12. 如图29.2-39，已知点A，B，C，D在$\odot O$上，若$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BCD$，$\odot O$的半径为4.
（1）如图29.2-39①，连接BD，求BD的长.
（2）如图29.2-39②，连接CA. 若CA平分$∠ BCD$，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由.

12. (1) 解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠BAD=60°.
连接OB，OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，如图①.
∵∠BOD=2∠BAD=120°，OD=OB=4，
∴∠OBM=∠ODB=30°.
∴OM=$\frac{1}{2}$OB=2.
在Rt△BOM中，BM=$\sqrt{OB^2-OM^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$.
∴BD=2BM=4$\sqrt{3}$.

(2) AC=BC+CD. 理由如下：
延长CB至点N，使BN=CD，连接AN，如图②.
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD.
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AD}$.
∴AB=AD.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠ABN+∠ABC=180°，
∴∠ABN=∠ADC.
∵BN=CD，
∴△ABN≌△ADC.
∴AN=AC.
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠BAD=∠ACB=∠ACD=60°.
∴△CAN为等边三角形.
∴AC=CN=BC+BN=BC+CD，
即AC=BC+CD.

【分析】
（1）解题时先利用圆内接四边形的对角互补，结合已知的两个角的数量关系求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理得到对应的圆心角∠BOD的度数，过圆心作BD的垂线，结合垂径定理、直角三角形的性质和勾股定理即可计算出BD的长度。
（2）对于三条线段的和差关系，可采用截长补短的思路构造全等三角形：延长CB至点N，使BN=CD，先根据角平分线的性质得到相等的圆周角，推出弧相等得到AB=AD，再结合圆内接四边形的性质得到一组等角，证明△ABN≌△ADC，得到AN=AC，最后根据角度关系证明△CAN为等边三角形，即可推导出AC、BC、CD的数量关系。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°。
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠BAD=60°。
连接OB，OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，如图①。
∵∠BOD=2∠BAD=120°，OD=OB=4，
∴∠OBM=∠ODB=30°。
∴OM=$\frac{1}{2}$OB=2。
在Rt△BOM中，BM=$\sqrt{OB^2-OM^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$。
∴BD=2BM=4$\sqrt{3}$。

(2) $AC=BC+CD$，理由如下：
延长CB至点N，使BN=CD，连接AN，如图②。
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD。
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AD}$。
∴AB=AD。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°。
∵∠ABN+∠ABC=180°，
∴∠ABN=∠ADC。
∵BN=CD，
∴△ABN≌△ADC。
∴AN=AC。
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠BAD=∠ACB=∠ACD=60°。
∴△CAN为等边三角形。
∴AC=CN=BC+BN=BC+CD，
即$AC=BC+CD$。
【答案】
(1) $BD=4\sqrt{3}$
(2) $AC=BC+CD$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质
【点评】本题综合考查了圆的相关性质与三角形的知识，第一问侧重基础，考查圆的性质的直接应用，第二问需要灵活运用截长补短的方法构造辅助线，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6