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1. 无理数:无限3 $是有理数。
不循环
小数。常见无理数类型:①开方开不尽的数,如$\sqrt{2}$;②带π的数,如$\frac{π}{2}$;③构造数,如1.010010001…(两个“1”之间依次多一个“0”)。注意:$\frac{22}{7}$,$\sqrt{4}$,$0.答案
1. 不循环
解析
【分析】
本题考查无理数的基本定义，解题时首先回忆实数的分类：有理数包括整数、分数，可对应有限小数或无限循环小数；剩下的无限且不循环的小数就是无理数，题目已经给出“无限”这一特征，只需要补充无理数区别于无限循环小数的核心特征即可。
【解析】
根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数。结合题干给出的三类常见无理数也可验证：开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的构造数，都满足“无限”且“不循环”的特征，因此空缺处应填“不循环”。
【答案】
不循环
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数与无理数的区分
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对无理数核心特征的识记，只要熟练掌握相关概念就能轻松得分，是实数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.9
本题考查无理数的基本定义，解题时首先回忆实数的分类：有理数包括整数、分数，可对应有限小数或无限循环小数；剩下的无限且不循环的小数就是无理数，题目已经给出“无限”这一特征，只需要补充无理数区别于无限循环小数的核心特征即可。
【解析】
根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数。结合题干给出的三类常见无理数也可验证：开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的构造数，都满足“无限”且“不循环”的特征，因此空缺处应填“不循环”。
【答案】
不循环
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数与无理数的区分
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对无理数核心特征的识记，只要熟练掌握相关概念就能轻松得分，是实数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.9
2. 实数:无理数和有理数统称为实数,实数与数轴上的点
一一对应
;在数轴上,右边的数总比左边的数大
。答案
2. 一一对应；大
解析
【分析】
解题时首先回忆实数相关的基础概念和数轴的基本性质：第一空需要明确实数和数轴上点的对应关系，第二空需要回忆数轴上数的大小比较规律。首先，我们学习过每一个实数都能在数轴上找到唯一的点来表示，反过来数轴上的任意一个点也都对应唯一的一个实数，由此可得出第一空的答案；其次，数轴默认正方向向右，沿着正方向数的数值逐渐增大，因此可得出第二空的答案。
【解析】
根据实数的基本性质：任意实数都可以用数轴上唯一的点表示，数轴上的每一个点都对应唯一的实数，因此实数与数轴上的点一一对应；
根据数轴上数的大小比较规则：数轴的正方向向右，右边的点对应的数始终比左边的点对应的数大。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
一一对应；大
【知识点】
实数与数轴的对应关系；数轴上数的大小比较
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对实数基础性质和数轴基本规律的识记掌握，牢记相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆实数相关的基础概念和数轴的基本性质：第一空需要明确实数和数轴上点的对应关系，第二空需要回忆数轴上数的大小比较规律。首先，我们学习过每一个实数都能在数轴上找到唯一的点来表示，反过来数轴上的任意一个点也都对应唯一的一个实数，由此可得出第一空的答案；其次，数轴默认正方向向右，沿着正方向数的数值逐渐增大，因此可得出第二空的答案。
【解析】
根据实数的基本性质：任意实数都可以用数轴上唯一的点表示，数轴上的每一个点都对应唯一的实数，因此实数与数轴上的点一一对应；
根据数轴上数的大小比较规则：数轴的正方向向右，右边的点对应的数始终比左边的点对应的数大。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
一一对应；大
【知识点】
实数与数轴的对应关系；数轴上数的大小比较
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对实数基础性质和数轴基本规律的识记掌握，牢记相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
1. 下列实数中，无理数是 （
A.0.7
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{22}{7}$
D.$0.\dot{3}$
B
）A.0.7
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{22}{7}$
D.$0.\dot{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个选项是无理数，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。解题时只需要逐一判断每个选项所属的类别，排除有理数后剩下的就是无理数。
【解析】
解：先明确两类数的判定规则：
有理数包含整数、分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数。
对各选项逐一分析：
A. 0.7是有限小数，属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{2}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
C. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求；
D. $0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合要求。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念
【点评】
本题考查实数分类中无理数的判断，属于基础题型，掌握有理数和无理数的核心定义是解题的关键，日常学习中可以总结常见的无理数类型，比如开方开不尽的数、含π的数等，能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是无理数，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。解题时只需要逐一判断每个选项所属的类别，排除有理数后剩下的就是无理数。
【解析】
解：先明确两类数的判定规则：
有理数包含整数、分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数。
对各选项逐一分析：
A. 0.7是有限小数，属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{2}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
C. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求；
D. $0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，不符合要求。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念
【点评】
本题考查实数分类中无理数的判断，属于基础题型，掌握有理数和无理数的核心定义是解题的关键，日常学习中可以总结常见的无理数类型，比如开方开不尽的数、含π的数等，能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
2. 已知$a=\sqrt{17}$，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（
A.$1＜a＜2$
B.$2＜a＜3$
C.$3＜a＜4$
D.$4＜a＜5$
D
）A.$1＜a＜2$
B.$2＜a＜3$
C.$3＜a＜4$
D.$4＜a＜5$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断带根号的无理数介于哪两个连续自然数之间，核心思路是先找到和被开方数相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，就能推出无理数的取值范围。本题中我们先找17在哪两个相邻正整数的平方之间，再推导√17的范围即可。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
∵ 4² = 16，5² = 25
且 16 ＜ 17 ＜ 25
根据算术平方根的性质，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{16} ＜ \sqrt{17} ＜ \sqrt{25}$
即 4 ＜ $\sqrt{17}$ ＜ 5
又
∵ a = $\sqrt{17}$
∴ 4 ＜ a ＜ 5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，结合算术平方根的性质即可快速判断无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
要判断带根号的无理数介于哪两个连续自然数之间，核心思路是先找到和被开方数相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，就能推出无理数的取值范围。本题中我们先找17在哪两个相邻正整数的平方之间，再推导√17的范围即可。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
∵ 4² = 16，5² = 25
且 16 ＜ 17 ＜ 25
根据算术平方根的性质，对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{16} ＜ \sqrt{17} ＜ \sqrt{25}$
即 4 ＜ $\sqrt{17}$ ＜ 5
又
∵ a = $\sqrt{17}$
∴ 4 ＜ a ＜ 5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，结合算术平方根的性质即可快速判断无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
3. 下列说法正确的是 (
A.有理数都是实数
B.实数都是无理数
C.带根号的数都是无理数
D.无理数都是开不尽方的数
A
)A.有理数都是实数
B.实数都是无理数
C.带根号的数都是无理数
D.无理数都是开不尽方的数
答案
3. A
解析
【分析】
本题属于概念辨析题，解题的核心是先明确实数、有理数、无理数的定义及分类关系：实数由有理数和无理数共同组成，有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数。解题时只需结合上述概念逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
先明确基本概念：有理数和无理数统称为实数，无理数是无限不循环小数。
选项A：有理数是实数的组成部分，因此所有有理数都是实数，该说法正确；
选项B：实数包含有理数和无理数两类，因此“实数都是无理数”的说法错误；
选项C：带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是有理数，因此该说法错误；
选项D：无理数不都是开不尽方的数，例如$π$是无理数，但它和开方运算无关，因此该说法错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
