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1. 判断正误。
(1)半径是2 cm的圆,它的周长和面积相等。 (
(2)圆的半径越大,面积就越大。 (
(3)两个圆的周长相等,面积不一定相等。 (
(4)若甲圆的半径等于乙圆的直径,则乙圆的面积是甲圆面积的$\frac{1}{4}$。 (
(5)圆的面积就是围成圆的曲线的长度。 (
(1)半径是2 cm的圆,它的周长和面积相等。 (
×
)(2)圆的半径越大,面积就越大。 (
√
)(3)两个圆的周长相等,面积不一定相等。 (
×
)(4)若甲圆的半径等于乙圆的直径,则乙圆的面积是甲圆面积的$\frac{1}{4}$。 (
√
)(5)圆的面积就是围成圆的曲线的长度。 (
×
)答案
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√
(5)×
(2)√
(3)×
(4)√
(5)×
解析
【分析】
这是一组考查圆的周长、面积相关概念和公式应用的判断题，解题思路如下：首先明确圆的周长、面积的定义和单位区别，再结合圆的周长公式$C=2π r$、面积公式$S=π r^2$，逐一分析每个说法的正误：1. 判断不同类的量能否比较大小；2. 根据面积公式分析半径和面积的变化关系；3. 由周长相等推导半径关系，再判断面积是否相等；4. 通过两圆的半径倍数关系推导面积的倍数关系；5. 区分圆的周长和面积的定义。
【解析】
(1) 圆的周长是长度，单位为长度单位（cm），面积是平面大小，单位为面积单位（$cm^2$），二者属于不同类的量，无法比较大小，因此说法错误。
(2) 圆的面积公式为$S=π r^2$，其中$π$是固定不变的常数，所以半径$r$越大，$r^2$越大，对应的面积$S$就越大，因此说法正确。
(3) 根据圆的周长公式$C=2π r$，若两个圆的周长相等，则它们的半径$r$一定相等，再结合面积公式$S=π r^2$，半径相等的两个圆面积一定相等，因此说法错误。
(4) 设乙圆的半径为$r$，则甲圆的半径等于乙圆的直径，即甲圆半径为$2r$。乙圆面积为$π r^2$，甲圆面积为$π×(2r)^2=4π r^2$，所以乙圆面积是甲圆面积的$π r^2÷4π r^2=\frac{1}{4}$，因此说法正确。
(5) 围成圆的曲线的长度是圆的周长，圆的面积是指圆所占平面的大小，二者概念不同，因此说法错误。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
【知识点】
圆的周长与面积概念、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本组题目侧重基础概念的辨析和公式的基础应用，易错点是容易忽略周长和面积是不同类的量不能比较大小，以及混淆半径与周长、面积的变化规律。
【难度系数】
0.8
这是一组考查圆的周长、面积相关概念和公式应用的判断题，解题思路如下：首先明确圆的周长、面积的定义和单位区别，再结合圆的周长公式$C=2π r$、面积公式$S=π r^2$，逐一分析每个说法的正误：1. 判断不同类的量能否比较大小；2. 根据面积公式分析半径和面积的变化关系；3. 由周长相等推导半径关系，再判断面积是否相等；4. 通过两圆的半径倍数关系推导面积的倍数关系；5. 区分圆的周长和面积的定义。
【解析】
(1) 圆的周长是长度，单位为长度单位（cm），面积是平面大小，单位为面积单位（$cm^2$），二者属于不同类的量，无法比较大小，因此说法错误。
(2) 圆的面积公式为$S=π r^2$，其中$π$是固定不变的常数，所以半径$r$越大，$r^2$越大，对应的面积$S$就越大，因此说法正确。
(3) 根据圆的周长公式$C=2π r$，若两个圆的周长相等，则它们的半径$r$一定相等，再结合面积公式$S=π r^2$，半径相等的两个圆面积一定相等，因此说法错误。
(4) 设乙圆的半径为$r$，则甲圆的半径等于乙圆的直径，即甲圆半径为$2r$。乙圆面积为$π r^2$，甲圆面积为$π×(2r)^2=4π r^2$，所以乙圆面积是甲圆面积的$π r^2÷4π r^2=\frac{1}{4}$，因此说法正确。
(5) 围成圆的曲线的长度是圆的周长，圆的面积是指圆所占平面的大小，二者概念不同，因此说法错误。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
【知识点】
圆的周长与面积概念、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本组题目侧重基础概念的辨析和公式的基础应用，易错点是容易忽略周长和面积是不同类的量不能比较大小，以及混淆半径与周长、面积的变化规律。
【难度系数】
0.8
2. 根据已知条件求圆的面积。
(1)$d=16\ \mathrm{m}$。
(2)$C=37.68\ \mathrm{dm}$。
(1)$d=16\ \mathrm{m}$。
(2)$C=37.68\ \mathrm{dm}$。
答案
(1) $r=16÷2=8(\mathrm{m})$
$S=π r^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
(2) $r=\frac{C}{2π}=6(\mathrm{dm})$
$S=π r^2=113.04(\mathrm{dm}^2)$
