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3. (1)如图①,在$△ ABC$中,$AB=1,AC=2$,现将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ A'B'C$,连接$AB'$,并且$AB'=3$,求$∠ B'A'C$的度数；(2)如图②,$P$是正方形$ABCD$内一点,且点$P$到点$A,B,C$的距离分别为$2\sqrt{3},\sqrt{2},4$,求$∠ APB$的度数.
答案
(1) 如图,连接$AA'$.
$\because \quad AB=1,AC=2,$
由旋转,得$AC=A'C=2,A'B'=AB=1,$$∠ACA'=90°.$
$\therefore \quad ∠AA'C=∠A'AC=45°,AA'^2=AC^2+$$A'C^2=2^2+2^2=8.$
$\because \quad AB'^2=3^2=9,A'B'^2=1^2=1,$
$\therefore \quad AB'^2=AA'^2+A'B'^2.$
$\therefore \quad △AA'B'$是直角三角形,且$∠AA'B'=90°.$
$\therefore \quad ∠B'A'C=∠AA'B'+∠AA'C=135°.$
(2) 如图,将$△ABP$绕点B顺时针旋转$90°$得到$△CBE$,连接PE.
由旋转可得$AP=CE=2\sqrt{3},PB=BE=\sqrt{2},$$∠PBE=90°,∠APB=∠CEB.$
$\therefore \quad ∠BPE = ∠BEP = 45°, PE =$$\sqrt{PB^2+BE^2}=2.$
$\because \quad PC^2=16,PE^2+CE^2=16,$
$\therefore \quad PC^2=PE^2+CE^2.$
$\therefore \quad △PEC$是直角三角形,且$∠PEC=90°.$
$\therefore \quad ∠CEB=∠PEC+∠BEP=135°.$
$\therefore \quad ∠APB=∠CEB=135°.$
解析
【分析】
(1) 解决旋转类几何题首先利用旋转性质得到对应边、对应角相等。本题旋转角为90°，连接AA'后可得到等腰直角三角形ACA'，先求出∠AA'C的度数和AA'的长度；再观察△AA'B'的三边长度，用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，得到∠AA'B'的度数，两个角度相加即可求出∠B'A'C的度数。
(2) 已知的PA、PB、PC三条线段不在同一个三角形中，无法直接计算角度，因此通过旋转转化线段：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，把PA转化为CE，PB转化为BE，得到等腰直角三角形PBE，先求出PE的长度和∠BEP的度数；再观察△PEC的三边，用勾股逆定理判断其为直角三角形，得到∠PEC的度数，即可求出∠CEB的度数，根据旋转性质∠APB=∠CEB，即得结果。
【解析】
(1) 如图，连接$AA'$.
$\because \quad AB=1,AC=2,$
由旋转的性质，得$AC=A'C=2,A'B'=AB=1,$$∠ACA'=90°.$
$\therefore \quad △ACA'$是等腰直角三角形，$∠AA'C=∠A'AC=45°,AA'^2=AC^2+A'C^2=2^2+2^2=8.$
$\because \quad AB'^2=3^2=9,A'B'^2=1^2=1,$
$\therefore \quad AB'^2=AA'^2+A'B'^2.$
根据勾股定理的逆定理，$△AA'B'$是直角三角形，且$∠AA'B'=90°.$
$\therefore \quad ∠B'A'C=∠AA'B'+∠AA'C=90°+45°=135°.$
(2) 如图，将$△ABP$绕点B顺时针旋转$90°$得到$△CBE$,连接PE.