实数的分类；无理数的定义；有理数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生清晰区分实数、有理数、无理数三者的关系，规避“带根号的数都是无理数”“无理数都是开方开不尽的数”这类常见认知误区，牢记相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于概念辨析题，解题的核心是先明确实数、有理数、无理数的定义及分类关系：实数由有理数和无理数共同组成，有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数。解题时只需结合上述概念逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
先明确基本概念：有理数和无理数统称为实数，无理数是无限不循环小数。
选项A：有理数是实数的组成部分，因此所有有理数都是实数，该说法正确；
选项B：实数包含有理数和无理数两类，因此“实数都是无理数”的说法错误；
选项C：带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是有理数，因此该说法错误；
选项D：无理数不都是开不尽方的数，例如$π$是无理数，但它和开方运算无关，因此该说法错误。
综上，只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
实数的分类；无理数的定义；有理数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生清晰区分实数、有理数、无理数三者的关系，规避“带根号的数都是无理数”“无理数都是开方开不尽的数”这类常见认知误区，牢记相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 和数轴上的点一一对应的是 （
A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
D
）A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先明确“一一对应”的含义：即每一个这类数都能在数轴上找到唯一的点表示，同时数轴上的每一个点也都唯一对应一个这类数。接下来逐一分析选项：首先排除范围过小的整数、无理数，再判断有理数是否能覆盖数轴上所有的点，最后结合实数的范围确定正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 整数只是数的一部分，数轴上还有表示分数、无理数的点，整数无法和数轴上的点一一对应，排除；
B. 有理数包含整数和分数，但数轴上还有表示无理数的点，有理数无法和数轴上的点一一对应，排除；
C. 无理数只是实数的一部分，数轴上还有大量表示有理数的点，无理数无法和数轴上的点一一对应，排除；
D. 实数包括有理数和无理数，每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示，同时数轴上的每一个点都对应唯一的实数，二者是一一对应关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的对应关系；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数和数轴对应关系的记忆与理解，解题时要注意区分有理数、无理数、实数的范围，不要混淆不同类型数和数轴的对应逻辑，牢记实数与数轴上的点一一对应这一结论即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时先明确“一一对应”的含义：即每一个这类数都能在数轴上找到唯一的点表示，同时数轴上的每一个点也都唯一对应一个这类数。接下来逐一分析选项：首先排除范围过小的整数、无理数，再判断有理数是否能覆盖数轴上所有的点，最后结合实数的范围确定正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 整数只是数的一部分，数轴上还有表示分数、无理数的点，整数无法和数轴上的点一一对应，排除；
B. 有理数包含整数和分数，但数轴上还有表示无理数的点，有理数无法和数轴上的点一一对应，排除；
C. 无理数只是实数的一部分，数轴上还有大量表示有理数的点，无理数无法和数轴上的点一一对应，排除；
D. 实数包括有理数和无理数，每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示，同时数轴上的每一个点都对应唯一的实数，二者是一一对应关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的对应关系；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数和数轴对应关系的记忆与理解，解题时要注意区分有理数、无理数、实数的范围，不要混淆不同类型数和数轴的对应逻辑，牢记实数与数轴上的点一一对应这一结论即可快速作答。
【难度系数】
0.85
5. 已知$a=-3,b=-π,c=-\sqrt{3}$，则$a,b,c$的大小关系是（
A.$c＜a＜b$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$b＜c＜a$
C
）A.$c＜a＜b$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$b＜c＜a$
答案
5. C
解析
【分析】
已知三个数均为负数，根据负数比较大小的核心规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。因此解题时先分别求出三个数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据规则反向推导原负数的大小关系即可。
【解析】
解：首先分别计算三个数的绝对值：
$\vert a\vert=\vert-3\vert=3$，
$\vert b\vert=\vert-π\vert=π\approx3.14$，
$\vert c\vert=\vert-\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}\approx1.732$，
比较三个绝对值的大小可得：$\sqrt{3}＜3＜π$，即$\vert c\vert＜\vert a\vert＜\vert b\vert$。
根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，因此原数的大小关系为：$b＜a＜c$。
【答案】
C
【知识点】
负数比较大小；无理数估算；实数大小比较
【点评】
