5. 如图29.2-33，$\odot C$过原点$O$，且与两坐标轴分别交于点$A$，$B$，点$A$的坐标为$(0,6)$，$E$是圆上一点.若$∠ BEO=120°$，则圆心$C$的坐标为（）.

A.$(-3\sqrt{3},3)$
B.$(3\sqrt{3},3)$
C.$(-3,3)$
D.$(3,3)$


图29.2-33
图29.2-34

5. A

【分析】
首先根据90°的圆周角所对的弦是直径，可判定AB是⊙C的直径，因此圆心C是AB的中点。再利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠OAB的度数，结合A点坐标在Rt△AOB中求出B点坐标，最后通过中点坐标公式即可算出圆心C的坐标。
【解析】
1. 连接AB，
∵∠AOB=90°，根据圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴AB是⊙C的直径，即点C为AB的中点。
2.
∵四边形AOBE是⊙C的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得∠OAB + ∠BEO = 180°。已知∠BEO=120°，
∴∠OAB=180°-120°=60°。
3. 已知A点坐标为(0,6)，则OA=6。在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=60°，
∴OB = OA·tan60°=6×√3=6√3。
结合图形可知B在x轴负半轴，因此B点坐标为(-6√3, 0)。
4. 已知A(0,6)、B(-6√3,0)，C为AB中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
代入得C点横坐标为$\frac{0+(-6\sqrt{3})}{2}=-3\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{6+0}{2}=3$，即$C(-3\sqrt{3},3)$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是圆的性质的常规综合应用题，解题关键是先确定直径AB，再结合角度计算得到点B坐标，最后利用中点公式求圆心坐标，对圆的基础性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

6. 如图29.2-34，四边形ABCD内接于$\odot O$，过点A作$AE// BC$，交CD于点E。若$∠ AED=50°$，则$∠ BAD$的度数是。

6. 130°

【分析】
解题时先从已知的平行关系和给出的角度入手，首先利用平行线的性质求出∠C的度数，再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠BAD的度数。具体思考路径：第一步，AE//BC，CD为两条平行线的截线，根据同位角相等可推出∠C=∠AED；第二步，圆内接四边形的对角互补，因此∠BAD与∠C的和为180°，代入∠C的度数即可算出∠BAD的大小。
【解析】
解：
∵$AE// BC$，CD是两平行线的截线
∴$∠ C=∠ AED=50°$（两直线平行，同位角相等）
又
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴$∠ BAD+∠ C=180°$（圆内接四边形的对角互补）
∴$∠ BAD=180°-50°=130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查常见几何性质的直接应用，只要熟悉相关性质，按逻辑推导即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

8. 如图29.2-35，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，连接AO，OC，$∠ B=70°$，$AO// CD$，则$∠ OAD$的度数为（）。

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$



图29.2-35
图29.2-36
图29.2-37

8. D

【分析】
本题可分两步求解：第一步，根据圆内接四边形的对角互补性质，结合已知∠B的度数，求出∠ADC的度数；第二步，利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合∠ADC的度数，即可计算出∠OAD的大小。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得：
$∠ B + ∠ ADC = 180°$
已知$∠ B=70°$，代入得$∠ ADC = 180° - 70° = 110°$。
2. 因为$AO// CD$，直线AD是两条平行线的截线，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，得：
$∠ OAD + ∠ ADC = 180°$
代入$∠ ADC=110°$，得$∠ OAD = 180° - 110° = 70°$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查圆内接四边形性质和平行线性质的结合运用，解题时只需找准角之间的互补关系即可快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.8

9. 如图29.2-36，定长弦CD在以AB为直径的$\odot O$上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作$CP ⊥ AB$，垂足为P.若$CD=3$，$AB=8$，$PM=l$，则$l$的最大值是.

