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1. 如图，在△ABC中，$AB=AC=4\sqrt{2}$，∠BAC=90°，点D，E分别在边BC，AC上（不与端点重合），连接AD，DE。若∠ADE=45°，BD=1，则AE的长为
$\frac{25\sqrt{2}}{8}$
。答案
1. $\frac{25\sqrt{2}}{8}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC的长度，进而得到DC的长度，同时确定两个底角∠B=∠C=45°；②通过角的等量代换推导相等角：利用平角定义和三角形内角和，证明∠BAD=∠CDE，结合∠B=∠C，即可证得△ABD∽△DCE；③根据相似三角形对应边成比例求出CE的长度，再用AC的长度减去CE得到AE的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4√2，
∴∠B=∠C=45°，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{64}=8$，
∵BD=1，
∴$DC=BC-BD=8-1=7$。
∵∠ADE=45°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=135°，
在△ABD中，∠ADB+∠BAD=180°-∠B=135°，
∴∠BAD=∠CDE，
又
∵∠B=∠C=45°，
∴△ABD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
代入数值：$\frac{4\sqrt{2}}{7}=\frac{1}{CE}$，解得$CE=\frac{7\sqrt{2}}{8}$，
∴$AE=AC-CE=4\sqrt{2}-\frac{7\sqrt{2}}{8}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
$\frac{25\sqrt{2}}{8}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考点是相似三角形的判定和性质，解题的关键是通过角的等量代换找到两个三角形的相等角，进而证明相似，需要学生熟练掌握三角形角的关系推导和相似的性质应用。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为三步：①先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC的长度，进而得到DC的长度，同时确定两个底角∠B=∠C=45°；②通过角的等量代换推导相等角：利用平角定义和三角形内角和，证明∠BAD=∠CDE，结合∠B=∠C，即可证得△ABD∽△DCE；③根据相似三角形对应边成比例求出CE的长度，再用AC的长度减去CE得到AE的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4√2，
∴∠B=∠C=45°，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{64}=8$，
∵BD=1，
∴$DC=BC-BD=8-1=7$。
∵∠ADE=45°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=135°，
在△ABD中，∠ADB+∠BAD=180°-∠B=135°，
∴∠BAD=∠CDE，
又
∵∠B=∠C=45°，
∴△ABD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，
代入数值：$\frac{4\sqrt{2}}{7}=\frac{1}{CE}$，解得$CE=\frac{7\sqrt{2}}{8}$，
∴$AE=AC-CE=4\sqrt{2}-\frac{7\sqrt{2}}{8}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
$\frac{25\sqrt{2}}{8}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考点是相似三角形的判定和性质，解题的关键是通过角的等量代换找到两个三角形的相等角，进而证明相似，需要学生熟练掌握三角形角的关系推导和相似的性质应用。
【难度系数】
0.65
2.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一动点,$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}=\sqrt{2},∠ AEF=90°$.若$BE=1$,则CF的长为
$\sqrt{3}$
.答案
2. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从题目给出的直角、边的比例条件入手，首先利用两边对应成比例且夹角相等证明$△ ABC$与$△ AEF$相似，得到角的等量关系，通过角的和差推导得出$∠ BAE=∠ CAF$，再结合两边成比例且夹角相等证明$△ ABE∽△ ACF$，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出CF的长度。
【解析】
在矩形$ABCD$中，$∠ B=90°$，已知$\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$，设$AB=a$，则$BC=\sqrt{2}a$。
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+(\sqrt{2}a)^2}=\sqrt{3}a$，因此$\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$。
又$\because ∠ AEF=90°$，$\frac{EF}{AE}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}$，且$∠ B=∠ AEF=90°$，
$\therefore △ ABC∽△ AEF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAF$，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$。
$\because ∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAF$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$，$∠ BAE=∠ CAF$，
$\therefore △ ABE∽△ ACF$，
$\therefore \frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$。
