。第一步先根据圆的直径求出周长，再结合滚动方向是沿数轴正方向（向右），用起点对应的数加上移动的距离，即可求出点A表示的数。
【解析】
1. 计算圆的周长：已知圆的直径为2，根据圆的周长公式$C=π d$（$d$为直径），可得周长$C=2π$。
2. 确定点A的数值：圆从数轴上表示$-1$的点出发，沿数轴正方向滚动一周，移动的距离为$2π$，因此点A表示的数为起点数加上移动距离，即$-1 + 2π$。
【答案】
$-1+2π$
【知识点】
圆的周长计算，数轴的应用，实数运算
【点评】
本题将圆的周长知识与数轴的知识点结合考查，解题关键是理解无滑动滚动时圆移动的路程等于自身周长，同时掌握数轴上向右移动对应数值增加的规律，属于基础的综合应用题。
【难度系数】
0.7
14. 如图1,有一个底面积为$10π \mathrm{cm}^2$,高为8cm的圆柱形魔方,现打算把它放进一个如图2所示的长方体盒子里,盒子底面为边长7cm的正方形,高为9cm。
(1)这个魔方底面圆的直径是多少?
(2)它能放进盒子吗?为什么?
(1)这个魔方底面圆的直径是多少?
(2)它能放进盒子吗?为什么?
答案
14. (1)设这个魔方底面圆的半径为rcm,根据半径与面积的关系得$πr^2=10π$,$r^2=10$,$r=\sqrt{10}$,所以直径为$2\sqrt{10}$ cm。答:这个魔方底面圆的直径为$2\sqrt{10}$ cm。
(2)能放进去。理由如下:因为10＜12.25,所以$\sqrt{10}＜3.5$,所以$2\sqrt{10}＜7$,又因为8＜9,即魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长,且高小于长方体盒子的高,所以能放进去。
(2)能放进去。理由如下:因为10＜12.25,所以$\sqrt{10}＜3.5$,所以$2\sqrt{10}＜7$,又因为8＜9,即魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长,且高小于长方体盒子的高,所以能放进去。
解析
【分析】
第(1)问求底面圆直径：已知圆柱底面积，我们可以先利用圆的面积公式$S=π r^2$，代入已知底面积列方程求出半径，再将半径乘2即可得到直径。
第(2)问判断能否放入盒子：要让圆柱放进长方体盒子，需同时满足两个要求：第一，圆柱底面圆的直径不能超过盒子底面正方形的边长，保证底面可以放入；第二，圆柱的高不能超过盒子的高，保证高度足够。我们只需要分别比较这两组数据的大小，若都满足要求就能放入，反之则不能。
【解析】
(1) 设魔方底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式可得：
$π r^2 = 10π$
等式两边同时除以$π$，得$r^2=10$
因为半径为正数，所以$r=\sqrt{10}$
则底面圆的直径为$2r=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
(2) 能放进盒子，理由如下：
首先比较底面尺寸：
因为$3.5^2=12.25$，且$10＜12.25$，所以$\sqrt{10}＜3.5$，两边同时乘2得$2\sqrt{10}＜7$，即圆柱底面直径小于盒子底面正方形的边长，底面可以放入。
再比较高度：圆柱的高为$8\ \mathrm{cm}$，盒子的高为$9\ \mathrm{cm}$，$8＜9$，高度满足要求。
综上，该魔方能放进盒子。
【答案】
(1) 这个魔方底面圆的直径为$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$；
(2) 能放进去，因为魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体盒子的高。
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 实数大小比较
3. 立体图形放置判断
【点评】
本题结合生活场景考查基础几何计算和实数的大小比较，解题的核心是明确圆柱放入长方体盒的判断条件，分别对比底面尺寸和高度即可，注重考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问求底面圆直径：已知圆柱底面积，我们可以先利用圆的面积公式$S=π r^2$，代入已知底面积列方程求出半径，再将半径乘2即可得到直径。