$S=π r^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
(2) $r=\frac{C}{2π}=6(\mathrm{dm})$
$S=π r^2=113.04(\mathrm{dm}^2)$
解析
【分析】
计算圆的面积的核心是先求出圆的半径，再代入面积公式$S=π r^2$计算（小学阶段$π$取3.14）。(1)已知直径$d$，可根据“半径=直径÷2”先求出半径，再计算面积；(2)已知周长$C$，可根据周长公式$C=2π r$推导得出“半径=周长÷(2$π$)”，先求出半径后再计算面积。
【解析】
(1) 第一步求半径：
$r=d÷2=16÷2=8(\mathrm{m})$
第二步代入面积公式计算：
$S=π r^2=3.14×8^2=3.14×64=200.96(\mathrm{m}^2)$
(2) 第一步求半径：
$r=C÷(2π)=37.68÷(2×3.14)=37.68÷6.28=6(\mathrm{dm})$
第二步代入面积公式计算：
$S=π r^2=3.14×6^2=3.14×36=113.04(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
(1) $r=16÷2=8(\mathrm{m})$
$S=π r^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
(2) $r=\frac{C}{2π}=6(\mathrm{dm})$
$S=π r^2=113.04(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
半径与直径的关系、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本题是圆面积计算的基础题型，重点考察圆相关公式的灵活运用，解题关键是根据已知的直径或周长先求出半径，再代入面积公式计算，熟练掌握基础公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
计算圆的面积的核心是先求出圆的半径，再代入面积公式$S=π r^2$计算（小学阶段$π$取3.14）。(1)已知直径$d$，可根据“半径=直径÷2”先求出半径，再计算面积；(2)已知周长$C$，可根据周长公式$C=2π r$推导得出“半径=周长÷(2$π$)”，先求出半径后再计算面积。
【解析】
(1) 第一步求半径：
$r=d÷2=16÷2=8(\mathrm{m})$
第二步代入面积公式计算：
$S=π r^2=3.14×8^2=3.14×64=200.96(\mathrm{m}^2)$
(2) 第一步求半径：
$r=C÷(2π)=37.68÷(2×3.14)=37.68÷6.28=6(\mathrm{dm})$
第二步代入面积公式计算：
$S=π r^2=3.14×6^2=3.14×36=113.04(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
(1) $r=16÷2=8(\mathrm{m})$
$S=π r^2=200.96(\mathrm{m}^2)$
(2) $r=\frac{C}{2π}=6(\mathrm{dm})$
$S=π r^2=113.04(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
半径与直径的关系、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本题是圆面积计算的基础题型，重点考察圆相关公式的灵活运用，解题关键是根据已知的直径或周长先求出半径，再代入面积公式计算，熟练掌握基础公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3.某农场养了若干头水牛。农场草地的木桩上正拴着其中一头水牛，绳长9 m，这头水牛能够吃到草的最大面积是多少平方米？
答案
$S=π r^2$
$=3.14×9^2$
$=254.34(\mathrm{m}^2)$
$=3.14×9^2$
$=254.34(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
水牛被拴在固定的木桩上，活动范围是以木桩为圆心、绳长为半径的圆形区域，因此求水牛能吃到草的最大面积，本质就是求半径为9m的圆的面积。我们可以直接使用圆的面积公式，将绳长作为半径代入计算即可得到结果。
【解析】
解：水牛吃草的最大区域是半径为9m的圆，根据圆的面积公式：
$S=π r^2$
取$π≈3.14$，将$r=9\mathrm{m}$代入公式得：
$S=3.14×9^2$
$=3.14×81$
$=254.34(\mathrm{m}^2)$
【答案】
254.34平方米
【知识点】
圆的面积计算、圆的特征
【点评】
本题结合生活实际考察圆的面积公式的应用，解题核心是准确判断出吃草区域的形状，明确绳长对应圆的半径，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
水牛被拴在固定的木桩上，活动范围是以木桩为圆心、绳长为半径的圆形区域，因此求水牛能吃到草的最大面积，本质就是求半径为9m的圆的面积。我们可以直接使用圆的面积公式，将绳长作为半径代入计算即可得到结果。