已知$BE=1$，代入得$CF=\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合应用题目，核心是通过两次相似的证明完成边角关系的转化，对角度的推导和相似判定条件的灵活运用有一定要求，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时先从题目给出的直角、边的比例条件入手，首先利用两边对应成比例且夹角相等证明$△ ABC$与$△ AEF$相似，得到角的等量关系，通过角的和差推导得出$∠ BAE=∠ CAF$，再结合两边成比例且夹角相等证明$△ ABE∽△ ACF$，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出CF的长度。
【解析】
在矩形$ABCD$中，$∠ B=90°$，已知$\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$，设$AB=a$，则$BC=\sqrt{2}a$。
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+(\sqrt{2}a)^2}=\sqrt{3}a$，因此$\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$。
又$\because ∠ AEF=90°$，$\frac{EF}{AE}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}$，且$∠ B=∠ AEF=90°$，
$\therefore △ ABC∽△ AEF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAF$，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$。
$\because ∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAF$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$，$∠ BAE=∠ CAF$，
$\therefore △ ABE∽△ ACF$，
$\therefore \frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$。
已知$BE=1$，代入得$CF=\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合应用题目，核心是通过两次相似的证明完成边角关系的转化，对角度的推导和相似判定条件的灵活运用有一定要求，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
3.如图,在由正方形组成的网格中画有格点(网格线的交点)梯形ABCD,连接BD,则∠BDC的度数为
$135°$
.答案
3. $135°$
解析
【分析】
求解网格中角的度数时，可先设每个小正方形边长为单位1，利用勾股定理计算相关三角形的各边长度，再通过相似三角形的判定定理验证三角形相似，将待求的∠BDC转化为易求度数的对应角，进而得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理计算各边长度：
在△ABD中，$AD=1$，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
在△DCB中，$DC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BC=5$，$BD=\sqrt{5}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ DCB$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ BDC=∠ BAD$。
观察网格可知$∠ BAD=90°+45°=135°$，因此$∠ BDC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于网格类角度计算的典型题型，将勾股定理和相似三角形的知识结合考查，解题的核心是通过计算边长构造相似三角形，将未知角转化为已知角，锻炼了数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
求解网格中角的度数时，可先设每个小正方形边长为单位1，利用勾股定理计算相关三角形的各边长度，再通过相似三角形的判定定理验证三角形相似，将待求的∠BDC转化为易求度数的对应角，进而得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理计算各边长度：
在△ABD中，$AD=1$，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
在△DCB中，$DC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$BC=5$，$BD=\sqrt{5}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ DCB$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ BDC=∠ BAD$。
观察网格可知$∠ BAD=90°+45°=135°$，因此$∠ BDC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于网格类角度计算的典型题型，将勾股定理和相似三角形的知识结合考查，解题的核心是通过计算边长构造相似三角形，将未知角转化为已知角，锻炼了数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，$∠ C = 32°$. 若$AD^2 = BD · CD$，求$∠ ABC$的度数.
答案
4. 分两种情况:①如图1,当点B,C分别位于点D的两侧时，
$\because AD^2 = BD · DC,\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{AD}{DC}.\because AD$是BC边上的高，
$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°,\therefore △ABD∽△CAD$,
$\therefore ∠ABC=∠DAC=90°-∠C=58°$；
②如图2,当点B,C分别位于点D的同侧时，
由①同理可得$△ABD∽△CAD,\therefore ∠BAD=∠C=32°$,
$\therefore ∠ABC=∠BAD+∠ADB=122°$.
