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5. 如图，E是$□ ABCD$的边DA延长线上一点，EC交AB于点G，交BD于点F.求证：$FC^2=FG· EF$. 
答案
5. 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形,
$\therefore AB// CD,BC// AD$,
$\therefore △ DFC∽ △ BFG,\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{FC}{FG}.$
$\because BC// AD,\therefore △ DFE∽ △ BFC$,
$\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{EF}{CF},\therefore \frac{FC}{FG}=\frac{EF}{CF},\therefore FC^2=FG· EF.$
$\therefore AB// CD,BC// AD$,
$\therefore △ DFC∽ △ BFG,\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{FC}{FG}.$
$\because BC// AD,\therefore △ DFE∽ △ BFC$,
$\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{EF}{CF},\therefore \frac{FC}{FG}=\frac{EF}{CF},\therefore FC^2=FG· EF.$
解析
【分析】
证明等积式的常用思路是先将等积式转化为比例式，本题要证$FC^2=FG· EF$，可转化为证$\frac{FC}{FG}=\frac{EF}{FC}$。观察待证比例式的线段均在同一直线$EC$上，无法直接通过一对相似三角形证明，因此需要寻找中间比进行等量代换。结合平行四边形对边平行的性质，可得到两组相似三角形，两组相似三角形所得的比例式中存在公共的中间比$\frac{FD}{FB}$，借助该中间比代换即可推导出待证比例式，再转化为等积式即可。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形,
$\therefore AB// CD,BC// AD$,
$\therefore △ DFC∽ △ BFG,\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{FC}{FG}.$
$\because BC// AD,\therefore △ DFE∽ △ BFC$,
$\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{EF}{CF},\therefore \frac{FC}{FG}=\frac{EF}{CF},\therefore FC^2=FG· EF.$
【答案】
$\boldsymbol{FC^2=FG· EF}$，证明过程见解析
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；等积式证明
【点评】
本题是比例式、等积式证明的常规题型，解题核心是掌握“等积式转比例式，借助中间比等量代换”的常用思路，利用平行四边形的平行线性质得到相似三角形是解题的关键，该类方法在几何证明中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
证明等积式的常用思路是先将等积式转化为比例式，本题要证$FC^2=FG· EF$，可转化为证$\frac{FC}{FG}=\frac{EF}{FC}$。观察待证比例式的线段均在同一直线$EC$上，无法直接通过一对相似三角形证明，因此需要寻找中间比进行等量代换。结合平行四边形对边平行的性质，可得到两组相似三角形，两组相似三角形所得的比例式中存在公共的中间比$\frac{FD}{FB}$，借助该中间比代换即可推导出待证比例式，再转化为等积式即可。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形,
$\therefore AB// CD,BC// AD$,
$\therefore △ DFC∽ △ BFG,\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{FC}{FG}.$
$\because BC// AD,\therefore △ DFE∽ △ BFC$,
$\therefore \frac{FD}{FB}=\frac{EF}{CF},\therefore \frac{FC}{FG}=\frac{EF}{CF},\therefore FC^2=FG· EF.$
【答案】
$\boldsymbol{FC^2=FG· EF}$，证明过程见解析
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；等积式证明
【点评】
本题是比例式、等积式证明的常规题型，解题核心是掌握“等积式转比例式，借助中间比等量代换”的常用思路，利用平行四边形的平行线性质得到相似三角形是解题的关键，该类方法在几何证明中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，AD，BF分别是边BC，AC上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H。求证：$DE^2 = EG · EH$。
答案
6. 证明:$\because ∠ AED=∠ BED,∠ DAE=∠ BDE$,
$\therefore △ ADE∽ △ DBE,\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE},\therefore DE^2=AE· BE.$
$\because ∠ EBG+∠ BAF=90°,∠ AHE+∠ BAF=90°$,
$\therefore ∠ EBG=∠ AHE$,
又$\because ∠ BEG=∠ AEH=90°,\therefore △ BEG∽ △ HEA$,