【解析】
解：水牛吃草的最大区域是半径为9m的圆，根据圆的面积公式：
$S=π r^2$
取$π≈3.14$，将$r=9\mathrm{m}$代入公式得：
$S=3.14×9^2$
$=3.14×81$
$=254.34(\mathrm{m}^2)$
【答案】
254.34平方米
【知识点】
圆的面积计算、圆的特征
【点评】
本题结合生活实际考察圆的面积公式的应用，解题核心是准确判断出吃草区域的形状，明确绳长对应圆的半径，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
4.在一块长 60 m、宽 20 m 的长方形草坪中间修建一个圆形花坛，如果要使圆形花坛的面积尽可能大，那么剩下草坪的面积是多少平方米？如果每平方米草皮 15 元，那么剩下的部分铺满草皮需要多少钱？
答案
$S_{\mathrm{草}}=S_{\mathrm{长}}-S_{\mathrm{圆}}$
$=60×20-3.14×(20÷2)^2$
$=886(\mathrm{m}^2)$
费用:$886×15=13290$(元)
$=60×20-3.14×(20÷2)^2$
$=886(\mathrm{m}^2)$
费用:$886×15=13290$(元)
解析
【分析】
要在长方形草坪里修建面积尽可能大的圆形花坛，首先要确定最大圆的尺寸：圆的直径不能超过长方形的长和宽，本题中长方形的宽20m小于长60m，因此最大圆的直径等于长方形的宽20m。接下来解题分两步走：第一步用长方形的面积减去最大圆形的面积，算出剩余草坪的面积；第二步用剩余面积乘每平方米草皮的价格，即可得到铺草皮的总费用。
【解析】
1. 计算长方形草坪的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $60×20=1200(\mathrm{m}^2)$
2. 计算最大圆形花坛的面积：
圆形花坛的直径等于长方形的宽20m，因此半径$r=20÷2=10(\mathrm{m})$
圆的面积$=πr^2=3.14×10^2=314(\mathrm{m}^2)$
3. 计算剩余草坪的面积：
剩余面积 = 长方形面积 - 圆形面积 = $1200-314=886(\mathrm{m}^2)$
4. 计算铺草皮的总费用：
总费用 = 剩余面积×每平方米草皮价格 = $886×15=13290$(元)
【答案】
剩下草坪的面积是886平方米，剩下的部分铺满草皮需要13290元。
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何面积的实际应用，解题核心是明确长方形内最大圆的直径等于长方形的宽，掌握基础图形的面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要在长方形草坪里修建面积尽可能大的圆形花坛，首先要确定最大圆的尺寸：圆的直径不能超过长方形的长和宽，本题中长方形的宽20m小于长60m，因此最大圆的直径等于长方形的宽20m。接下来解题分两步走：第一步用长方形的面积减去最大圆形的面积，算出剩余草坪的面积；第二步用剩余面积乘每平方米草皮的价格，即可得到铺草皮的总费用。
【解析】
1. 计算长方形草坪的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $60×20=1200(\mathrm{m}^2)$
2. 计算最大圆形花坛的面积：
圆形花坛的直径等于长方形的宽20m，因此半径$r=20÷2=10(\mathrm{m})$
圆的面积$=πr^2=3.14×10^2=314(\mathrm{m}^2)$
3. 计算剩余草坪的面积：
剩余面积 = 长方形面积 - 圆形面积 = $1200-314=886(\mathrm{m}^2)$
4. 计算铺草皮的总费用：
总费用 = 剩余面积×每平方米草皮价格 = $886×15=13290$(元)
【答案】
剩下草坪的面积是886平方米，剩下的部分铺满草皮需要13290元。
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何面积的实际应用，解题核心是明确长方形内最大圆的直径等于长方形的宽，掌握基础图形的面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
5.一块草地的形状如下图所示，这块草地的周长和面积各是多少？
答案
$C=15×2+3.14×6=48.84(\mathrm{m})$
$S=15×6=90(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：1. 周长部分：图形的周长由上下两条长15m的直边，以及左右两段半圆弧组成，两段半圆的直径都是6m，合起来正好是一个完整圆的周长，因此只需计算两条直边的长度和加直径6m的圆的周长即可得到总周长。2. 面积部分：观察发现左侧突出的半圆和右侧凹进去的半圆大小完全相同，可通过平移割补的方法，将左侧半圆移到右侧空缺处，原来的图形就转化为长15m、宽6m的长方形，直接计算长方形面积就是草地的面积。
【解析】
周长计算：
上下两条直边的总长度：$15×2 = 30(\mathrm{m})$
左右两段半圆弧合为直径6m的圆的周长：$3.14×6 = 18.84(\mathrm{m})$
总周长：$30 + 18.84 = 48.84(\mathrm{m})$