第(2)问判断能否放入盒子：要让圆柱放进长方体盒子，需同时满足两个要求：第一，圆柱底面圆的直径不能超过盒子底面正方形的边长，保证底面可以放入；第二，圆柱的高不能超过盒子的高，保证高度足够。我们只需要分别比较这两组数据的大小，若都满足要求就能放入，反之则不能。
【解析】
(1) 设魔方底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式可得：
$π r^2 = 10π$
等式两边同时除以$π$，得$r^2=10$
因为半径为正数，所以$r=\sqrt{10}$
则底面圆的直径为$2r=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
(2) 能放进盒子，理由如下：
首先比较底面尺寸：
因为$3.5^2=12.25$，且$10＜12.25$，所以$\sqrt{10}＜3.5$，两边同时乘2得$2\sqrt{10}＜7$，即圆柱底面直径小于盒子底面正方形的边长，底面可以放入。
再比较高度：圆柱的高为$8\ \mathrm{cm}$，盒子的高为$9\ \mathrm{cm}$，$8＜9$，高度满足要求。
综上，该魔方能放进盒子。
【答案】
(1) 这个魔方底面圆的直径为$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$；
(2) 能放进去，因为魔方底面圆的直径小于长方体盒子底面的边长，且高小于长方体盒子的高。
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 实数大小比较
3. 立体图形放置判断
【点评】
本题结合生活场景考查基础几何计算和实数的大小比较，解题的核心是明确圆柱放入长方体盒的判断条件，分别对比底面尺寸和高度即可，注重考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
15. 如图,数轴上右边两个边长为1的小正方形可以通过拆分拼接成左边一个大正方形。
(1)这个大正方形的边长为
(2)作图:在如图数轴上作出实数“$\sqrt{2}$”对应的点P(要求保留作图痕迹)。
(3)在(2)的基础上,在数轴上通过尺规作图来判断$3-2×\sqrt{2}$是正数还是负数？
(1)这个大正方形的边长为
$\sqrt{2}$
。(2)作图:在如图数轴上作出实数“$\sqrt{2}$”对应的点P(要求保留作图痕迹)。
(3)在(2)的基础上,在数轴上通过尺规作图来判断$3-2×\sqrt{2}$是正数还是负数？
答案
15. (1)大正方形的面积是2,所以大正方形的边长是$\sqrt{2}$。故答案为$\sqrt{2}$。
(2)如图,以刻度0为圆心O,以OA为半径画弧交数轴的正半轴于点P,则点P所表示的数是$\sqrt{2}$。
(3)$3-2×\sqrt{2}$是正数,作图验证如下:如图,由(2)可得$OP=\sqrt{2}$,再在点P的右侧的数轴上截取$PQ=OP=\sqrt{2}$,则$OQ=2\sqrt{2}$,此时点Q在数轴上表示3的点的左侧,即$3＞2\sqrt{2}$,所以$3-2×\sqrt{2}$是正数。
解析
【分析】
(1)求大正方形边长时，先计算其面积：大正方形由2个边长为1的小正方形拼接得到，每个小正方形面积为1，因此大正方形总面积为2，再根据正方形边长是面积的算术平方根，即可求出边长。
(2)要在数轴上作出$\sqrt{2}$对应的点，首先明确边长为1的正方形的对角线长度为$\sqrt{2}$，利用圆规截取该对角线的长度，以原点为圆心画弧，与数轴正半轴的交点就是所求的点P。
(3)判断$3-2\sqrt{2}$的正负，本质是比较3和$2\sqrt{2}$的大小：先在数轴上作出$2\sqrt{2}$对应的点，通过观察该点与表示3的点的位置关系，就能判断两个数的大小，进而得到代数式的正负。
【解析】
(1)每个边长为1的小正方形面积为$1×1=1$，两个小正方形的面积和为$1+1=2$，即大正方形的面积为2。设大正方形边长为$a$，则$a^2=2$，又$a$为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
