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任务一 认识非有理数
回顾之前所学的有理数的相关知识，回答下列问题并完成探究。
(1)回顾有理数的概念：
(2)一个等腰直角三角形，直角边长均为1，斜边长为x，则根据勾股定理可以求出$x^2=$
探究1：x是整数吗？为什么？
探究2：x可能是分数吗？为什么？
归纳总结
像上面讨论的数a既不是整数，也不是分数，所以它不是有理数。
回顾之前所学的有理数的相关知识，回答下列问题并完成探究。
(1)回顾有理数的概念：
整数
和分数
统称为有理数。(2)一个等腰直角三角形，直角边长均为1，斜边长为x，则根据勾股定理可以求出$x^2=$
2
。探究1：x是整数吗？为什么？
探究2：x可能是分数吗？为什么？
归纳总结
像上面讨论的数a既不是整数，也不是分数，所以它不是有理数。
答案
(1)整数和分数统称为有理数。
(2)$x^2=2$
探究1：不是。因为$1＜2＜4$，而$x^2=2$，所以$1＜x^2＜4$。因为$x＞0$，所以$1＜x＜2$。因为在1和2之间不存在另外的整数，所以x不是整数。
探究2：x不可能是分数，因为任何分数的平方不可能是整数。
(2)$x^2=2$
探究1：不是。因为$1＜2＜4$，而$x^2=2$，所以$1＜x^2＜4$。因为$x＞0$，所以$1＜x＜2$。因为在1和2之间不存在另外的整数，所以x不是整数。
探究2：x不可能是分数，因为任何分数的平方不可能是整数。
解析
【分析】
本题从有理数基础概念出发，结合勾股定理探究非有理数的特征，解题思路如下：1. 第(1)问直接考查有理数的定义，回忆有理数的分类即可直接作答；2. 第(2)问利用勾股定理，将两条直角边的长度代入“直角边平方和等于斜边平方”的公式，即可算出x²的值；3. 探究1判断x是否为整数：先通过比较x²和相邻整数的平方的大小，确定x的取值范围，再判断该范围内是否存在整数即可；4. 探究2判断x是否为分数：根据分数的运算性质，分数的平方仍是分数，不可能为整数，即可得出结论。
【解析】
(1) 依据有理数的概念，整数和分数统称为有理数；
(2) 由勾股定理可得：$x^2=1^2+1^2=2$；
探究1：x不是整数。因为$1＜2＜4$，而$x^2=2$，所以$1＜x^2＜4$，又因为$x＞0$，所以$1＜x＜2$，1和2之间不存在其他整数，因此x不是整数；
探究2：x不可能是分数，因为任何分数的平方都是分数，不可能是整数2，因此x不是分数。
【答案】
(1) 整数，分数；
(2) 2；
探究1：不是。因为$1＜2＜4$，而$x^2=2$，所以$1＜x^2＜4$。因为$x＞0$，所以$1＜x＜2$。因为在1和2之间不存在另外的整数，所以x不是整数；
探究2：x不可能是分数，因为任何分数的平方不可能是整数。
【知识点】
有理数的概念；勾股定理；无理数的特征
【点评】
本题是数系拓展的基础探究题，以已学的有理数、勾股定理知识为载体，通过逻辑推导帮助学生感知无理数的本质，既巩固了旧知识，也为后续学习无理数奠定了认知基础。
【难度系数】
0.85
本题从有理数基础概念出发，结合勾股定理探究非有理数的特征，解题思路如下：1. 第(1)问直接考查有理数的定义，回忆有理数的分类即可直接作答；2. 第(2)问利用勾股定理，将两条直角边的长度代入“直角边平方和等于斜边平方”的公式，即可算出x²的值；3. 探究1判断x是否为整数：先通过比较x²和相邻整数的平方的大小，确定x的取值范围，再判断该范围内是否存在整数即可；4. 探究2判断x是否为分数：根据分数的运算性质，分数的平方仍是分数，不可能为整数，即可得出结论。
【解析】
(1) 依据有理数的概念，整数和分数统称为有理数；
(2) 由勾股定理可得：$x^2=1^2+1^2=2$；
探究1：x不是整数。因为$1＜2＜4$，而$x^2=2$，所以$1＜x^2＜4$，又因为$x＞0$，所以$1＜x＜2$，1和2之间不存在其他整数，因此x不是整数；
探究2：x不可能是分数，因为任何分数的平方都是分数，不可能是整数2，因此x不是分数。
【答案】
(1) 整数，分数；
(2) 2；
探究1：不是。因为$1＜2＜4$，而$x^2=2$，所以$1＜x^2＜4$。因为$x＞0$，所以$1＜x＜2$。因为在1和2之间不存在另外的整数，所以x不是整数；
探究2：x不可能是分数，因为任何分数的平方不可能是整数。
【知识点】
有理数的概念；勾股定理；无理数的特征
【点评】
本题是数系拓展的基础探究题，以已学的有理数、勾股定理知识为载体，通过逻辑推导帮助学生感知无理数的本质，既巩固了旧知识，也为后续学习无理数奠定了认知基础。
【难度系数】
0.85
如图，等边三角形ABC的边长为6，底边BC上的高AD为h，则h是整数吗？是分数吗？是有理数吗？
答案
解：因为△ABC是等边三角形，AD是边BC上的高，所以BD=CD=3，AD⊥BC。所以$AD^2=h^2=AB^2-BD^2=36-9=27$。所以h不是整数，不是分数，不是有理数。
解析
【分析】
解题时首先利用等边三角形“三线合一”的性质得到BD的长度，再在直角三角形ABD中运用勾股定理求出h²的值，最后结合整数、分数、有理数的定义依次判断h的归属即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD同时是BC边上的中线，即$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$，且$∠ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理可得：
$h^2=AD^2=AB^2-BD^2=6^2-3^2=36-9=27$，
∴$h=\sqrt{27}$，
∵$5＜\sqrt{27}＜6$，
∴h不是整数；
又
∵分数是可以表示为两个整数的比值的数，属于有理数，而$\sqrt{27}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，
∴h既不是分数，也不是有理数。
【答案】
h不是整数，不是分数，不是有理数。
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；有理数的定义
【点评】
本题将几何性质与数的分类相结合，解题的关键是先通过几何计算确定h的大小特征，再结合各类数的定义逐一判断，需要注意整数和分数统称为有理数，无理数既不属于整数也不属于分数。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等边三角形“三线合一”的性质得到BD的长度，再在直角三角形ABD中运用勾股定理求出h²的值，最后结合整数、分数、有理数的定义依次判断h的归属即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴AD同时是BC边上的中线，即$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$，且$∠ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理可得：
$h^2=AD^2=AB^2-BD^2=6^2-3^2=36-9=27$，
∴$h=\sqrt{27}$，
∵$5＜\sqrt{27}＜6$，
∴h不是整数；
又
∵分数是可以表示为两个整数的比值的数，属于有理数，而$\sqrt{27}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，
∴h既不是分数，也不是有理数。
【答案】
h不是整数，不是分数，不是有理数。
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；有理数的定义
【点评】
本题将几何性质与数的分类相结合，解题的关键是先通过几何计算确定h的大小特征，再结合各类数的定义逐一判断，需要注意整数和分数统称为有理数，无理数既不属于整数也不属于分数。
【难度系数】
0.7