本题考查实数的大小比较，解题关键是熟练掌握负数比较大小的规则，熟记常见无理数的近似值可以快速完成比较，避免将大小关系搞反。
【难度系数】
0.8
已知三个数均为负数，根据负数比较大小的核心规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。因此解题时先分别求出三个数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据规则反向推导原负数的大小关系即可。
【解析】
解：首先分别计算三个数的绝对值：
$\vert a\vert=\vert-3\vert=3$，
$\vert b\vert=\vert-π\vert=π\approx3.14$，
$\vert c\vert=\vert-\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}\approx1.732$，
比较三个绝对值的大小可得：$\sqrt{3}＜3＜π$，即$\vert c\vert＜\vert a\vert＜\vert b\vert$。
根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，因此原数的大小关系为：$b＜a＜c$。
【答案】
C
【知识点】
负数比较大小；无理数估算；实数大小比较
【点评】
本题考查实数的大小比较，解题关键是熟练掌握负数比较大小的规则，熟记常见无理数的近似值可以快速完成比较，避免将大小关系搞反。
【难度系数】
0.8
6. 在$\sqrt{3}$，-1，-2，0这四个实数中，最小的是
-2
。答案
6. -2
解析
【分析】
要找出四个实数中最小的数，我们可以按照实数比较大小的基本思路来思考：首先回忆大小比较规则：正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数；两个负数比较大小时，绝对值大的数反而更小。首先对四个数分类，$\sqrt{3}$是正数，-1、-2是负数，0是分界数，因此正数和0肯定比负数大，只需要比较两个负数的大小就能确定最小的数。
【解析】
第一步，根据实数大小比较的基础规则：正数＞0＞负数，可得$\sqrt{3}＞0$，$-1＜0$，$-2＜0$，因此最小的数在-1和-2中。
第二步，计算两个负数的绝对值：$|-1|=1$，$|-2|=2$，因为$2＞1$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-2＜-1$。
综上四个数的大小关系为：$-2＜-1＜0＜\sqrt{3}$，因此最小的数是-2。
【答案】
-2
【知识点】
实数大小比较；负数比较大小法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查实数比较大小的基本方法，熟练掌握比较规则即可快速得出结果，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
要找出四个实数中最小的数，我们可以按照实数比较大小的基本思路来思考：首先回忆大小比较规则：正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数；两个负数比较大小时，绝对值大的数反而更小。首先对四个数分类，$\sqrt{3}$是正数，-1、-2是负数，0是分界数，因此正数和0肯定比负数大，只需要比较两个负数的大小就能确定最小的数。
【解析】
第一步，根据实数大小比较的基础规则：正数＞0＞负数，可得$\sqrt{3}＞0$，$-1＜0$，$-2＜0$，因此最小的数在-1和-2中。
第二步，计算两个负数的绝对值：$|-1|=1$，$|-2|=2$，因为$2＞1$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-2＜-1$。
综上四个数的大小关系为：$-2＜-1＜0＜\sqrt{3}$，因此最小的数是-2。
【答案】
-2
【知识点】
实数大小比较；负数比较大小法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查实数比较大小的基本方法，熟练掌握比较规则即可快速得出结果，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
7. $-\sqrt{3}$的绝对值是
$\sqrt{3}$
，$2 - \sqrt{5}$的相反数是$\sqrt{5}-2$
，$-7$的倒数是$-\frac{1}{7}$
。答案
7. $\sqrt{3}$；$\sqrt{5}-2$；$-\frac{1}{7}$
解析
【分析】
本题需要分别根据绝对值、相反数、倒数的定义逐个计算结果：①计算负数的绝对值，依据“负数的绝对值是它的相反数”求解；②求一个式子的相反数，只需给整个式子添上负号，再去括号化简即可；③求非零整数的倒数，依据“互为倒数的两数乘积为1”，用1除以这个整数即可得到结果。
【解析】
1. 计算$-\sqrt{3}$的绝对值：
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，由于$-\sqrt{3}＜0$，因此$\left|-\sqrt{3}\right|=-(-\sqrt{3})=\sqrt{3}$。
2. 计算$2-\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$2-\sqrt{5}$的相反数是$-(2-\sqrt{5})$，去括号化简得$\sqrt{5}-2$。
3. 计算$-7$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$-7$的倒数为$1÷(-7)=-\frac{1}{7}$。
【答案】
$\sqrt{3}$；$\sqrt{5}-2$；$-\frac{1}{7}$
【知识点】
绝对值的性质；相反数的定义；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数相关基础运算定义的掌握，熟练记住绝对值、相反数、倒数的计算规则即可快速得分，是考试中常见的送分题型。
【难度系数】
0.9
本题需要分别根据绝对值、相反数、倒数的定义逐个计算结果：①计算负数的绝对值，依据“负数的绝对值是它的相反数”求解；②求一个式子的相反数，只需给整个式子添上负号，再去括号化简即可；③求非零整数的倒数，依据“互为倒数的两数乘积为1”，用1除以这个整数即可得到结果。
【解析】
1. 计算$-\sqrt{3}$的绝对值：
