一、选择题
1.下面说法正确的有()个。
①因为$\frac{5}{6}×1.2=1$，所以$\frac{5}{6}$的倒数是1.2
②一个数的倒数比原数小
③“甲数的$\frac{3}{4}$相当于乙数”是把乙数看作单位“1”
④因为$\frac{3}{4}×\frac{2}{5}×\frac{10}{3}=1$，所以$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{5}$、$\frac{10}{3}$互为倒数

A.1
B.2
C.3
D.4

1.A

【分析】
要解决这道题，我们需要结合倒数的定义、单位“1”的判定规则，逐个判断4个说法的正误。首先明确核心概念：1.乘积是1的两个数互为倒数，倒数是两个数之间的专属关系；2.判断单位“1”时，一般“的”字前面的量为单位“1”。之后逐一验证每个说法即可得出正确结论。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。已知$\frac{5}{6}×1.2=1$，因此$\frac{5}{6}$和1.2互为倒数，即$\frac{5}{6}$的倒数是1.2，该说法正确。
②举反例验证：1的倒数是1，和原数相等；真分数$\frac{1}{2}$的倒数是2，$2＞\frac{1}{2}$，因此“一个数的倒数比原数小”的说法错误。
③按照单位“1”的判定规则：“的”字前的量是单位“1”，“甲数的$\frac{3}{4}$”中“的”前为甲数，因此是把甲数看作单位“1”，该说法错误。
④倒数是两个数之间的关系，三个数不能称为互为倒数，因此该说法错误。
综上，只有①1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
倒数的认识，单位“1”的判定
【点评】
本题侧重考查基础概念的细节理解，易错点是容易忽略倒数的适用范围是两个数、混淆单位“1”的判定规则，只要准确记忆相关概念，逐一排查就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7

2.一个数除以$\frac{1}{12}$，就是把这个数()。

A.缩小到原来的$\frac{1}{12}$
B.缩小$\frac{1}{12}$
C.扩大到原来的12倍
D.除以12

2.C

【分析】
解题时首先回忆分数除法的计算规则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。我们先把题目中的除法运算转化为乘法运算，再根据乘法的意义判断数的变化情况，最后逐一核对选项选出正确答案即可。
【解析】
根据分数除法的计算法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
$\frac{1}{12}$的倒数是12，因此一个数除以$\frac{1}{12}$，等价于这个数乘12，也就是把这个数扩大到原来的12倍。
逐一分析选项：
A. 缩小到原来的$\frac{1}{12}$是指这个数乘$\frac{1}{12}$（或除以12），不符合题意；
B. 缩小$\frac{1}{12}$是指这个数减去它自身的$\frac{1}{12}$，结果是原数的$\frac{11}{12}$，不符合题意；
C. 扩大到原来的12倍，符合推导结果，正确；
D. 除以12和乘12的变化相反，不符合题意。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分数除法计算法则；倒数的认识；倍数变化规律
【点评】
本题考查分数除法的基础应用，易错点在于混淆除法转乘法时的倒数转换，以及对“缩小到原来的几分之几”“缩小几分之几”两种表述的理解偏差，熟练掌握分数除法的转化规则就能快速作答。
【难度系数】
0.8

3.如果a和b互为倒数，那么$\frac{a}{7} ÷ \frac{5}{b} =$()。

A.35
B.$\frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{35}$

3.D

【分析】
解题时首先提取已知条件：a和b互为倒数，根据倒数的性质可知互为倒数的两个数乘积为1，即ab=1。接下来计算分数除法算式，需先依据分数除法的计算规则，将除法转化为乘法运算，化简算式后再代入ab=1即可求出结果。
【解析】
首先根据分数除法的计算法则：除以一个数等于乘这个数的倒数，将算式转化：
$\frac{a}{7} ÷ \frac{5}{b} = \frac{a}{7} × \frac{b}{5}$
再根据分数乘法的计算方法，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得：
$\frac{a}{7} × \frac{b}{5} = \frac{ab}{35}$
已知a和b互为倒数，所以ab=1，代入上式得：
$\frac{ab}{35}=\frac{1}{35}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
倒数的性质；分数除法运算
【点评】
本题是倒数性质与分数除法的综合应用题，解题的核心是先将除法算式转化为乘法形式，再利用“互为倒数的两数乘积为1”的性质代入计算，是分数运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

