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1. 如图,在$□ ABCD$中,$∠B=60^{\circ },BC=2AB$,将AB绕点A逆时针旋转角$α(0^{\circ }＜α＜360^{\circ })$得到AP,连接PC,PD.当$△ PCD$为直角三角形时,旋转角α的度数为 (
A.$90^{\circ }$或$180^{\circ }$
B.$180^{\circ }$或$270^{\circ }$
C.$90^{\circ }$或$270^{\circ }$
D.$90^{\circ }$或$180^{\circ }$或$270^{\circ }$
D
)A.$90^{\circ }$或$180^{\circ }$
B.$180^{\circ }$或$270^{\circ }$
C.$90^{\circ }$或$270^{\circ }$
D.$90^{\circ }$或$180^{\circ }$或$270^{\circ }$
答案
1. D
解析
【分析】
解题思路：首先利用平行四边形的性质确定各边、角的关系，结合旋转的性质得AP=AB，通过建立平面直角坐标系简化计算：写出平行四边形各顶点坐标，根据旋转的坐标表示写出P点坐标；再分三种情况讨论△PCD的直角顶点，利用勾股定理列方程求解旋转角α，排除不符合取值范围的解即可。
解题前需明确：①平行四边形对边相等、邻角互补，故AB=CD，AD=BC=2AB，∠BAD=120°；②旋转前后对应边相等，故AP=AB；③直角三角形需分三个顶点为直角顶点的情况分类讨论，避免漏解。
【解析】
解：设$AB=a$，则$BC=2a$，建立平面直角坐标系：令$A(0,0)$，$B(a,0)$，由$∠B=60°$及平行四边形性质可得$C(0,\sqrt{3}a)$，$D(-a,\sqrt{3}a)$。
由旋转的性质得$AP=AB=a$，旋转角为$α$时，$P$点坐标为$(a\cosα, a\sinα)$（$0°＜α＜360°$）。
△PCD为直角三角形，分三种情况讨论：
1. 当$∠PDC=90°$时，由勾股定理得$PD^2 + CD^2 = PC^2$
各边平方消去$a^2$后代入得：
$(5 + 2\cosα - 2\sqrt{3}\sinα) + 1 = 4 - 2\sqrt{3}\sinα$
化简得$\cosα=-1$，结合$0°＜α＜360°$，得$α=180°$，符合条件。
2. 当$∠PCD=90°$时，由勾股定理得$PC^2 + CD^2 = PD^2$
各边平方消去$a^2$后代入得：
$(4 - 2\sqrt{3}\sinα) + 1 = 5 + 2\cosα - 2\sqrt{3}\sinα$
化简得$\cosα=0$，结合$0°＜α＜360°$，得$α=90°$或$α=270°$，均符合条件。
3. 当$∠DPC=90°$时，由勾股定理得$PC^2 + PD^2 = CD^2$
代入化简得$\cosα - 2\sqrt{3}\sinα=-4$，左边最大值为$\sqrt{1^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}＜4$，等式无解，该情况不存在。
综上，旋转角$α$的度数为$90°$、$180°$或$270°$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转与几何图形结合的分类讨论问题，解题关键是明确直角三角形要分三种情况讨论直角顶点，借助坐标法可以大幅简化计算，降低漏解的可能性。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先利用平行四边形的性质确定各边、角的关系，结合旋转的性质得AP=AB，通过建立平面直角坐标系简化计算：写出平行四边形各顶点坐标，根据旋转的坐标表示写出P点坐标；再分三种情况讨论△PCD的直角顶点，利用勾股定理列方程求解旋转角α，排除不符合取值范围的解即可。
解题前需明确：①平行四边形对边相等、邻角互补，故AB=CD，AD=BC=2AB，∠BAD=120°；②旋转前后对应边相等，故AP=AB；③直角三角形需分三个顶点为直角顶点的情况分类讨论，避免漏解。
【解析】
解：设$AB=a$，则$BC=2a$，建立平面直角坐标系：令$A(0,0)$，$B(a,0)$，由$∠B=60°$及平行四边形性质可得$C(0,\sqrt{3}a)$，$D(-a,\sqrt{3}a)$。
由旋转的性质得$AP=AB=a$，旋转角为$α$时，$P$点坐标为$(a\cosα, a\sinα)$（$0°＜α＜360°$）。
△PCD为直角三角形，分三种情况讨论：
1. 当$∠PDC=90°$时，由勾股定理得$PD^2 + CD^2 = PC^2$
各边平方消去$a^2$后代入得：
$(5 + 2\cosα - 2\sqrt{3}\sinα) + 1 = 4 - 2\sqrt{3}\sinα$
化简得$\cosα=-1$，结合$0°＜α＜360°$，得$α=180°$，符合条件。
2. 当$∠PCD=90°$时，由勾股定理得$PC^2 + CD^2 = PD^2$
各边平方消去$a^2$后代入得：
$(4 - 2\sqrt{3}\sinα) + 1 = 5 + 2\cosα - 2\sqrt{3}\sinα$
