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二、简答题
9.玲玲认为，分数除以整数(0除外)可以用“分子不变，分母乘这个整数作分母”的方法计算，例如$\frac{7}{9} ÷ 2 = \frac{7}{9 × 2} = \frac{7}{18}$。你认为玲玲的方法能否计算出所有分数除以整数(0除外)的正确结果？写出你的判断理由。
9.玲玲认为，分数除以整数(0除外)可以用“分子不变，分母乘这个整数作分母”的方法计算，例如$\frac{7}{9} ÷ 2 = \frac{7}{9 × 2} = \frac{7}{18}$。你认为玲玲的方法能否计算出所有分数除以整数(0除外)的正确结果？写出你的判断理由。
答案
答：能。因为分数除以整数（0除外），分子不变，分母乘这个整数作分母，就相当于乘这个整数的倒数，符合分数除以整数的计算法则，例如$\frac{7}{5} ÷ 5 = \frac{7}{5} × \frac{1}{5} = \frac{7}{25}$，$\frac{7}{5} ÷ 5 = \frac{7}{5×5} = \frac{7}{25}$。
解析
【分析】
要判断玲玲的计算方法是否正确，首先回忆分数除以整数（0除外）的计算法则：分数除以不为0的整数，等于分数乘这个整数的倒数。接下来将玲玲的方法和该计算法则做对比，验证二者算理是否一致：分数乘整数的倒数时，是分子和1相乘作新分子，分母和整数相乘作新分母，正好对应玲玲提出的“分子不变，分母乘这个整数作分母”的规则，最后还可以通过举例验证两种方法的计算结果是否一致，就能得出结论。
【解析】
首先判断：玲玲的方法可以计算出所有分数除以整数（0除外）的正确结果。
理由：根据分数除以整数（0除外）的计算法则，分数除以不为0的整数，等于乘这个整数的倒数。假设分数为$\frac{a}{b}$（$b≠0$），除以不为0的整数$c$，按法则计算：$\frac{a}{b}÷c=\frac{a}{b}×\frac{1}{c}=\frac{a}{b×c}$，该结果完全符合玲玲提出的“分子不变，分母乘这个整数作分母”的计算方法。
举例验证：计算$\frac{7}{5}÷5$，按常规法则计算得$\frac{7}{5}×\frac{1}{5}=\frac{7}{25}$，用玲玲的方法计算得$\frac{7}{5×5}=\frac{7}{25}$，二者结果完全一致，因此玲玲的方法是正确的。
【答案】
能。因为分数除以整数（0除外），分子不变，分母乘这个整数作分母，就相当于乘这个整数的倒数，符合分数除以整数的计算法则，例如$\frac{7}{5} ÷ 5 = \frac{7}{5} × \frac{1}{5} = \frac{7}{25}$，$\frac{7}{5} ÷ 5 = \frac{7}{5×5} = \frac{7}{25}$。
【知识点】
1. 分数除以整数计算法则
2. 倒数的认识
【点评】
本题考查对分数除以整数计算算理的理解，解题核心是将待验证的计算方法和已学的计算法则做对比，结合算理判断合理性，也可通过举例辅助验证结论。
【难度系数】
0.8
要判断玲玲的计算方法是否正确，首先回忆分数除以整数（0除外）的计算法则：分数除以不为0的整数，等于分数乘这个整数的倒数。接下来将玲玲的方法和该计算法则做对比，验证二者算理是否一致：分数乘整数的倒数时，是分子和1相乘作新分子，分母和整数相乘作新分母，正好对应玲玲提出的“分子不变，分母乘这个整数作分母”的规则，最后还可以通过举例验证两种方法的计算结果是否一致，就能得出结论。
【解析】
首先判断：玲玲的方法可以计算出所有分数除以整数（0除外）的正确结果。
理由：根据分数除以整数（0除外）的计算法则，分数除以不为0的整数，等于乘这个整数的倒数。假设分数为$\frac{a}{b}$（$b≠0$），除以不为0的整数$c$，按法则计算：$\frac{a}{b}÷c=\frac{a}{b}×\frac{1}{c}=\frac{a}{b×c}$，该结果完全符合玲玲提出的“分子不变，分母乘这个整数作分母”的计算方法。
举例验证：计算$\frac{7}{5}÷5$，按常规法则计算得$\frac{7}{5}×\frac{1}{5}=\frac{7}{25}$，用玲玲的方法计算得$\frac{7}{5×5}=\frac{7}{25}$，二者结果完全一致，因此玲玲的方法是正确的。
【答案】
能。因为分数除以整数（0除外），分子不变，分母乘这个整数作分母，就相当于乘这个整数的倒数，符合分数除以整数的计算法则，例如$\frac{7}{5} ÷ 5 = \frac{7}{5} × \frac{1}{5} = \frac{7}{25}$，$\frac{7}{5} ÷ 5 = \frac{7}{5×5} = \frac{7}{25}$。