$\therefore \frac{BE}{HE}=\frac{EG}{EA}$,即 $EA· BE=EG· HE,\therefore DE^2=EG· EH.$
$\therefore △ ADE∽ △ DBE,\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE},\therefore DE^2=AE· BE.$
$\because ∠ EBG+∠ BAF=90°,∠ AHE+∠ BAF=90°$,
$\therefore ∠ EBG=∠ AHE$,
又$\because ∠ BEG=∠ AEH=90°,\therefore △ BEG∽ △ HEA$,
$\therefore \frac{BE}{HE}=\frac{EG}{EA}$,即 $EA· BE=EG· HE,\therefore DE^2=EG· EH.$
解析
【分析】
要证明等积式$DE^2 = EG · EH$，可按等积式证明的常规思路推导：首先将待证等积式转化为比例式，寻找对应相似三角形。第一步先分析与$DE$相关的直角三角形，通过同角的余角相等证明$△ADE∽△DBE$，得到$DE^2=AE·BE$，此时只需证明$AE·BE=EG·EH$，再证明$△BEG$与$△HEA$相似得到对应乘积式，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
∵$AD$是$BC$边上的高，$DE⊥AB$，
∴$∠AED=∠BED=90°$，$∠DAE + ∠ADE = 90°$，$∠BDE + ∠ADE = 90°$，
∴$∠DAE=∠BDE$，
∴$△ADE∽△DBE$，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE}$，即$DE^2=AE·BE$。
∵$BF$是$AC$边上的高，
∴$∠EBG + ∠BAF = 90°$，
又
∵$EH⊥AB$，
∴$∠AHE + ∠BAF = 90°$，
∴$∠EBG=∠AHE$，
又
∵$∠BEG=∠AEH=90°$，
∴$△BEG∽△HEA$，
∴$\frac{BE}{HE}=\frac{EG}{EA}$，即$EA·BE=EG·HE$。
结合上述两个结论，可得$DE^2=EG·EH$。
【答案】
证明:$\because ∠ AED=∠ BED,∠ DAE=∠ BDE$,
$\therefore △ ADE∽ △ DBE,\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE},\therefore DE^2=AE· BE.$
$\because ∠ EBG+∠ BAF=90°,∠ AHE+∠ BAF=90°$,
$\therefore ∠ EBG=∠ AHE$,
又$\because ∠ BEG=∠ AEH=90°,\therefore △ BEG∽ △ HEA$,
$\therefore \frac{BE}{HE}=\frac{EG}{EA}$,即 $EA· BE=EG· HE,\therefore DE^2=EG· EH.$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等积式的证明
【点评】
本题是等积式证明的典型题，解题关键是掌握“等积式转化为比例式、寻找对应相似三角形、等量代换”的推导逻辑，要熟练运用直角中同角的余角相等的性质寻找相等角，进而证明三角形相似。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$DE^2 = EG · EH$，可按等积式证明的常规思路推导：首先将待证等积式转化为比例式，寻找对应相似三角形。第一步先分析与$DE$相关的直角三角形，通过同角的余角相等证明$△ADE∽△DBE$，得到$DE^2=AE·BE$，此时只需证明$AE·BE=EG·EH$，再证明$△BEG$与$△HEA$相似得到对应乘积式，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
∵$AD$是$BC$边上的高，$DE⊥AB$，
∴$∠AED=∠BED=90°$，$∠DAE + ∠ADE = 90°$，$∠BDE + ∠ADE = 90°$，
∴$∠DAE=∠BDE$，
∴$△ADE∽△DBE$，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE}$，即$DE^2=AE·BE$。
∵$BF$是$AC$边上的高，
∴$∠EBG + ∠BAF = 90°$，
又
∵$EH⊥AB$，
∴$∠AHE + ∠BAF = 90°$，
∴$∠EBG=∠AHE$，
又
∵$∠BEG=∠AEH=90°$，
∴$△BEG∽△HEA$，
∴$\frac{BE}{HE}=\frac{EG}{EA}$，即$EA·BE=EG·HE$。
结合上述两个结论，可得$DE^2=EG·EH$。
【答案】
证明:$\because ∠ AED=∠ BED,∠ DAE=∠ BDE$,
$\therefore △ ADE∽ △ DBE,\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE},\therefore DE^2=AE· BE.$
$\because ∠ EBG+∠ BAF=90°,∠ AHE+∠ BAF=90°$,
$\therefore ∠ EBG=∠ AHE$,
又$\because ∠ BEG=∠ AEH=90°,\therefore △ BEG∽ △ HEA$,
$\therefore \frac{BE}{HE}=\frac{EG}{EA}$,即 $EA· BE=EG· HE,\therefore DE^2=EG· EH.$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等积式的证明
【点评】
本题是等积式证明的典型题，解题关键是掌握“等积式转化为比例式、寻找对应相似三角形、等量代换”的推导逻辑，要熟练运用直角中同角的余角相等的性质寻找相等角，进而证明三角形相似。
【难度系数】
0.6
7.如图,在锐角$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AC,AB$上,$AG⊥ BC$于点$G$,$AF⊥ DE$于点$F$,$∠ EAF=∠ GAC$.