化简得$\cosα=0$，结合$0°＜α＜360°$，得$α=90°$或$α=270°$，均符合条件。
3. 当$∠DPC=90°$时，由勾股定理得$PC^2 + PD^2 = CD^2$
代入化简得$\cosα - 2\sqrt{3}\sinα=-4$，左边最大值为$\sqrt{1^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}＜4$，等式无解，该情况不存在。
综上，旋转角$α$的度数为$90°$、$180°$或$270°$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转与几何图形结合的分类讨论问题，解题关键是明确直角三角形要分三种情况讨论直角顶点，借助坐标法可以大幅简化计算，降低漏解的可能性。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, $∠ ACB=40°$, $D$ 是 $BC$ 上的一点, $CD=\sqrt{2}BD$, 将点 $C$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $α$, 点 $C$ 的对应点 $C'$ 恰好落在 $△ ABC$ 的某条边上, 则 $α$ 的值为
$100°$或$135°$
.答案
2. $100°$或$135°$
解析
【分析】
本题是旋转相关的分类讨论计算题，解题思路如下：1. 先根据旋转的性质，得旋转后对应边$DC'=DC$，因此可得到等腰三角形或直角三角形等特殊图形；2. 由于$C'$落在$△ ABC$的边上，需分两种情况讨论：①$C'$落在$AC$边上，②$C'$落在$AB$边上；3. 分别结合三角形内角和、直角三角形的边角关系计算旋转角$α$（即$∠ CDC'$的度数）即可。
【解析】
根据旋转的性质，可得$DC'=DC$，分两种情况讨论：
① 当点$C'$落在$AC$边上时：
$\because DC'=DC$，$\therefore ∠ DC'C=∠ ACB=40°$，
在$△ DC'C$中，$∠ CDC'=180°-∠ DC'C-∠ ACB=180°-40°-40°=100°$，即$α=100°$；
② 当点$C'$落在$AB$边上时：
设$BD=x$，$\because CD=\sqrt{2}BD$，$\therefore DC'=CD=\sqrt{2}x$，
在$\mathrm{Rt}△ DBC'$中，$∠ B=90°$，$\cos∠ BDC'=\frac{BD}{DC'}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore ∠ BDC'=45°$，
$\therefore ∠ CDC'=180°-∠ BDC'=180°-45°=135°$，即$α=135°$。
综上，$α$的值为$100°$或$135°$。
【答案】
$100°$或$135°$
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题重点考查旋转性质的应用，解题时需要结合分类讨论思想，针对对应点的不同位置分别计算，避免漏解，同时要熟练运用三角形内角和、直角三角形的锐角三角函数关系求解角度。
【难度系数】
0.6
本题是旋转相关的分类讨论计算题，解题思路如下：1. 先根据旋转的性质，得旋转后对应边$DC'=DC$，因此可得到等腰三角形或直角三角形等特殊图形；2. 由于$C'$落在$△ ABC$的边上，需分两种情况讨论：①$C'$落在$AC$边上，②$C'$落在$AB$边上；3. 分别结合三角形内角和、直角三角形的边角关系计算旋转角$α$（即$∠ CDC'$的度数）即可。
【解析】
根据旋转的性质，可得$DC'=DC$，分两种情况讨论：
① 当点$C'$落在$AC$边上时：
$\because DC'=DC$，$\therefore ∠ DC'C=∠ ACB=40°$，
在$△ DC'C$中，$∠ CDC'=180°-∠ DC'C-∠ ACB=180°-40°-40°=100°$，即$α=100°$；
② 当点$C'$落在$AB$边上时：
设$BD=x$，$\because CD=\sqrt{2}BD$，$\therefore DC'=CD=\sqrt{2}x$，
在$\mathrm{Rt}△ DBC'$中，$∠ B=90°$，$\cos∠ BDC'=\frac{BD}{DC'}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore ∠ BDC'=45°$，
$\therefore ∠ CDC'=180°-∠ BDC'=180°-45°=135°$，即$α=135°$。
综上，$α$的值为$100°$或$135°$。
【答案】
$100°$或$135°$
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题重点考查旋转性质的应用，解题时需要结合分类讨论思想，针对对应点的不同位置分别计算，避免漏解，同时要熟练运用三角形内角和、直角三角形的锐角三角函数关系求解角度。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ CAB=∠ CBA=40°$,将线段$CA$绕点$C$旋转$α(0°＜α＜90°)$得到线段$CD$,连接$AD$,$BD$,求$∠ ADB$的度数. 