综上所述,$∠ABC$的度数为$58°$或$122°$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件$AD^2 = BD · CD$，可将其转化为比例式$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$，结合AD是BC边上的高可得$∠ADB=∠ADC=90°$，可证明三角形相似。但要注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论，分别根据相似三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质计算$∠ABC$的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图1，当B、C在点D的两侧时：
$\because AD^2 = BD · CD$，$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$。
$\because AD$是BC边上的高，$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°$，
$\therefore △ABD∽△CAD$，
$\therefore ∠ABC=∠DAC$。
在$Rt△ADC$中，$∠DAC=90°-∠C=90°-32°=58°$，
$\therefore ∠ABC=58°$。
② 如图2，当B、C在点D的同侧时：
同理可得$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$，$∠ADB=∠ADC=90°$，
$\therefore △ABD∽△CAD$，
$\therefore ∠BAD=∠C=32°$。
$\because ∠ABC$是$△ABD$的外角，
$\therefore ∠ABC=∠BAD+∠ADB=32°+90°=122°$。
【答案】
$∠ABC$的度数为$\boldsymbol{58°}$或$\boldsymbol{122°}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题核心是将等积式转化为比例式，结合直角证明三角形相似，再利用角度关系求解，能有效考查对相似三角形知识的掌握和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知条件$AD^2 = BD · CD$，可将其转化为比例式$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$，结合AD是BC边上的高可得$∠ADB=∠ADC=90°$，可证明三角形相似。但要注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论，分别根据相似三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质计算$∠ABC$的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图1，当B、C在点D的两侧时：
$\because AD^2 = BD · CD$，$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$。
$\because AD$是BC边上的高，$\therefore ∠ADB=∠ADC=90°$，
$\therefore △ABD∽△CAD$，
$\therefore ∠ABC=∠DAC$。
在$Rt△ADC$中，$∠DAC=90°-∠C=90°-32°=58°$，
$\therefore ∠ABC=58°$。
② 如图2，当B、C在点D的同侧时：
同理可得$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$，$∠ADB=∠ADC=90°$，
$\therefore △ABD∽△CAD$，
$\therefore ∠BAD=∠C=32°$。
$\because ∠ABC$是$△ABD$的外角，
$\therefore ∠ABC=∠BAD+∠ADB=32°+90°=122°$。
【答案】
$∠ABC$的度数为$\boldsymbol{58°}$或$\boldsymbol{122°}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题核心是将等积式转化为比例式，结合直角证明三角形相似，再利用角度关系求解，能有效考查对相似三角形知识的掌握和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
5.[2026·合肥新站区二模]如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，连接BR，分别交AC，DC于点P，Q，则BP：PQ：QR的值为（
A.3：1：2
B.5：2：3
C.4：1：3
D.7：2：4
A
）A.3：1：2
B.5：2：3
C.4：1：3
D.7：2：4
答案
5. A
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边相等、对边平行的性质，可得BC=CE，AC//DE，先判定△BPC∽△BRE，结合C是BE中点得到BP与PR的关系，以及PC和RE的数量关系；再结合R是DE中点，得到PC与DR的比值，判定△PCQ∽△RDQ，得到PQ与QR的比值，最后统一份数即可得到三者的比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴BC=AD=CE，AC=DE，AC//DE
∴C为BE的中点，且PC//RE
∴△BPC∽△BRE，相似比为$BC:BE=1:2$
∴$BP:PR=PC:RE=1:2$，即$BP=PR$，$PC=\frac{1}{2}RE$
∵R为DE的中点，
∴$DR=RE=\frac{1}{2}DE$
∴$PC=\frac{1}{2}RE=\frac{1}{2}DR$，即$PC:DR=1:2$
又
∵AC//DE，
∴$∠ PCQ=∠ RDQ$，$∠ CPQ=∠ DRQ$
∴△PCQ∽△RDQ，相似比为$PC:DR=1:2$
∴$PQ:QR=1:2$
设$PQ=k$，则$QR=2k$，
∴$PR=PQ+QR=3k$
又
∵$BP=PR$，
∴$BP=3k$
∴$BP:PQ:QR=3k:k:2k=3:1:2$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合应用，解题核心是通过平行线找到相似三角形，利用相似比转化线段的比例关系，通过设份数的方法即可快速求出多线段的比值。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边相等、对边平行的性质，可得BC=CE，AC//DE，先判定△BPC∽△BRE，结合C是BE中点得到BP与PR的关系，以及PC和RE的数量关系；再结合R是DE中点，得到PC与DR的比值，判定△PCQ∽△RDQ，得到PQ与QR的比值，最后统一份数即可得到三者的比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴BC=AD=CE，AC=DE，AC//DE