(1)求证:$△ ADE∽△ ABC$;
(2)若$AD=3$,$AB=5$,求$\frac{AF}{AG}$的值.
(1)求证:$△ ADE∽△ ABC$;
(2)若$AD=3$,$AB=5$,求$\frac{AF}{AG}$的值.
答案
7.(1)证明略.
(2)$\frac{3}{5}$
(2)$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ADE∽△ ABC$，需找到两组对应角相等：首先根据垂直的定义可得$∠ AFE=∠ AGC=90°$，结合已知$∠ EAF=∠ GAC$，利用等角的余角相等可推出$∠ AED=∠ C$，再结合公共角$∠ EAD=∠ BAC$，即可用两角分别相等的两个三角形相似完成证明。
(2) 由$△ ADE∽△ ABC$可知，两个三角形对应边上的高的比等于相似比，$AF$是$△ ADE$中$DE$边上的高，$AG$是$△ ABC$中$BC$边上的高，因此$\frac{AF}{AG}$等于对应边$AD$与$AB$的比值，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because AG⊥ BC$，$AF⊥ DE$，
$\therefore ∠ AFE=∠ AGC=90°$，
$\therefore ∠ AEF + ∠ EAF = 90°$，$∠ C + ∠ GAC = 90°$，
又$\because ∠ EAF=∠ GAC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ C$（等角的余角相等），
又$\because ∠ EAD=∠ BAC$（公共角），
$\therefore △ ADE∽△ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)知$△ ADE∽△ ABC$，
$\because AF$是$△ ADE$中$DE$边上的高，$AG$是$△ ABC$中$BC$边上的高，
$\therefore$相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$，
将$AD=3$，$AB=5$代入得：$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的突破口是利用等角的余角相等得到一组对应角相等，进而证明三角形相似，再结合相似三角形对应线段的比等于相似比求解比值，属于几何基础常考题，相关性质需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$△ ADE∽△ ABC$，需找到两组对应角相等：首先根据垂直的定义可得$∠ AFE=∠ AGC=90°$，结合已知$∠ EAF=∠ GAC$，利用等角的余角相等可推出$∠ AED=∠ C$，再结合公共角$∠ EAD=∠ BAC$，即可用两角分别相等的两个三角形相似完成证明。
(2) 由$△ ADE∽△ ABC$可知，两个三角形对应边上的高的比等于相似比，$AF$是$△ ADE$中$DE$边上的高，$AG$是$△ ABC$中$BC$边上的高，因此$\frac{AF}{AG}$等于对应边$AD$与$AB$的比值，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because AG⊥ BC$，$AF⊥ DE$，
$\therefore ∠ AFE=∠ AGC=90°$，
$\therefore ∠ AEF + ∠ EAF = 90°$，$∠ C + ∠ GAC = 90°$，
又$\because ∠ EAF=∠ GAC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ C$（等角的余角相等），
又$\because ∠ EAD=∠ BAC$（公共角），
$\therefore △ ADE∽△ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)知$△ ADE∽△ ABC$，
$\because AF$是$△ ADE$中$DE$边上的高，$AG$是$△ ABC$中$BC$边上的高，
$\therefore$相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$，
将$AD=3$，$AB=5$代入得：$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的突破口是利用等角的余角相等得到一组对应角相等，进而证明三角形相似，再结合相似三角形对应线段的比等于相似比求解比值，属于几何基础常考题，相关性质需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
8. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB$ 于点 $D, ∠ CAB$ 的平分线 $AE$ 交 $CD$ 于点 $F$, 交 $CB$ 于点 $E$. 求证: $AF · CB = CD · AE$.