【知识点】
1. 分数除以整数计算法则
2. 倒数的认识
【点评】
本题考查对分数除以整数计算算理的理解，解题核心是将待验证的计算方法和已学的计算法则做对比，结合算理判断合理性，也可通过举例辅助验证结论。
【难度系数】
0.8
10.春季研学活动的第一天,有1200名学生参观了滕王阁,占本次研学活动总人数的$\frac{2}{7}$。请你算一算:一共有多少名学生参加了本次研学活动?简要写出你的解题思路。
答案
根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，可得总人数为$1200 ÷ \frac{2}{7}$。根据分数除法的运算法则，除以一个分数等于乘它的倒数，则$1200 ÷ \frac{2}{7} = 4200$(名)。
解析
【分析】
解题时首先要找准单位“1”，本题中把本次研学活动的总人数看作单位“1”，已知单位“1”的$\frac{2}{7}$对应的数量是1200名，要求单位“1”的量，根据分数除法的意义，用对应数量除以对应分率就可以求出总人数，接下来再按照分数除法的计算法则算出结果即可。
【解析】
首先明确数量关系：研学总人数 × $\frac{2}{7}$ = 参观滕王阁的学生人数。
已知参观滕王阁的学生有1200名，要求总人数，即已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算：
$1200 ÷ \frac{2}{7}$
根据分数除法的运算法则，除以一个不为0的分数等于乘这个分数的倒数，计算得：
$1200 ÷ \frac{2}{7} = 1200 × \frac{7}{2} = 4200$（名）
【答案】
一共有4200名学生参加了本次研学活动。
【知识点】
1. 单位“1”的识别 2. 分数除法应用题 3. 分数除法运算
【点评】
本题属于分数除法的基础应用题型，核心是找准单位“1”，明确部分量与对应分率的关系，掌握相关解题方法就能快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先要找准单位“1”，本题中把本次研学活动的总人数看作单位“1”，已知单位“1”的$\frac{2}{7}$对应的数量是1200名，要求单位“1”的量，根据分数除法的意义，用对应数量除以对应分率就可以求出总人数，接下来再按照分数除法的计算法则算出结果即可。
【解析】
首先明确数量关系：研学总人数 × $\frac{2}{7}$ = 参观滕王阁的学生人数。
已知参观滕王阁的学生有1200名，要求总人数，即已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算：
$1200 ÷ \frac{2}{7}$
根据分数除法的运算法则，除以一个不为0的分数等于乘这个分数的倒数，计算得：
$1200 ÷ \frac{2}{7} = 1200 × \frac{7}{2} = 4200$（名）
【答案】
一共有4200名学生参加了本次研学活动。
【知识点】
1. 单位“1”的识别 2. 分数除法应用题 3. 分数除法运算
【点评】
本题属于分数除法的基础应用题型，核心是找准单位“1”，明确部分量与对应分率的关系，掌握相关解题方法就能快速作答。
【难度系数】
0.85
11.某快递公司正在使用无人智能配送车为客户配送一批快件。甲配送车单独配送，6小时可以送完；乙配送车单独配送，3小时可以送完。如果甲、乙两车同时配送，那么需要多少小时可以送完这批快件？
答案
$1÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{3})=2$(时)
解析
【分析】
这是典型的工程类问题，题目未给出快件的具体总量，我们可以先把这批快件的总工作量看作单位“1”。首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出甲、乙两车的工作效率，再求和得到两车同时配送的合作工作效率，最后根据“工作时间=工作总量÷合作工作效率”即可求出共同配送需要的时间。
【解析】
将这批快件的总工作量看作单位“1”。
1. 计算甲车的工作效率：甲车单独配送6小时完成，每小时完成总量的$1÷6=\frac{1}{6}$
2. 计算乙车的工作效率：乙车单独配送3小时完成，每小时完成总量的$1÷3=\frac{1}{3}$
3. 计算两车合作的工作效率：$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
4. 计算共同配送需要的时间：$1÷\frac{1}{2}=2$（时）
列综合算式为：$1÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{3})=2$(时)