答案
3. 情况一: 当 $CA$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α$,如
①所示.$\because$ 在 $△ ABC$ 中, $∠ CAB=∠ CBA=40°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-40°-40°=100°, CA=CB$.
由旋转可知, $CA=CD, ∠ ACD=α$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{180°-α}{2}, ∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=100°-α, CD=CB$.
$\therefore ∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-(100°-α)}{2}=\frac{80°+α}{2}$.
$\therefore ∠ ADB=∠ CDA+∠ CDB=130°$.
情况二:当 $CA$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $α$,如
②所示.由旋转可知, $CA=CD, ∠ ACD=α$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{180°-α}{2}$,
$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=100°+α$.
又 $CD=CB$,
$\therefore ∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-(100°+α)}{2}=\frac{80°-α}{2}$.
$\therefore ∠ ADB=∠ CDA-∠ CDB=50°$.
综上所述, $∠ ADB$ 的度数为 $50°$或 $130°$.
解析
【分析】
首先根据△ABC的已知内角度数计算出∠ACB的度数，同时可推出CA=CB；结合旋转的性质可得CD=CA=CB，即A、D、B三点均在以C为圆心、CA为半径的圆上。由于旋转分为顺时针和逆时针两种方向，需要分类讨论求解：①顺时针旋转时，分别计算等腰△ACD、等腰△BCD的底角∠CDA、∠CDB，二者相加得到∠ADB；②逆时针旋转时，同样计算两个等腰三角形的底角，用∠CDA减去∠CDB得到∠ADB，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
情况一: 当 $CA$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α$,如①所示.
$\because$ 在 $△ ABC$ 中, $∠ CAB=∠ CBA=40°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-40°-40°=100°, CA=CB$.
由旋转可知, $CA=CD, ∠ ACD=α$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{180°-α}{2}, ∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=100°-α, CD=CB$.
$\therefore ∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-(100°-α)}{2}=\frac{80°+α}{2}$.
$\therefore ∠ ADB=∠ CDA+∠ CDB=\frac{180°-α}{2}+\frac{80°+α}{2}=130°$.
情况二:当 $CA$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $α$,如②所示.
由旋转可知, $CA=CD, ∠ ACD=α$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{180°-α}{2}$,
$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=100°+α$.
又 $CD=CB$,
$\therefore ∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-(100°+α)}{2}=\frac{80°-α}{2}$.
$\therefore ∠ ADB=∠ CDA-∠ CDB=\frac{180°-α}{2}-\frac{80°-α}{2}=50°$.
综上所述, $∠ ADB$ 的度数为 $50°$或 $130°$.
【答案】
$∠ADB$的度数为$50°$或$130°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查旋转性质与等腰三角形内角计算的结合应用，解题核心是要注意旋转的方向性，分两种情况讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据△ABC的已知内角度数计算出∠ACB的度数，同时可推出CA=CB；结合旋转的性质可得CD=CA=CB，即A、D、B三点均在以C为圆心、CA为半径的圆上。由于旋转分为顺时针和逆时针两种方向，需要分类讨论求解：①顺时针旋转时，分别计算等腰△ACD、等腰△BCD的底角∠CDA、∠CDB，二者相加得到∠ADB；②逆时针旋转时，同样计算两个等腰三角形的底角，用∠CDA减去∠CDB得到∠ADB，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
情况一: 当 $CA$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α$,如
①所示.$\because$ 在 $△ ABC$ 中, $∠ CAB=∠ CBA=40°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-40°-40°=100°, CA=CB$.