(2)边长为1的正方形对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，以数轴上刻度0对应的点为圆心O，以该对角线长（即OA）为半径画弧，交数轴正半轴于点P，点P即为$\sqrt{2}$对应的点，保留圆弧作图痕迹即可。
(3)在(2)的基础上，在点P右侧的数轴上截取线段$PQ=OP=\sqrt{2}$，则$OQ=OP+PQ=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。观察数轴可得，点Q在表示3的点的左侧，因此$2\sqrt{2}＜3$，移项可得$3-2\sqrt{2}＞0$，即$3-2\sqrt{2}$是正数。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$
(2)如图,以刻度0为圆心O,以OA为半径画弧交数轴的正半轴于点P,则点P所表示的数是$\sqrt{2}$。
(3)$3-2×\sqrt{2}$是正数,作图验证如下:如图,由(2)可得$OP=\sqrt{2}$,再在点P的右侧的数轴上截取$PQ=OP=\sqrt{2}$,则$OQ=2\sqrt{2}$,此时点Q在数轴上表示3的点的左侧,即$3＞2\sqrt{2}$,所以$3-2×\sqrt{2}$是正数。
【知识点】
算术平方根，实数与数轴，尺规作图
【点评】
本题将图形拼接、数轴知识与实数运算结合，既考查了无理数的几何表示方法，也考查了实数大小比较的思路，体现了数形结合的思想，有助于加深对无理数和实数性质的理解。
【难度系数】
0.7
(1)求大正方形边长时，先计算其面积：大正方形由2个边长为1的小正方形拼接得到，每个小正方形面积为1，因此大正方形总面积为2，再根据正方形边长是面积的算术平方根，即可求出边长。
(2)要在数轴上作出$\sqrt{2}$对应的点，首先明确边长为1的正方形的对角线长度为$\sqrt{2}$，利用圆规截取该对角线的长度，以原点为圆心画弧，与数轴正半轴的交点就是所求的点P。
(3)判断$3-2\sqrt{2}$的正负，本质是比较3和$2\sqrt{2}$的大小：先在数轴上作出$2\sqrt{2}$对应的点，通过观察该点与表示3的点的位置关系，就能判断两个数的大小，进而得到代数式的正负。
【解析】
(1)每个边长为1的小正方形面积为$1×1=1$，两个小正方形的面积和为$1+1=2$，即大正方形的面积为2。设大正方形边长为$a$，则$a^2=2$，又$a$为正数，因此$a=\sqrt{2}$。
(2)边长为1的正方形对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，以数轴上刻度0对应的点为圆心O，以该对角线长（即OA）为半径画弧，交数轴正半轴于点P，点P即为$\sqrt{2}$对应的点，保留圆弧作图痕迹即可。
(3)在(2)的基础上，在点P右侧的数轴上截取线段$PQ=OP=\sqrt{2}$，则$OQ=OP+PQ=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。观察数轴可得，点Q在表示3的点的左侧，因此$2\sqrt{2}＜3$，移项可得$3-2\sqrt{2}＞0$，即$3-2\sqrt{2}$是正数。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$
(2)如图,以刻度0为圆心O,以OA为半径画弧交数轴的正半轴于点P,则点P所表示的数是$\sqrt{2}$。
(3)$3-2×\sqrt{2}$是正数,作图验证如下:如图,由(2)可得$OP=\sqrt{2}$,再在点P的右侧的数轴上截取$PQ=OP=\sqrt{2}$,则$OQ=2\sqrt{2}$,此时点Q在数轴上表示3的点的左侧,即$3＞2\sqrt{2}$,所以$3-2×\sqrt{2}$是正数。
【知识点】
算术平方根，实数与数轴，尺规作图
【点评】
本题将图形拼接、数轴知识与实数运算结合，既考查了无理数的几何表示方法，也考查了实数大小比较的思路，体现了数形结合的思想，有助于加深对无理数和实数性质的理解。
【难度系数】
0.7