由旋转的性质可得$AP=CE=2\sqrt{3},PB=BE=\sqrt{2},$$∠PBE=90°,∠APB=∠CEB.$
$\therefore \quad △PBE$是等腰直角三角形，$∠BPE = ∠BEP = 45°, PE =$$\sqrt{PB^2+BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2.$
$\because \quad PC^2=4^2=16,PE^2+CE^2=2^2+(2\sqrt{3})^2=4+12=16,$
$\therefore \quad PC^2=PE^2+CE^2.$
根据勾股定理的逆定理，$△PEC$是直角三角形，且$∠PEC=90°.$
$\therefore \quad ∠CEB=∠PEC+∠BEP=90°+45°=135°.$
$\therefore \quad ∠APB=∠CEB=135°.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$
(2) $\boldsymbol{135°}$
辅助线图示：
【知识点】
旋转的性质，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
这两道题是旋转类几何计算的典型题型，核心思路是通过旋转将分散的边角转化到同一个三角形中，结合特殊三角形的性质和勾股逆定理求解角度，掌握旋转构造全等、转化边角的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 解决旋转类几何题首先利用旋转性质得到对应边、对应角相等。本题旋转角为90°，连接AA'后可得到等腰直角三角形ACA'，先求出∠AA'C的度数和AA'的长度；再观察△AA'B'的三边长度，用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，得到∠AA'B'的度数，两个角度相加即可求出∠B'A'C的度数。
(2) 已知的PA、PB、PC三条线段不在同一个三角形中，无法直接计算角度，因此通过旋转转化线段：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，把PA转化为CE，PB转化为BE，得到等腰直角三角形PBE，先求出PE的长度和∠BEP的度数；再观察△PEC的三边，用勾股逆定理判断其为直角三角形，得到∠PEC的度数，即可求出∠CEB的度数，根据旋转性质∠APB=∠CEB，即得结果。
【解析】
(1) 如图，连接$AA'$.
$\because \quad AB=1,AC=2,$
由旋转的性质，得$AC=A'C=2,A'B'=AB=1,$$∠ACA'=90°.$
$\therefore \quad △ACA'$是等腰直角三角形，$∠AA'C=∠A'AC=45°,AA'^2=AC^2+A'C^2=2^2+2^2=8.$
$\because \quad AB'^2=3^2=9,A'B'^2=1^2=1,$
$\therefore \quad AB'^2=AA'^2+A'B'^2.$
根据勾股定理的逆定理，$△AA'B'$是直角三角形，且$∠AA'B'=90°.$
$\therefore \quad ∠B'A'C=∠AA'B'+∠AA'C=90°+45°=135°.$
(2) 如图，将$△ABP$绕点B顺时针旋转$90°$得到$△CBE$,连接PE.
由旋转的性质可得$AP=CE=2\sqrt{3},PB=BE=\sqrt{2},$$∠PBE=90°,∠APB=∠CEB.$
$\therefore \quad △PBE$是等腰直角三角形，$∠BPE = ∠BEP = 45°, PE =$$\sqrt{PB^2+BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2.$
$\because \quad PC^2=4^2=16,PE^2+CE^2=2^2+(2\sqrt{3})^2=4+12=16,$
$\therefore \quad PC^2=PE^2+CE^2.$
根据勾股定理的逆定理，$△PEC$是直角三角形，且$∠PEC=90°.$
$\therefore \quad ∠CEB=∠PEC+∠BEP=90°+45°=135°.$
$\therefore \quad ∠APB=∠CEB=135°.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$
(2) $\boldsymbol{135°}$
辅助线图示：
【知识点】
旋转的性质，勾股定理及逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
这两道题是旋转类几何计算的典型题型，核心思路是通过旋转将分散的边角转化到同一个三角形中，结合特殊三角形的性质和勾股逆定理求解角度，掌握旋转构造全等、转化边角的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
4. 面对一般性的问题时,可以先考虑特殊情形,借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题,这就是特殊化策略.有一个边长为3的正方形ABCD和腰足够长的等腰直角三角形EFG,其中等腰直角三角形的直角顶点E与正方形的中心重合.现将等腰直角三角形EFG绕着点E进行旋转,请采用特殊化策略探究两个图形重叠部分的面积.
(1)先考虑特殊情形,如图①,当点C,D分别在边EF,EG上时,求重叠部分△CDE的面积;
(2)再探究一般情形,如图②,当边EF,EG分别交边BC,CD于点M,N时,求重叠部分四边形EMCN的面积.