由旋转可知, $CA=CD, ∠ ACD=α$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{180°-α}{2}, ∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=100°-α, CD=CB$.
$\therefore ∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-(100°-α)}{2}=\frac{80°+α}{2}$.
$\therefore ∠ ADB=∠ CDA+∠ CDB=\frac{180°-α}{2}+\frac{80°+α}{2}=130°$.
情况二:当 $CA$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $α$,如
②所示.由旋转可知, $CA=CD, ∠ ACD=α$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=\frac{180°-α}{2}$,
$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=100°+α$.
又 $CD=CB$,
$\therefore ∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-(100°+α)}{2}=\frac{80°-α}{2}$.
$\therefore ∠ ADB=∠ CDA-∠ CDB=\frac{180°-α}{2}-\frac{80°-α}{2}=50°$.
综上所述, $∠ ADB$ 的度数为 $50°$或 $130°$.
【答案】
$∠ADB$的度数为$50°$或$130°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查旋转性质与等腰三角形内角计算的结合应用，解题核心是要注意旋转的方向性，分两种情况讨论求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4. 如图，$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，$∠ ABC = ∠ ADE = 30°$，$BC = 4AE = 4\sqrt{3}$，将$△ ADE$绕点$A$旋转，当点$D$恰好落在$△ ABC$的直角边上时，求$BD$的长.
答案
4. 提示:当点 $D$ 在边 $AB$ 上时,如
①所示.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC=30°, BC=4\sqrt{3}$,
$\therefore AC=2\sqrt{3}, AB=6$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $∠ ADE=30°, AE=\sqrt{3}$,
$\therefore DE=2\sqrt{3}, AD=3$.
$\therefore BD=AB-AD=6-3=3$.
当点 $D$ 在边 $CA$ 上时,如
②所示.在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$.
综上所述, $BD$ 的长为 3 或 $3\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题为旋转背景下的几何计算问题，需按分类讨论思路求解：首先明确△ABC的直角边为AB和AC，因此点D落在直角边上存在两种情况，即点D在AB边上、点D在CA边上。解题时先利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，分别求出两个直角三角形的各条边长，再针对两种落点情况分别计算BD的长度，最后汇总结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点D在边AB上时，如①所示：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=30°$，$BC=4\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=6$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ DAE=90°$，$∠ ADE=30°$，由$4AE=4\sqrt{3}$得$AE=\sqrt{3}$，
$\therefore DE=2AE=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{DE^2-AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3$。
$\therefore BD=AB-AD=6-3=3$。
2. 当点D在边CA上时，如②所示：
此时$∠ BAD=∠ BAC=90°$，$△ ADB$为直角三角形，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$。
综上所述，BD的长为3或$3\sqrt{5}$。
【答案】
$BD$的长为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$
【知识点】
含30°直角三角形性质、勾股定理、旋转的性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时容易遗漏点D落在AC边上的情况，需注意结合旋转的特征明确所有可能的落点，再结合直角三角形的相关性质计算即可。
【难度系数】
0.6
本题为旋转背景下的几何计算问题，需按分类讨论思路求解：首先明确△ABC的直角边为AB和AC，因此点D落在直角边上存在两种情况，即点D在AB边上、点D在CA边上。解题时先利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，分别求出两个直角三角形的各条边长，再针对两种落点情况分别计算BD的长度，最后汇总结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点D在边AB上时，如
①所示：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=30°$，$BC=4\sqrt{3}$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=6$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ DAE=90°$，$∠ ADE=30°$，由$4AE=4\sqrt{3}$得$AE=\sqrt{3}$，
$\therefore DE=2AE=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{DE^2-AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3$。
$\therefore BD=AB-AD=6-3=3$。
2. 当点D在边CA上时，如
②所示：此时$∠ BAD=∠ BAC=90°$，$△ ADB$为直角三角形，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$。
综上所述，BD的长为3或$3\sqrt{5}$。
【答案】
$BD$的长为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$
【知识点】
含30°直角三角形性质、勾股定理、旋转的性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时容易遗漏点D落在AC边上的情况，需注意结合旋转的特征明确所有可能的落点，再结合直角三角形的相关性质计算即可。
【难度系数】
0.6
5. 如图，已知$△ ABC$是边长为4的等边三角形，D为高BF上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转$60°$得到AE，当$△ CEF$是直角三角形时，求EF的长。
答案
5. 如
①,连接 $DE$.$\because △ ABC$ 是边长为 4 的等边三角形, $BF$ 为 $△ ABC$ 的高,
$\therefore ∠ BAC=60°, AB=AC, ∠ ABF=30°, CF=\frac{1}{2}AC=2$.