4.下面选项中，可以表示$\frac{3}{5} ÷ 4$的计算过程的是()。

4.C

【分析】
要选出表示$\frac{3}{5} ÷ 4$计算过程的图形，首先要明确该算式的两层含义：第一步要先表示出单位“1”的$\frac{3}{5}$，也就是把单位“1”平均分成5份，取其中的3份；第二步要把得到的$\frac{3}{5}$再平均分成4份，取其中的1份，最终得到的部分就对应$\frac{3}{5} ÷ 4$的计算过程。接下来我们结合这个标准逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：将长方形平均分成5份，取了4份，仅表示$\frac{4}{5}$，不符合要求。
2. 选项B：将长方形平均分成5份，取了3份，仅表示$\frac{3}{5}$，没有体现后续除以4的操作，不符合要求。
3. 选项C：先将长方形（单位“1”）平均分成5列，取其中3列（浅色部分）表示$\frac{3}{5}$；再把这3列平均分成4行，取其中1行（深色部分），就是把$\frac{3}{5}$平均分成4份、取其中1份的过程，完全符合$\frac{3}{5} ÷ 4$的计算逻辑。
4. 选项D：仅能表示最终结果$\frac{3}{20}$，没有体现先得到$\frac{3}{5}$的过程，不符合要求。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分数的意义、分数除法的意义
【点评】
本题结合直观图形考查分数除法的算理，需要学生将分数除法的含义和分数的意义结合起来读图判断，能帮助学生更好地理解分数除法的计算原理。
【难度系数】
0.7

5.《九章算术》中介绍的分数除法(又称“经分”)，其方法是先将被除数和除数通分，使分母相同，然后用通分后的分子相除的结果作为商。下面计算$\frac{3}{4} ÷ \frac{7}{16}$的过程，运用了“经分”法的是()。

A.$\frac{3}{4} ÷ \frac{7}{16} = \frac{3}{4} × \frac{16}{7} = \frac{12}{7}$
B.$\frac{3}{4} ÷ \frac{7}{16} = \frac{12}{16} ÷ \frac{7}{16} = 12 ÷ 7 = \frac{12}{7}$
C.$\frac{3}{4} ÷ \frac{7}{16} = \frac{3}{4} × \frac{1}{7} × 16 = \frac{12}{7}$
D.$\frac{3}{4} ÷ \frac{7}{16} = \frac{21}{28} ÷ \frac{21}{48} = \frac{1}{28} ÷ \frac{1}{48} = \frac{12}{7}$

5.B

【分析】
解题首先要准确提取题目中给出的“经分”法的核心运算规则：一是先对被除数和除数通分，使两者的分母完全相同；二是用通分后两个分数的分子相除，所得结果就是商。接下来只需把四个选项的计算过程逐一和上述规则对照，完全匹配的就是正确答案。
【解析】
首先明确“经分”法的运算要求：先通分使被除数、除数的分母相同，再用通分后的分子相除得到商。
选项A：直接将分数除法转化为乘除数的倒数计算，没有通分步骤，不符合“经分”法要求；
选项B：先将被除数$\frac{3}{4}$通分为$\frac{12}{16}$，此时被除数$\frac{12}{16}$和除数$\frac{7}{16}$的分母都是16，再用通分后的分子12除以7得到商$\frac{12}{7}$，完全符合“经分”法的运算规则；
选项C：将除法拆分为连乘形式计算，没有通分步骤，不符合“经分”法要求；
选项D：通分后两个分数的分母不相同，后续运算也不符合“分子相除”的要求，不符合“经分”法要求。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
分数通分、分数除法运算
【点评】
本题结合古代数学典籍中的运算方法出题，既考查对新定义运算规则的理解能力，也考查分数通分、除法的基础运算知识，抓住新运算的核心步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6.如果$a÷\frac{3}{10}=b×\frac{1}{3}=c×0.125=d÷\frac{3}{16}$(a、b、c、d均不为0)，那么a、b、c、d中最大的数是()。