面积计算：
通过割补平移，图形转化为长15m、宽6m的长方形，面积为：
$15×6 = 90(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$C=15×2+3.14×6=48.84(\mathrm{m})$
$S=15×6=90(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
圆的周长计算、组合图形面积计算、割补法转化图形
【点评】
本题核心是将不规则的组合图形通过合理转化变为规则图形计算，解题时要注意区分周长的组成部分，不要误加图形内部的虚线边长，面积计算利用割补法可以大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：1. 周长部分：图形的周长由上下两条长15m的直边，以及左右两段半圆弧组成，两段半圆的直径都是6m，合起来正好是一个完整圆的周长，因此只需计算两条直边的长度和加直径6m的圆的周长即可得到总周长。2. 面积部分：观察发现左侧突出的半圆和右侧凹进去的半圆大小完全相同，可通过平移割补的方法，将左侧半圆移到右侧空缺处，原来的图形就转化为长15m、宽6m的长方形，直接计算长方形面积就是草地的面积。
【解析】
周长计算：
上下两条直边的总长度：$15×2 = 30(\mathrm{m})$
左右两段半圆弧合为直径6m的圆的周长：$3.14×6 = 18.84(\mathrm{m})$
总周长：$30 + 18.84 = 48.84(\mathrm{m})$
面积计算：
通过割补平移，图形转化为长15m、宽6m的长方形，面积为：
$15×6 = 90(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$C=15×2+3.14×6=48.84(\mathrm{m})$
$S=15×6=90(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
圆的周长计算、组合图形面积计算、割补法转化图形
【点评】
本题核心是将不规则的组合图形通过合理转化变为规则图形计算，解题时要注意区分周长的组成部分，不要误加图形内部的虚线边长，面积计算利用割补法可以大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 将一个圆沿半径平均分成若干份，再拼成一个近似的长方形。已知长方形的周长比圆的周长多16 cm，那么这个圆的半径是多少厘米？面积是多少平方厘米？
答案
$r=16÷2=8(\mathrm{cm})$
$S=3.14×8^2=200.96(\mathrm{cm}^2)$
$S=3.14×8^2=200.96(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆剪拼成近似长方形的推导过程：拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。接下来对比两者的周长：长方形的周长=（长+宽）×2，代入对应关系可发现长方形周长比圆的周长多了2条半径的长度。我们可以先根据多出来的16cm求出半径，再代入圆的面积公式计算面积即可。
【解析】
1. 求圆的半径
圆剪拼成近似长方形后，周长多出的部分是2条半径的长度，因此：
$r=16÷2=8(\mathrm{cm})$
2. 求圆的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径计算：
$S=3.14×8^2=3.14×64=200.96(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
半径是8厘米，面积是200.96平方厘米。
【知识点】
圆面积推导、圆半径计算、圆面积计算
【点评】
本题是圆面积推导相关的典型变形题，核心是掌握圆剪拼为近似长方形后各部分的对应关系，明确周长增加的部分对应2条半径的长度，找到这一对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆圆剪拼成近似长方形的推导过程：拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。接下来对比两者的周长：长方形的周长=（长+宽）×2，代入对应关系可发现长方形周长比圆的周长多了2条半径的长度。我们可以先根据多出来的16cm求出半径，再代入圆的面积公式计算面积即可。
【解析】
1. 求圆的半径
圆剪拼成近似长方形后，周长多出的部分是2条半径的长度，因此：
$r=16÷2=8(\mathrm{cm})$
2. 求圆的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径计算：
$S=3.14×8^2=3.14×64=200.96(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
半径是8厘米，面积是200.96平方厘米。
【知识点】
圆面积推导、圆半径计算、圆面积计算
【点评】
本题是圆面积推导相关的典型变形题，核心是掌握圆剪拼为近似长方形后各部分的对应关系，明确周长增加的部分对应2条半径的长度，找到这一对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.6