【答案】
2小时
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的基础应用，解题核心是将未知的总工作量设为单位“1”，熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类问题，题目未给出快件的具体总量，我们可以先把这批快件的总工作量看作单位“1”。首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”分别算出甲、乙两车的工作效率，再求和得到两车同时配送的合作工作效率，最后根据“工作时间=工作总量÷合作工作效率”即可求出共同配送需要的时间。
【解析】
将这批快件的总工作量看作单位“1”。
1. 计算甲车的工作效率：甲车单独配送6小时完成，每小时完成总量的$1÷6=\frac{1}{6}$
2. 计算乙车的工作效率：乙车单独配送3小时完成，每小时完成总量的$1÷3=\frac{1}{3}$
3. 计算两车合作的工作效率：$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
4. 计算共同配送需要的时间：$1÷\frac{1}{2}=2$（时）
列综合算式为：$1÷(\frac{1}{6}+\frac{1}{3})=2$(时)
【答案】
2小时
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的基础应用，解题核心是将未知的总工作量设为单位“1”，熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
12.修一条 3 km 长的公路,甲单独修需要 20 天完成,乙单独修需要 30 天完成。甲、乙合作修 10 天,还剩多长的公路没修?
答案
$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})×10=\frac{5}{6}$
$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$
$\frac{1}{6}×3=\frac{1}{2}$(km)
$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$
$\frac{1}{6}×3=\frac{1}{2}$(km)
解析
【分析】
这是工程类应用题，解题思路如下：首先把公路总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙的工作效率（工作效率=1÷单独完成所需天数）；接着计算甲乙合作10天完成的工作量占总工作量的分率；再用单位“1”减去已完成的分率，得到剩余工作量的占比；最后用公路总长度乘剩余占比，就能求出没修的公路长度。
【解析】
将3km长的公路总工作量看作单位“1”：
1. 计算甲乙合作10天完成的工作量占比：
$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})×10=\frac{5}{6}$
2. 计算剩余工作量占总长度的分率：
$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$
3. 计算剩余未修的公路长度：
$\frac{1}{6}×3=\frac{1}{2}$（km）
【答案】
$\frac{1}{2}$km
【知识点】
工程问题、分数四则运算、工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础应用，解题核心是先将总工作量抽象为单位“1”，求出剩余工作量的对应分率后，再结合总长度计算实际剩余长度，熟练掌握工作效率、工作时间、工作总量三者的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是工程类应用题，解题思路如下：首先把公路总工作量看作单位“1”，先分别求出甲、乙的工作效率（工作效率=1÷单独完成所需天数）；接着计算甲乙合作10天完成的工作量占总工作量的分率；再用单位“1”减去已完成的分率，得到剩余工作量的占比；最后用公路总长度乘剩余占比，就能求出没修的公路长度。
【解析】
将3km长的公路总工作量看作单位“1”：
1. 计算甲乙合作10天完成的工作量占比：
$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})×10=\frac{5}{6}$
2. 计算剩余工作量占总长度的分率：
$1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$
3. 计算剩余未修的公路长度：