答案
8. 证明:$\because CD⊥ AB,\therefore ∠ CDA=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ CDA=∠ ACB.$
$\because ∠ DAC=∠ CAB,\therefore △ CDA∽ △ BCA.$
又$\because AE$ 平分$∠ CAB,\therefore AF,AE$ 分别是$△ CDA,△ BCA$ 的角平分线,$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{CD}{BC}$,
即 $AF· CB=CD· AE.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ CDA=∠ ACB.$
$\because ∠ DAC=∠ CAB,\therefore △ CDA∽ △ BCA.$
又$\because AE$ 平分$∠ CAB,\therefore AF,AE$ 分别是$△ CDA,△ BCA$ 的角平分线,$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{CD}{BC}$,
即 $AF· CB=CD· AE.$
解析
【分析】
要证明等积式$AF·CB = CD·AE$，需先将其转化为比例式$\frac{AF}{AE}=\frac{CD}{CB}$，观察比例式中的线段可知：$AF、CD$属于$△ CDA$，$AE、CB$属于$△ BCA$。因此解题步骤为：先证明$△ CDA ∽ △ BCA$，再结合$AE$是$∠ CAB$的角平分线，利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比得到目标比例式，最后交叉相乘即可得到待证等积式。
【解析】
证明：
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDA=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ CDA=∠ ACB$。
$\because ∠ DAC=∠ CAB$，$\therefore △ CDA ∽ △ BCA$。
又$\because AE$平分$∠ CAB$，$\therefore AF、AE$分别是$△ CDA、△ BCA$的角平分线，
$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{CD}{BC}$，即$AF·CB=CD·AE$。
【答案】
证明:$\because CD⊥ AB,\therefore ∠ CDA=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ CDA=∠ ACB.$
$\because ∠ DAC=∠ CAB,\therefore △ CDA∽ △ BCA.$
又$\because AE$ 平分$∠ CAB,\therefore AF,AE$ 分别是$△ CDA,△ BCA$ 的角平分线,$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{CD}{BC}$,
即 $AF· CB=CD· AE.$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是等积式证明的典型题型，核心解题思路是将等积式转化为比例式，通过证明对应三角形相似，结合相似三角形对应线段的比等于相似比的性质完成推导，掌握等积式转比例式的转化思想，可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
要证明等积式$AF·CB = CD·AE$，需先将其转化为比例式$\frac{AF}{AE}=\frac{CD}{CB}$，观察比例式中的线段可知：$AF、CD$属于$△ CDA$，$AE、CB$属于$△ BCA$。因此解题步骤为：先证明$△ CDA ∽ △ BCA$，再结合$AE$是$∠ CAB$的角平分线，利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比得到目标比例式，最后交叉相乘即可得到待证等积式。
【解析】
证明：
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDA=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ CDA=∠ ACB$。
$\because ∠ DAC=∠ CAB$，$\therefore △ CDA ∽ △ BCA$。
又$\because AE$平分$∠ CAB$，$\therefore AF、AE$分别是$△ CDA、△ BCA$的角平分线，
$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{CD}{BC}$，即$AF·CB=CD·AE$。
【答案】
证明:$\because CD⊥ AB,\therefore ∠ CDA=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ CDA=∠ ACB.$
$\because ∠ DAC=∠ CAB,\therefore △ CDA∽ △ BCA.$
又$\because AE$ 平分$∠ CAB,\therefore AF,AE$ 分别是$△ CDA,△ BCA$ 的角平分线,$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{CD}{BC}$,
即 $AF· CB=CD· AE.$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是等积式证明的典型题型，核心解题思路是将等积式转化为比例式，通过证明对应三角形相似，结合相似三角形对应线段的比等于相似比的性质完成推导，掌握等积式转比例式的转化思想，可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
