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11. 如图所示，$\odot O$的半径是4，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，连结EF，若$OG=1$，则$EF=$
$\sqrt{15}$
。答案
11. $\sqrt{15}$
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先根据垂径定理，圆心垂直于弦的直线平分弦，可得G是AC中点，同理E是AB中点、F是BC中点；其次由三角形中位线的性质，可推出EF等于AC的一半，因此只需算出AC的长度即可得EF的长度；最后连接半径OA，在直角三角形OAG中用勾股定理算出AG的长，再结合垂径定理得到AC的长，进而求出EF。
【解析】
连接OA，
∵ OG⊥AC，O为圆心，根据垂径定理可得：G是AC的中点，即$AC=2AG$。
同理，$OE⊥AB$，$OF⊥BC$，可得E是AB中点，F是BC中点，
∴ EF是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线性质得：$EF=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt△ OAG$中，OA是$\odot O$的半径，$OA=4$，$OG=1$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{OA^2-OG^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，
∴ $AC=2AG=2\sqrt{15}$，
∴ $EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{15}=\sqrt{15}$。
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质和三角形相关定理的基础综合题，解题的核心是通过中位线性质将求EF的问题转化为求弦AC的长度，再结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：首先根据垂径定理，圆心垂直于弦的直线平分弦，可得G是AC中点，同理E是AB中点、F是BC中点；其次由三角形中位线的性质，可推出EF等于AC的一半，因此只需算出AC的长度即可得EF的长度；最后连接半径OA，在直角三角形OAG中用勾股定理算出AG的长，再结合垂径定理得到AC的长，进而求出EF。
【解析】
连接OA，
∵ OG⊥AC，O为圆心，根据垂径定理可得：G是AC的中点，即$AC=2AG$。
同理，$OE⊥AB$，$OF⊥BC$，可得E是AB中点，F是BC中点，
∴ EF是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线性质得：$EF=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt△ OAG$中，OA是$\odot O$的半径，$OA=4$，$OG=1$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{OA^2-OG^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，
∴ $AC=2AG=2\sqrt{15}$，
∴ $EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{15}=\sqrt{15}$。
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质和三角形相关定理的基础综合题，解题的核心是通过中位线性质将求EF的问题转化为求弦AC的长度，再结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
12. 图1是将若干细竹条嵌入圆形钢圈制作而成的蒸架，实际制作时需要根据钢圈的半径设计竹架。
(1)【建立模型】如图2，若最短横条AB = 16 cm，弦心距OC = 15 cm，求钢圈半径。
(2)【迁移应用】某小组利用四根长度均为18 cm的细竹条自制了一个井字型蒸架。如图3，将四根木条互相垂直捆绑，木条捆绑处均为互相垂直木条的三等分位置(竹条宽度忽略不计)。一口圆形平底锅侧面视图如图4所示，其中弧DE和弧FG是同一圆中的两条等弧，EF//DG，上下口直径EF = 32 cm，DG = 12 cm，深度CK = 10 cm。若使用蒸架时要保证锅底水深至少2 cm，问该蒸架是否符合要求？通过计算说明理由。
(1)【建立模型】如图2，若最短横条AB = 16 cm，弦心距OC = 15 cm，求钢圈半径。
(2)【迁移应用】某小组利用四根长度均为18 cm的细竹条自制了一个井字型蒸架。如图3，将四根木条互相垂直捆绑，木条捆绑处均为互相垂直木条的三等分位置(竹条宽度忽略不计)。一口圆形平底锅侧面视图如图4所示，其中弧DE和弧FG是同一圆中的两条等弧，EF//DG，上下口直径EF = 32 cm，DG = 12 cm，深度CK = 10 cm。若使用蒸架时要保证锅底水深至少2 cm，问该蒸架是否符合要求？通过计算说明理由。
答案
12. (1)连结 OA。$\because AB$ 为最短横条,$\therefore AB ⊥ OD,\therefore AC=\frac{1}{2}AB=8,\therefore OA=\sqrt{8^2+15^2}=17,\therefore$ 半径为 17。
(2)井字型蒸架半径为 $IB=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。设 $MC=x$,则 $MK=x+10$。$\because MK ⊥ EF,MK ⊥ DG,\therefore EC=CF=16,DK=HK=6$。$\because ME=MD,\therefore MC^2+EC^2=MK^2+DK^2,\therefore x^2+16^2=(x+10)^2+6^2,\therefore x=6,\therefore ME=\sqrt{MC^2+EC^2}=2\sqrt{73}$。$\because HK=2,\therefore PH=\sqrt{PM^2-MH^2}=4\sqrt{6}$。$\because 3\sqrt{10}＞4\sqrt{6},\therefore IB＞PH,\therefore$ 符合要求。
解析
【分析】
(1) 求钢圈半径可利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，连接半径后与弦的一半、弦心距构成直角三角形，再通过勾股定理计算半径即可。
(2) 判断蒸架是否符合要求需分三步：①先根据竹条长度和三等分的条件，计算蒸架最远点到中心的距离（即蒸架的外接圆半径）；②利用垂径定理和勾股定理求出平底锅所在圆的半径，再计算水深2cm位置对应的水面半径；③比较蒸架外接圆半径和该水面半径的大小，若蒸架半径更大，说明蒸架无法落到水深2cm以下，可保证锅底水深至少2cm，符合要求。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ OC是弦AB的弦心距，
∴ OC⊥AB，
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{cm}$，
即钢圈半径为17cm。
(2) ① 计算蒸架外接圆半径：
每根竹条长18cm，捆绑处为三等分位置，每段长$18÷3=6\ \mathrm{cm}$，