(1)先考虑特殊情形,如图①,当点C,D分别在边EF,EG上时,求重叠部分△CDE的面积;
(2)再探究一般情形,如图②,当边EF,EG分别交边BC,CD于点M,N时,求重叠部分四边形EMCN的面积.
答案
(1) 如图,连接AE,BE.
$\because \quad$ 正方形ABCD的边长为3,
$\therefore \quad S_{正方形ABCD}=3^2=9.$
$\because \quad$ 等腰直角三角形EFG的直角顶点E与正方形ABCD的中心重合,点C,D分别在边EF,EG上,
$\therefore \quad DE=CE=BE=AE,∠DEC=∠CEB=$$∠AEB=∠AED=\frac{1}{4}×360°=90°.$
$\therefore \quad S_{△DEC}=S_{△CEB}=S_{△AEB}=S_{△AED}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=$$\frac{9}{4}.$
$\therefore \quad$ 重叠部分$△CDE$的面积为$\frac{9}{4}.$
(2) 如图,连接DE,CE. 由(1)得$S_{△DEC}=\frac{9}{4}.$
$\because \quad DE=CE,∠DEC=90°,$
$\therefore \quad ∠EDN=∠ECD=45°.$
$\because \quad ∠BCD=90°,$
$\therefore \quad ∠ECM=∠BCD-∠ECD=45°.$
$\therefore \quad ∠EDN=∠ECM.$
$\because \quad ∠DEC=∠MEN=90°,$
$\therefore \quad ∠DEN=∠CEM=90°-∠CEN.$
在$△DEN$和$△CEM$中,
$\begin{cases}∠DEN=∠CEM,\\DE=CE,\\∠EDN=∠ECM,\end{cases}$
$\therefore \quad △DEN≌ △CEM(\mathrm{ASA}).$
$\therefore \quad S_{△DEN}=S_{△CEM}.$
$\therefore \quad S_{四边形EMCN}=S_{△CEM}+S_{△CEN}=S_{△DEN}+$$S_{△CEN}=S_{△DEC}=\frac{9}{4}.$
$\therefore \quad$ 重叠部分四边形$EMCN$的面积为$\frac{9}{4}.$
解析
【分析】
(1) 针对特殊情形，首先回忆正方形中心的性质：正方形中心到四个顶点距离相等，中心与相邻两顶点连线的夹角为90°，四个由中心和相邻顶点构成的三角形面积相等，均为正方形面积的$\frac{1}{4}$。本题中点C、D恰好落在等腰直角三角形的边上，重叠部分就是△CDE，因此只需先求正方形面积，再除以4即可得到△CDE的面积。
(2) 针对一般情形，旋转后重叠部分变为四边形，此时可通过连接DE、CE，利用正方形的性质找出相等的边和角，证明△DEN和△CEM全等，将△CEM的面积转化为△DEN的面积，就能把四边形EMCN的面积转化为第一问中△DEC的面积，进而得到结论，体现了转化思想和特殊到一般的探究思路。
【解析】
(1) 如图，连接AE,BE。
$\because \quad$ 正方形ABCD的边长为3,
$\therefore \quad S_{正方形ABCD}=3^2=9.$
$\because \quad$ 等腰直角三角形EFG的直角顶点E与正方形ABCD的中心重合,点C,D分别在边EF,EG上,
$\therefore \quad DE=CE=BE=AE,∠DEC=∠CEB=∠AEB=∠AED=\frac{1}{4}×360°=90°.$
$\therefore \quad S_{△DEC}=S_{△CEB}=S_{△AEB}=S_{△AED}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{9}{4}.$
$\therefore \quad$ 重叠部分$△CDE$的面积为$\frac{9}{4}.$
(2) 如图，连接DE,CE。由(1)得$S_{△DEC}=\frac{9}{4}.$
$\because \quad DE=CE,∠DEC=90°,$
$\therefore \quad ∠EDN=∠ECD=45°.$
$\because \quad ∠BCD=90°,$
$\therefore \quad ∠ECM=∠BCD-∠ECD=45°.$