由旋转知, $∠ DAE=60°, AD=AE$.
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$.
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
即 $∠ BAD=∠ CAE$.
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE$.
$\therefore ∠ ACE=∠ ABD=30°$.
①若 $∠ EFC=90°$,如
②所示.$\therefore CE=2EF$.
$\therefore EF^2+2^2=(2EF)^2$.
解得 $EF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$(负值已舍去).
②若 $∠ FEC=90°$,如
③所示.$\therefore EF=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}× 2=1$.
综上所述, $EF$ 的长为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 1.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先结合等边三角形的性质和旋转的性质推导全等条件：已知△ABC是等边三角形，AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，可通过角的和差关系得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD=30°，为后续计算做铺垫。2. 由于△CEF是直角三角形但未明确直角顶点，需分类讨论：排除不可能为直角的∠ECF=30°后，分别讨论∠EFC=90°、∠FEC=90°两种情况，结合含30°角的直角三角形的性质和勾股定理计算EF的长度即可。
【解析】
如①，连接$DE$。
$\because △ ABC$ 是边长为4的等边三角形，$BF$为$△ABC$的高，
$\therefore ∠BAC=60°, AB=AC, ∠ABF=30°, CF=\frac{1}{2}AC=2$。
由旋转的性质可知，$∠DAE=60°, AD=AE$，
$\therefore ∠BAC=∠DAE$，
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△BAD$和$△CAE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
$\therefore △BAD≌△CAE(SAS)$，
$\therefore ∠ACE=∠ABD=30°$。
分两种情况讨论：
① 若$∠EFC=90°$，如②所示：
在$Rt△CEF$中，$∠ECF=30°$，$\therefore CE=2EF$，
由勾股定理得：$EF^2+CF^2=CE^2$，代入$CF=2$、$CE=2EF$得：
$EF^2+2^2=(2EF)^2$，
解得 $EF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（负值已舍去）。
② 若$∠FEC=90°$，如③所示：
在$Rt△CEF$中，$∠ECF=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore EF=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
$EF$的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$1$。
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是结合旋转和等边三角形的性质构造全等三角形，得到固定角的度数；同时要注意，当直角三角形未明确直角顶点时，需分类讨论所有符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先结合等边三角形的性质和旋转的性质推导全等条件：已知△ABC是等边三角形，AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，可通过角的和差关系得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD=30°，为后续计算做铺垫。2. 由于△CEF是直角三角形但未明确直角顶点，需分类讨论：排除不可能为直角的∠ECF=30°后，分别讨论∠EFC=90°、∠FEC=90°两种情况，结合含30°角的直角三角形的性质和勾股定理计算EF的长度即可。
【解析】
如
①，连接$DE$。$\because △ ABC$ 是边长为4的等边三角形，$BF$为$△ABC$的高，
$\therefore ∠BAC=60°, AB=AC, ∠ABF=30°, CF=\frac{1}{2}AC=2$。
由旋转的性质可知，$∠DAE=60°, AD=AE$，
$\therefore ∠BAC=∠DAE$，
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在$△BAD$和$△CAE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
$\therefore △BAD≌△CAE(SAS)$，
$\therefore ∠ACE=∠ABD=30°$。
分两种情况讨论：
① 若$∠EFC=90°$，如
②所示：在$Rt△CEF$中，$∠ECF=30°$，$\therefore CE=2EF$，
由勾股定理得：$EF^2+CF^2=CE^2$，代入$CF=2$、$CE=2EF$得：
$EF^2+2^2=(2EF)^2$，
解得 $EF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$（负值已舍去）。
② 若$∠FEC=90°$，如
③所示：在$Rt△CEF$中，$∠ECF=30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore EF=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
$EF$的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$1$。
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是结合旋转和等边三角形的性质构造全等三角形，得到固定角的度数；同时要注意，当直角三角形未明确直角顶点时，需分类讨论所有符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