A.a
B.b
C.c
D.d

6.C

【分析】
遇到多个含有未知数的乘除算式连等的题目，我们可以采用假设法，先假设这个相等的结果为1（设为1计算最简便，符合乘除法计算特性），再分别根据四则运算各部分之间的关系求出a、b、c、d的具体数值，最后比较四个数的大小就能得出答案。
【解析】
设$a÷\frac{3}{10}=b×\frac{1}{3}=c×0.125=d÷\frac{3}{16}=1$，分别计算四个未知数的值：
1. 计算a：根据被除数=商×除数，得$a=1×\frac{3}{10}=\frac{3}{10}=0.3$
2. 计算b：根据因数=积÷另一个因数，得$b=1÷\frac{1}{3}=3$
3. 计算c：先把0.125转化为分数$\frac{1}{8}$，根据因数=积÷另一个因数，得$c=1÷\frac{1}{8}=8$
4. 计算d：根据被除数=商×除数，得$d=1×\frac{3}{16}=\frac{3}{16}≈0.1875$
比较大小可得：$8＞3＞0.3＞0.1875$，即$c＞b＞a＞d$，因此最大的数是c。
【答案】
C
【知识点】
1. 分数乘除法运算
2. 小数分数互化
3. 数的大小比较
【点评】
本题是连等式比较未知数大小的典型题型，通过假设等式结果为1的方法，可快速简化计算过程，解题的核心是熟练掌握分数、小数乘除法的计算规则，避免计算出错。
【难度系数】
0.7

7. 两根同样长的铁丝，第一根截去$\frac{1}{3}$，第二根截去$\frac{1}{3}$ m，要使第一根剩下的铁丝比第二根的短，原来的铁丝长度必须()。
A 大于1 m
B. 小于1 m
C. 等于1 m
D. 大于$\frac{1}{3}$ m

7.A

【分析】
解题时首先要明确两个$\frac{1}{3}$的区别：第一个是占铁丝总长度的分率，随原长变化而变化；第二个是固定的具体长度$\frac{1}{3}$m。我们可以通过分三种情况（原长等于1m、大于1m、小于1m）分别计算两根铁丝剩下的长度，再对比是否符合“第一根剩下的比第二根短”的要求，就能判断出原长的范围。
【解析】
设原来每根铁丝的长度为x米，我们分情况讨论：
1. 当x=1m时：
第一根剩下的长度：$1×(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$（m）
第二根剩下的长度：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$（m）
两根剩下的长度相等，不符合要求。
2. 当x＞1m时，举例x=3m：
第一根剩下的长度：$3×(1-\frac{1}{3})=2$（m）
第二根剩下的长度：$3-\frac{1}{3}=2\frac{2}{3}$（m）
因为$2＜2\frac{2}{3}$，第一根剩下的更短，符合要求。
3. 当x＜1m时，举例x=$\frac{1}{2}$m：
第一根剩下的长度：$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$（m）
第二根剩下的长度：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$（m）
因为$\frac{1}{3}＞\frac{1}{6}$，第一根剩下的更长，不符合要求。
综上，只有原来的铁丝长度大于1m时符合题意，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分数的意义、分数大小比较
【点评】
本题的易错点是混淆分率和具体长度的概念，解题时通过分类验证的方法可以清晰对比不同长度下的剩余情况，快速得出结论，是分数实际应用中的典型题型。
【难度系数】
0.7

8.把4个同样大的橙子分给小朋友，每人分$\frac{1}{3}$个，可以分给几人？小雨的算法是$4÷\frac{1}{3}=4×3=12$(人)。算式
“4×3”中的“3”表示()。

A.把1个橙子分给3人
B.把3个橙子分给4人
C.把4个橙子分给3人
D.1人分得3个橙子

8.A

【分析】
解题时要结合题目情境理解分数除法算式的实际意义，先思考“每人分$\frac{1}{3}$个”的含义：把1个橙子平均分成3份，每份就是$\frac{1}{3}$个，对应1个小朋友的分配量，因此1个橙子可以分给3个小朋友。再理解$4÷\frac{1}{3}$转化为$4×3$的逻辑：总共有4个橙子，每个橙子能分给3人，总人数就是4乘3，由此明确“3”的实际含义，最后逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
首先分析题意：每个小朋友分得$\frac{1}{3}$个橙子。
1. 先计算1个橙子可以分给的人数：$1÷\frac{1}{3}=3$（人），即1个橙子按每人$\frac{1}{3}$个分配，恰好能分给3人。
2. 4个橙子能分配的总人数，就是4个3人，因此列算式为$4×3$，这里的“3”就表示1个橙子可以分给3人，对应选项A。
其余选项验证：
B选项“把3个橙子分给4人”、C选项“把4个橙子分给3人”都不符合每人分$\frac{1}{3}$个的条件；D选项“1人分得3个橙子”和题目中每人分$\frac{1}{3}$个的表述完全相反，均错误。
【答案】A
【知识点】分数除法算理；分数除法应用
【点评】这道题没有直接考查分数除法的计算，而是聚焦计算过程中每一步的实际意义，能有效检验对分数除法算理的理解程度，提醒我们学习数学不能仅机械记忆计算规则，要结合情境理解知识本质。
【难度系数】0.6