蒸架最远点到中心的水平距离为9cm、垂直距离为3cm，
则蒸架外接圆半径$IB=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
② 计算平底锅相关参数：
设平底锅弧所在圆的圆心为M，$MC=x\ \mathrm{cm}$，则$MK=(x+10)\ \mathrm{cm}$，
∵ $MK⊥ EF$，$MK⊥ DG$，由垂径定理得：
$EC=\frac{1}{2}EF=16\ \mathrm{cm}$，$DK=\frac{1}{2}DG=6\ \mathrm{cm}$，
∵ ME、MD都是圆的半径，
∴ ME=MD，
由勾股定理得：$MC^2+EC^2=MK^2+DK^2$，
代入得：$x^2+16^2=(x+10)^2+6^2$，
解得$x=6$，
∴ 圆的半径$ME=\sqrt{6^2+16^2}=2\sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。
当水深为2cm时，水面到圆心M的距离$MH=MK-2=6+10-2=14\ \mathrm{cm}$，
此时水面半径$PH=\sqrt{ME^2-MH^2}=\sqrt{(2\sqrt{73})^2-14^2}=4\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
③ 比较大小：
∵ $3\sqrt{10}＞4\sqrt{6}$，即蒸架外接圆半径大于水深2cm处的水面半径，
∴ 蒸架无法落到水深2cm以下，可保证锅底水深至少2cm，符合要求。
【答案】
12. (1)连结 OA。$\because AB$ 为最短横条,$\therefore AB ⊥ OD,\therefore AC=\frac{1}{2}AB=8,\therefore OA=\sqrt{8^2+15^2}=17,\therefore$ 半径为 17。
(2)井字型蒸架半径为 $IB=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。设 $MC=x$,则 $MK=x+10$。$\because MK ⊥ EF,MK ⊥ DG,\therefore EC=CF=16,DK=HK=6$。$\because ME=MD,\therefore MC^2+EC^2=MK^2+DK^2,\therefore x^2+16^2=(x+10)^2+6^2,\therefore x=6,\therefore ME=\sqrt{MC^2+EC^2}=2\sqrt{73}$。$\because HK=2,\therefore PH=\sqrt{PM^2-MH^2}=4\sqrt{6}$。$\because 3\sqrt{10}＞4\sqrt{6},\therefore IB＞PH,\therefore$ 符合要求。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活中的蒸架、平底锅场景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，需要将实际问题转化为圆的几何模型，通过构造直角三角形求解，能有效提升数学建模和知识应用的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求钢圈半径可利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，连接半径后与弦的一半、弦心距构成直角三角形，再通过勾股定理计算半径即可。
(2) 判断蒸架是否符合要求需分三步：①先根据竹条长度和三等分的条件，计算蒸架最远点到中心的距离（即蒸架的外接圆半径）；②利用垂径定理和勾股定理求出平底锅所在圆的半径，再计算水深2cm位置对应的水面半径；③比较蒸架外接圆半径和该水面半径的大小，若蒸架半径更大，说明蒸架无法落到水深2cm以下，可保证锅底水深至少2cm，符合要求。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ OC是弦AB的弦心距，
∴ OC⊥AB，
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{cm}$，
即钢圈半径为17cm。
(2) ① 计算蒸架外接圆半径：
每根竹条长18cm，捆绑处为三等分位置，每段长$18÷3=6\ \mathrm{cm}$，
蒸架最远点到中心的水平距离为9cm、垂直距离为3cm，
则蒸架外接圆半径$IB=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
② 计算平底锅相关参数：
设平底锅弧所在圆的圆心为M，$MC=x\ \mathrm{cm}$，则$MK=(x+10)\ \mathrm{cm}$，
∵ $MK⊥ EF$，$MK⊥ DG$，由垂径定理得：
$EC=\frac{1}{2}EF=16\ \mathrm{cm}$，$DK=\frac{1}{2}DG=6\ \mathrm{cm}$，
∵ ME、MD都是圆的半径，
∴ ME=MD，
由勾股定理得：$MC^2+EC^2=MK^2+DK^2$，
代入得：$x^2+16^2=(x+10)^2+6^2$，
解得$x=6$，
∴ 圆的半径$ME=\sqrt{6^2+16^2}=2\sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。
当水深为2cm时，水面到圆心M的距离$MH=MK-2=6+10-2=14\ \mathrm{cm}$，
此时水面半径$PH=\sqrt{ME^2-MH^2}=\sqrt{(2\sqrt{73})^2-14^2}=4\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
③ 比较大小：
∵ $3\sqrt{10}＞4\sqrt{6}$，即蒸架外接圆半径大于水深2cm处的水面半径，
∴ 蒸架无法落到水深2cm以下，可保证锅底水深至少2cm，符合要求。
【答案】
12. (1)连结 OA。$\because AB$ 为最短横条,$\therefore AB ⊥ OD,\therefore AC=\frac{1}{2}AB=8,\therefore OA=\sqrt{8^2+15^2}=17,\therefore$ 半径为 17。
(2)井字型蒸架半径为 $IB=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$。设 $MC=x$,则 $MK=x+10$。$\because MK ⊥ EF,MK ⊥ DG,\therefore EC=CF=16,DK=HK=6$。$\because ME=MD,\therefore MC^2+EC^2=MK^2+DK^2,\therefore x^2+16^2=(x+10)^2+6^2,\therefore x=6,\therefore ME=\sqrt{MC^2+EC^2}=2\sqrt{73}$。$\because HK=2,\therefore PH=\sqrt{PM^2-MH^2}=4\sqrt{6}$。$\because 3\sqrt{10}＞4\sqrt{6},\therefore IB＞PH,\therefore$ 符合要求。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活中的蒸架、平底锅场景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，需要将实际问题转化为圆的几何模型，通过构造直角三角形求解，能有效提升数学建模和知识应用的能力。
【难度系数】
0.6