$\frac{1}{6}×3=\frac{1}{2}$（km）
【答案】
$\frac{1}{2}$km
【知识点】
工程问题、分数四则运算、工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础应用，解题核心是先将总工作量抽象为单位“1”，求出剩余工作量的对应分率后，再结合总长度计算实际剩余长度，熟练掌握工作效率、工作时间、工作总量三者的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13.1盒果汁的净含量是$\frac{4}{5}$ L,如果1个杯子最多可以装$\frac{3}{10}$ L果汁,那么1盒果汁可以装满几杯？3盒果汁可以装满几杯？
答案
$\frac{4}{5} ÷ \frac{3}{10} = \frac{8}{3}$(杯)≈2(杯)
$3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$(L)
$\frac{12}{5} ÷ \frac{3}{10}=8$(杯)
$3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$(L)
$\frac{12}{5} ÷ \frac{3}{10}=8$(杯)
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“求一个数里包含几个另一个数”用除法计算。第一问求1盒果汁可以装满几杯，本质是求$\frac{4}{5}$L里有多少个$\frac{3}{10}$L，用除法计算即可，注意题目要求“装满”，如果计算结果不是整数，要舍去小数部分取整数，剩下的果汁不足以装满1杯，不能进位。第二问先通过乘法算出3盒果汁的总净含量，再用总含量除以每个杯子的容量，就能得到3盒可以装满的杯数。
【解析】
（1）计算1盒果汁能装满的杯数：
$\frac{4}{5} ÷ \frac{3}{10} = \frac{4}{5} × \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$（杯）
因为要求装满整杯，剩余的果汁不够装满1杯需舍去，因此$\frac{8}{3}$杯≈2杯。
（2）计算3盒果汁能装满的杯数：
先算3盒果汁的总净含量：
$3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$（L）
再算总含量能装满的杯数：
$\frac{12}{5} ÷ \frac{3}{10}= \frac{12}{5} × \frac{10}{3}=8$（杯）
【答案】
1盒果汁可以装满2杯，3盒果汁可以装满8杯。
【知识点】
分数除法应用、分数乘法应用、去尾法取近似值
【点评】
本题结合生活场景考查分数乘除法的实际运用，解题的关键是注意“装满”的限制条件，不能盲目使用四舍五入法取近似值，要结合实际情况判断剩余量是否满足1杯的要求，避免出现计算结果正确但不符合实际的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“求一个数里包含几个另一个数”用除法计算。第一问求1盒果汁可以装满几杯，本质是求$\frac{4}{5}$L里有多少个$\frac{3}{10}$L，用除法计算即可，注意题目要求“装满”，如果计算结果不是整数，要舍去小数部分取整数，剩下的果汁不足以装满1杯，不能进位。第二问先通过乘法算出3盒果汁的总净含量，再用总含量除以每个杯子的容量，就能得到3盒可以装满的杯数。
【解析】
（1）计算1盒果汁能装满的杯数：
$\frac{4}{5} ÷ \frac{3}{10} = \frac{4}{5} × \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$（杯）
因为要求装满整杯，剩余的果汁不够装满1杯需舍去，因此$\frac{8}{3}$杯≈2杯。
（2）计算3盒果汁能装满的杯数：
先算3盒果汁的总净含量：
$3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$（L）
再算总含量能装满的杯数：
$\frac{12}{5} ÷ \frac{3}{10}= \frac{12}{5} × \frac{10}{3}=8$（杯）
【答案】
1盒果汁可以装满2杯，3盒果汁可以装满8杯。
【知识点】
分数除法应用、分数乘法应用、去尾法取近似值
【点评】
本题结合生活场景考查分数乘除法的实际运用，解题的关键是注意“装满”的限制条件，不能盲目使用四舍五入法取近似值，要结合实际情况判断剩余量是否满足1杯的要求，避免出现计算结果正确但不符合实际的错误。
【难度系数】
0.7