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，由于$-\sqrt{3}＜0$，因此$\left|-\sqrt{3}\right|=-(-\sqrt{3})=\sqrt{3}$。
2. 计算$2-\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$2-\sqrt{5}$的相反数是$-(2-\sqrt{5})$，去括号化简得$\sqrt{5}-2$。
3. 计算$-7$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$-7$的倒数为$1÷(-7)=-\frac{1}{7}$。
【答案】
$\sqrt{3}$；$\sqrt{5}-2$；$-\frac{1}{7}$
【知识点】
绝对值的性质；相反数的定义；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数相关基础运算定义的掌握，熟练记住绝对值、相反数、倒数的计算规则即可快速得分，是考试中常见的送分题型。
【难度系数】
0.9
8. 已知下列实数:①$\frac{22}{7}$;②$-\sqrt{4}$;③$\frac{π}{2}$;④3.14;⑤$\sqrt{3}$;⑥$\sqrt{\frac{9}{16}}$;⑦3.1415926;⑧1.23;⑨2.020020002…(两个“2”之间依次多一个“0”)。其中属于无理数的是
③⑤⑨
(填序号)。答案
8. ③⑤⑨
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数主要有三类：一是含有π的数（π本身是无限不循环小数）；二是开方开不尽的数的方根；三是有规律但不循环的无限小数。解题时先将能化简的数（如带根号的数）先化简，再对照定义逐一判断每个数的类型即可。
【解析】
我们对每个数逐一分析判断：
①$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
②$-\sqrt{4}=-2$，是整数，属于有理数；
③$\frac{π}{2}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
④3.14是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
⑤$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
⑥$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$，是分数，属于有理数；
⑦3.1415926是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
⑧1.23是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
⑨2.020020002…（两个“2”之间依次多一个“0”）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，属于无理数的是③⑤⑨。
【答案】
③⑤⑨
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；算术平方根化简
【点评】
本题是无理数识别的基础题型，解题的关键是熟记无理数的定义和常见类型，注意不要陷入“带根号的数都是无理数”“无限小数都是无理数”的误区，带根号的数需要先化简再判断，有限小数和无限循环小数都属于有理数。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数主要有三类：一是含有π的数（π本身是无限不循环小数）；二是开方开不尽的数的方根；三是有规律但不循环的无限小数。解题时先将能化简的数（如带根号的数）先化简，再对照定义逐一判断每个数的类型即可。
【解析】
我们对每个数逐一分析判断：
①$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
②$-\sqrt{4}=-2$，是整数，属于有理数；
③$\frac{π}{2}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
④3.14是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
⑤$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
⑥$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$，是分数，属于有理数；
⑦3.1415926是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
⑧1.23是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
⑨2.020020002…（两个“2”之间依次多一个“0”）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，属于无理数的是③⑤⑨。
【答案】
③⑤⑨
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；算术平方根化简
【点评】
本题是无理数识别的基础题型，解题的关键是熟记无理数的定义和常见类型，注意不要陷入“带根号的数都是无理数”“无限小数都是无理数”的误区，带根号的数需要先化简再判断，有限小数和无限循环小数都属于有理数。
【难度系数】
0.7
9. 已知$n-1＜\sqrt{41}＜n$，则整数$n$的值是
7
。答案
9. 7
解析
【分析】
要确定整数n的值，首先需要估算出$\sqrt{41}$的取值范围，我们可以通过比较被开方数41和相邻正整数的平方的大小，来判断$\sqrt{41}$介于哪两个相邻整数之间，再对照题目给出的不等式$n-1＜\sqrt{41}＜n$，即可求出n的值。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ $6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜41＜49$
∴ $\sqrt{36}＜\sqrt{41}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{41}＜7$