∴C为BE的中点，且PC//RE
∴△BPC∽△BRE，相似比为$BC:BE=1:2$
∴$BP:PR=PC:RE=1:2$，即$BP=PR$，$PC=\frac{1}{2}RE$
∵R为DE的中点，
∴$DR=RE=\frac{1}{2}DE$
∴$PC=\frac{1}{2}RE=\frac{1}{2}DR$，即$PC:DR=1:2$
又
∵AC//DE，
∴$∠ PCQ=∠ RDQ$，$∠ CPQ=∠ DRQ$
∴△PCQ∽△RDQ，相似比为$PC:DR=1:2$
∴$PQ:QR=1:2$
设$PQ=k$，则$QR=2k$，
∴$PR=PQ+QR=3k$
又
∵$BP=PR$，
∴$BP=3k$
∴$BP:PQ:QR=3k:k:2k=3:1:2$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合应用，解题核心是通过平行线找到相似三角形，利用相似比转化线段的比例关系，通过设份数的方法即可快速求出多线段的比值。
【难度系数】
0.6
6.如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC=a$,$BC=b$,点$P$在$△ ABC$内,且$∠ PBC=∠ PAB=∠ PCA$,则$\frac{S_{△ PAB}}{S_{△ PBC}}=$
$\frac{a^2}{b^2}$
.(用含$a,b$的式子表示)答案
6. $\frac{a^2}{b^2}$
解析
【分析】
首先从已知条件出发，△ABC是等腰三角形，可得两底角相等，结合题目给出的∠PBC=∠PAB=∠PCA，通过角的等量代换找出△PAB和△PBC的两组对应等角，证明两个三角形相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出两个三角形的面积比值。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，
∴$∠ ABC=∠ ACB$，
∵$∠ PBC=∠ PCA$，
∴$∠ ABC - ∠ PBC = ∠ ACB - ∠ PCA$，即$∠ ABP=∠ BCP$，
又
∵$∠ PAB=∠ PBC$（已知），
∴$△ PAB ∽ △ PBC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两个三角形的相似比为$\frac{AB}{BC}=\frac{a}{b}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ PAB}}{S_{△ PBC}}=(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}$。
【答案】
$\frac{a^2}{b^2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过角的等量代换得到判定相似所需的等角，再结合相似三角形面积比的性质求解，能较好地考查学生角的转化能力和对相似相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件出发，△ABC是等腰三角形，可得两底角相等，结合题目给出的∠PBC=∠PAB=∠PCA，通过角的等量代换找出△PAB和△PBC的两组对应等角，证明两个三角形相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，即可求出两个三角形的面积比值。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，
∴$∠ ABC=∠ ACB$，
∵$∠ PBC=∠ PCA$，
∴$∠ ABC - ∠ PBC = ∠ ACB - ∠ PCA$，即$∠ ABP=∠ BCP$，
又
∵$∠ PAB=∠ PBC$（已知），
∴$△ PAB ∽ △ PBC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴两个三角形的相似比为$\frac{AB}{BC}=\frac{a}{b}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ PAB}}{S_{△ PBC}}=(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}$。
【答案】
$\frac{a^2}{b^2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过角的等量代换得到判定相似所需的等角，再结合相似三角形面积比的性质求解，能较好地考查学生角的转化能力和对相似相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
7. [2024·合肥长丰二模]已知E是$△ ABC$外一点，D是$△ ABC$所在平面内一点，且满足$∠ ABD=∠ ACE$，$∠ BAD=∠ CAE$.
(1)如图1，点D在$△ ABC$外，求证：$△ ABC ∽ △ ADE$；
(2)如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=30°$，$BD=1$，$AD=\sqrt{3}$，求$\frac{DF}{CF}$的值.
(1)如图1，点D在$△ ABC$外，求证：$△ ABC ∽ △ ADE$；
(2)如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=30°$，$BD=1$，$AD=\sqrt{3}$，求$\frac{DF}{CF}$的值.
答案
7. (1)证明略.
(2)由(1)得$△BAD∽△CAE,△ABC∽△ADE$.
$\because ∠BAC=90°,∠ABC=30°,BD=1,AD=\sqrt{3}$,
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE},∠ADE=∠ABC=∠ACE=30°,∠DAE=∠BAC=90°,\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3},\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore AE=\sqrt{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD,\therefore AD=3CE$.