9. 4

【分析】
解题时可先观察已知条件：AB是⊙O的直径，CP⊥AB，首先联想到垂径定理，通过延长CP交⊙O于点E，可得P是CE的中点；再结合M是CD的中点，可想到三角形中位线定理，将PM转化为△CDE的中位线，即PM=½DE。要求PM的最大值，只需找到圆中弦DE的最大值即可，而圆内最长的弦是直径，由此可计算出l的最大值。
【解析】
解：延长CP交⊙O于点E，连接DE。
∵AB是⊙O的直径，CP⊥AB，
∴根据垂径定理可得：P是CE的中点。
又
∵M是CD的中点，
∴PM是△CDE的中位线，
∴PM = ½DE。
∵DE是⊙O的弦，⊙O的直径AB=8，
∴圆内最长的弦为直径，即DE的最大值为8，
∴PM的最大值为½×8=4，即l的最大值是4。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的综合应用类题目，解题的核心是通过作辅助线将未知线段PM转化为圆的弦的一半，将求线段最值的问题转化为求圆内最长弦的问题，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6

10. 如图29.2-37，AB，AC是$\odot O$的两条弦，且$AB=AC$，点D，P分别在$\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AC}$上。若$∠ BDC=140°$，则$∠ APC$的度数为。

10. 110°

【分析】
解题时可结合圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质逐步推导角度：第一步，先由圆内接四边形ABDC的对角互补，结合已知∠BDC的度数求出∠BAC的度数；第二步，根据AB=AC可知△ABC为等腰三角形，利用三角形内角和求出∠ABC的度数；第三步，再由圆内接四边形ABCP的对角互补，即可求出∠APC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAC + ∠BDC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
已知∠BDC=140°，
∴ ∠BAC = 180° - 140° = 40°。
又
∵ AB = AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC = ∠ACB，
由三角形内角和为180°可得：
∠ABC = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°。
∵ 四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴ ∠APC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴ ∠APC = 180° - 70° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，需要灵活运用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形、三角形内角和的相关知识推导求解，解题时注意挖掘图中隐含的圆内接四边形是关键。
【难度系数】
0.7

11. 如图29.2-38，在$\odot O$中，弦AB=AD，点E在$\odot O$上。 图29.2-38
(1) 如图29.2-38①，若BD是$\odot O$的直径，求$∠ E$的度数；
(2) 如图29.2-38②，在$\overset{\frown}{BD}$上取一点C，若$∠ C=α(90°＜α＜180°)$，请用含$α$的式子表示$∠ E$的度数。

11. 解：(1) $\because BD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAD=90°$.
又$AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=45°$.
$\because$ 四边形$ABDE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ E=180°-∠ ABD=180°-45°=135°$.
(2) 如图，连接$AC$.
$\because AB=AD$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$.
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD$.
$\because ∠ BCD=α$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=\frac{1}{2}α$.
$\because$ 四边形$ABDE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ ABD+∠ E=180°$.
$\therefore \frac{1}{2}α+∠ E=180°$.
$\therefore ∠ E=180°-\frac{1}{2}α$.

【分析】
(1) 求解第一问时，首先根据BD是圆的直径，联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得∠BAD=90°；再结合AB=AD，可知△ABD是等腰直角三角形，即可求出∠ABD的度数；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，就能求出∠E的度数。
(2) 求解第二问时，首先由AB=AD可得二者对应的劣弧相等，因此考虑连接AC，利用“等弧所对的圆周角相等”，可知AC平分∠BCD，求出∠ACB的度数；再根据“同弧所对的圆周角相等”，得到∠ABD和∠ACB相等；最后再次利用圆内接四边形对角互补的性质，即可用含α的式子表示出∠E。
【解析】
(1) $\because BD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAD=90°$。
又$\because AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=45°$。
$\because$ 四边形$ABDE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ E + ∠ ABD = 180°$，
$\therefore ∠ E=180° - 45°=135°$。
(2) 如图，连接$AC$。

$\because AB=AD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$。
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD$。
$\because ∠ BCD=α$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=∠ ABD=\frac{1}{2}α$。
$\because$ 四边形$ABDE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ ABD + ∠ E=180°$，
$\therefore \frac{1}{2}α + ∠ E=180°$，
$\therefore ∠ E=180°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $∠ E=135°$；
(2) 如图，连接$AC$， $∠ E=180°-\frac{1}{2}α$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质综合应用题，重点考查圆周角相关定理、圆内接四边形性质的应用，第二问需要结合等弦对等弧的性质构造辅助线，能够锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65