又已知$n-1＜\sqrt{41}＜n$，将两个不等式对比可得：
$n-1=6$，$n=7$
【答案】
7
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础的估算类题型，核心是掌握通过比较被开方数与相邻平方数的大小来估算无理数范围的方法，熟练记忆常见正整数的平方数可以提升解题效率。
【难度系数】
0.9
要确定整数n的值，首先需要估算出$\sqrt{41}$的取值范围，我们可以通过比较被开方数41和相邻正整数的平方的大小，来判断$\sqrt{41}$介于哪两个相邻整数之间，再对照题目给出的不等式$n-1＜\sqrt{41}＜n$，即可求出n的值。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
∵ $6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜41＜49$
∴ $\sqrt{36}＜\sqrt{41}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{41}＜7$
又已知$n-1＜\sqrt{41}＜n$，将两个不等式对比可得：
$n-1=6$，$n=7$
【答案】
7
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础的估算类题型，核心是掌握通过比较被开方数与相邻平方数的大小来估算无理数范围的方法，熟练记忆常见正整数的平方数可以提升解题效率。
【难度系数】
0.9
10. 如图，实数$\sqrt{2}+1$在数轴上的对应点可能是
D
点。答案
10. D
解析
【分析】
要判断$\sqrt{2}+1$在数轴上的对应点，首先需要用夹逼法估算出$\sqrt{2}$的取值范围，再推导得到$\sqrt{2}+1$的取值范围，最后对照数轴上各点的位置即可找到对应点。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴ $1＜\sqrt{2}＜2$
不等式三边同时加1，得：
$1+1 ＜ \sqrt{2}+1 ＜ 2+1$
即$2＜\sqrt{2}+1＜3$
观察数轴可知：A点在-2~-1之间，B点在-1~0之间，C点在0~1之间，D点在2~3之间，因此实数$\sqrt{2}+1$的对应点是D点。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题是实数部分的基础常见题型，核心考查用夹逼法估算无理数的取值范围，再结合数轴上点的分布匹配对应位置，掌握无理数估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断$\sqrt{2}+1$在数轴上的对应点，首先需要用夹逼法估算出$\sqrt{2}$的取值范围，再推导得到$\sqrt{2}+1$的取值范围，最后对照数轴上各点的位置即可找到对应点。
【解析】
解：首先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴ $1＜\sqrt{2}＜2$
不等式三边同时加1，得：
$1+1 ＜ \sqrt{2}+1 ＜ 2+1$
即$2＜\sqrt{2}+1＜3$
观察数轴可知：A点在-2~-1之间，B点在-1~0之间，C点在0~1之间，D点在2~3之间，因此实数$\sqrt{2}+1$的对应点是D点。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题是实数部分的基础常见题型，核心考查用夹逼法估算无理数的取值范围，再结合数轴上点的分布匹配对应位置，掌握无理数估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11. 如图，将面积为6的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，若点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则$b - a =$
$3-\sqrt{6}$
。答案
11. $3-\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，已知面积求边长需计算算术平方根；其次明确旋转后边落在数轴正半轴时，数轴正半轴上的点对应的实数等于该点到原点的距离，据此先求出两个正方形的边长，也就是a、b的值，最后计算b-a即可。
【解析】
∵正方形OABC的面积为6，正方形的面积=边长²，
∴OA²=6，又OA为长度是正数，
∴OA=√6，
∵旋转后OA落在数轴正半轴，原点O对应数0，
∴点A对应的数a=√6；
∵正方形ODEF的面积为9，
∴OD²=9，OD为正数，
∴OD=√9=3，
同理旋转后OD落在数轴正半轴，
∴点D对应的数b=3；
∴b - a = 3 - √6。
【答案】
$3-\sqrt{6}$
【知识点】
算术平方根的计算，数轴与实数的对应，正方形面积公式
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质与实数、数轴知识结合，解题的核心是正确根据正方形面积求出边长，理解数轴上点到原点的距离与对应实数的关系，计算时注意算术平方根的非负性即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，已知面积求边长需计算算术平方根；其次明确旋转后边落在数轴正半轴时，数轴正半轴上的点对应的实数等于该点到原点的距离，据此先求出两个正方形的边长，也就是a、b的值，最后计算b-a即可。
【解析】
∵正方形OABC的面积为6，正方形的面积=边长²，
∴OA²=6，又OA为长度是正数，
∴OA=√6，
∵旋转后OA落在数轴正半轴，原点O对应数0，
∴点A对应的数a=√6；
∵正方形ODEF的面积为9，
∴OD²=9，OD为正数，
∴OD=√9=3，
同理旋转后OD落在数轴正半轴，
∴点D对应的数b=3；
∴b - a = 3 - √6。
【答案】
$3-\sqrt{6}$
【知识点】
算术平方根的计算，数轴与实数的对应，正方形面积公式
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质与实数、数轴知识结合，解题的核心是正确根据正方形面积求出边长，理解数轴上点到原点的距离与对应实数的关系，计算时注意算术平方根的非负性即可。
【难度系数】
0.7