$\because ∠ADF=∠ECF=30°,∠AFD=∠EFC$,
$\therefore △AFD∽△EFC,\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{AD}{EC}=3$.
(2)由(1)得$△BAD∽△CAE,△ABC∽△ADE$.
$\because ∠BAC=90°,∠ABC=30°,BD=1,AD=\sqrt{3}$,
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE},∠ADE=∠ABC=∠ACE=30°,∠DAE=∠BAC=90°,\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3},\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore AE=\sqrt{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD,\therefore AD=3CE$.
$\because ∠ADF=∠ECF=30°,∠AFD=∠EFC$,
$\therefore △AFD∽△EFC,\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{AD}{EC}=3$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC∽△ADE，首先可通过已知的两组角相等证明△ABD∽△ACE，得到对应边成比例，再通过角的和差关系证明两组对应边的夹角相等，即可利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似。
(2) 结合(1)的相似结论，先得到对应角相等、对应边成比例的关系，再通过已知的边长和角度计算边的比值，最后证明△AFD∽△EFC，利用相似三角形的对应边成比例即可求出$\frac{DF}{CF}$的值。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAD=∠ CAE$，$∠ ABD=∠ ACE$，
∴ $△ ABD ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵ $∠ BAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，
∴ $∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)可得$△ BAD ∽ △ CAE$，$△ ABC ∽ △ ADE$，
∴ $∠ ADE=∠ ABC=30°$，$∠ ACE=∠ ABD=30°$，$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$，
∴ $\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}$。
代入$BD=1$，$AD=\sqrt{3}$，得$\frac{AE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，即$AE=\sqrt{3}CE$。
又
∵ $△ ABC ∽ △ ADE$，$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=30°$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $AE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD$。
联立$AE=\sqrt{3}CE$和$AE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD$，得$\sqrt{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD$，化简得$AD=3CE$。
在$△ AFD$和$△ EFC$中：
$\begin{cases}∠ ADF=∠ ECF=30° \\∠ AFD=∠ EFC（对顶角相等）\end{cases}$
∴ $△ AFD ∽ △ EFC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{EC}=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合题，第一问是相似判定的基础应用，为第二问的求解提供了核心的边角关系；第二问需要灵活运用相似的性质转化边的比例关系，解题的关键是找准对应相似三角形的对应边和对应角，是一道比较典型的相似综合考查题。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ABC∽△ADE，首先可通过已知的两组角相等证明△ABD∽△ACE，得到对应边成比例，再通过角的和差关系证明两组对应边的夹角相等，即可利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似。
(2) 结合(1)的相似结论，先得到对应角相等、对应边成比例的关系，再通过已知的边长和角度计算边的比值，最后证明△AFD∽△EFC，利用相似三角形的对应边成比例即可求出$\frac{DF}{CF}$的值。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAD=∠ CAE$，$∠ ABD=∠ ACE$，
∴ $△ ABD ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵ $∠ BAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，
∴ $∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)可得$△ BAD ∽ △ CAE$，$△ ABC ∽ △ ADE$，
∴ $∠ ADE=∠ ABC=30°$，$∠ ACE=∠ ABD=30°$，$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$，
∴ $\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}$。
代入$BD=1$，$AD=\sqrt{3}$，得$\frac{AE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，即$AE=\sqrt{3}CE$。
又
∵ $△ ABC ∽ △ ADE$，$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=30°$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $AE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD$。
联立$AE=\sqrt{3}CE$和$AE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD$，得$\sqrt{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD$，化简得$AD=3CE$。
在$△ AFD$和$△ EFC$中：
$\begin{cases}∠ ADF=∠ ECF=30° \\∠ AFD=∠ EFC（对顶角相等）\end{cases}$
∴ $△ AFD ∽ △ EFC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{EC}=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合题，第一问是相似判定的基础应用，为第二问的求解提供了核心的边角关系；第二问需要灵活运用相似的性质转化边的比例关系，解题的关键是找准对应相似三角形的对应边和对应角，是一道比较典型的相似综合考查题。
【难度系数】
0.6