$\therefore \quad ∠EDN=∠ECM.$
$\because \quad ∠DEC=∠MEN=90°,$
$\therefore \quad ∠DEN=∠CEM=90°-∠CEN.$
在$△DEN$和$△CEM$中,
$\begin{cases}∠DEN=∠CEM,\\DE=CE,\\∠EDN=∠ECM,\end{cases}$
$\therefore \quad △DEN≌ △CEM(\mathrm{ASA}).$
$\therefore \quad S_{△DEN}=S_{△CEM}.$
$\therefore \quad S_{四边形EMCN}=S_{△CEM}+S_{△CEN}=S_{△DEN}+S_{△CEN}=S_{△DEC}=\frac{9}{4}.$
$\therefore \quad$ 重叠部分四边形$EMCN$的面积为$\frac{9}{4}.$
【答案】
(1) 重叠部分△CDE的面积为$\boxed{\dfrac{9}{4}}$；
(2) 重叠部分四边形EMCN的面积为$\boxed{\dfrac{9}{4}}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质
【点评】
本题采用特殊化策略探究旋转过程中重叠部分的面积，遵循从特殊到一般的探究逻辑，通过全等三角形实现面积的转化，能帮助学生体会特殊化思想、转化思想在几何探究中的应用，解题关键是熟练掌握正方形中心的性质及全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
(1) 针对特殊情形，首先回忆正方形中心的性质：正方形中心到四个顶点距离相等，中心与相邻两顶点连线的夹角为90°，四个由中心和相邻顶点构成的三角形面积相等，均为正方形面积的$\frac{1}{4}$。本题中点C、D恰好落在等腰直角三角形的边上，重叠部分就是△CDE，因此只需先求正方形面积，再除以4即可得到△CDE的面积。
(2) 针对一般情形，旋转后重叠部分变为四边形，此时可通过连接DE、CE，利用正方形的性质找出相等的边和角，证明△DEN和△CEM全等，将△CEM的面积转化为△DEN的面积，就能把四边形EMCN的面积转化为第一问中△DEC的面积，进而得到结论，体现了转化思想和特殊到一般的探究思路。
【解析】
(1) 如图，连接AE,BE。
$\because \quad$ 正方形ABCD的边长为3,
$\therefore \quad S_{正方形ABCD}=3^2=9.$
$\because \quad$ 等腰直角三角形EFG的直角顶点E与正方形ABCD的中心重合,点C,D分别在边EF,EG上,
$\therefore \quad DE=CE=BE=AE,∠DEC=∠CEB=∠AEB=∠AED=\frac{1}{4}×360°=90°.$
$\therefore \quad S_{△DEC}=S_{△CEB}=S_{△AEB}=S_{△AED}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{9}{4}.$
$\therefore \quad$ 重叠部分$△CDE$的面积为$\frac{9}{4}.$
(2) 如图，连接DE,CE。由(1)得$S_{△DEC}=\frac{9}{4}.$
$\because \quad DE=CE,∠DEC=90°,$
$\therefore \quad ∠EDN=∠ECD=45°.$
$\because \quad ∠BCD=90°,$
$\therefore \quad ∠ECM=∠BCD-∠ECD=45°.$
$\therefore \quad ∠EDN=∠ECM.$
$\because \quad ∠DEC=∠MEN=90°,$
$\therefore \quad ∠DEN=∠CEM=90°-∠CEN.$
在$△DEN$和$△CEM$中,
$\begin{cases}∠DEN=∠CEM,\\DE=CE,\\∠EDN=∠ECM,\end{cases}$
$\therefore \quad △DEN≌ △CEM(\mathrm{ASA}).$
$\therefore \quad S_{△DEN}=S_{△CEM}.$
$\therefore \quad S_{四边形EMCN}=S_{△CEM}+S_{△CEN}=S_{△DEN}+S_{△CEN}=S_{△DEC}=\frac{9}{4}.$
$\therefore \quad$ 重叠部分四边形$EMCN$的面积为$\frac{9}{4}.$
【答案】
(1) 重叠部分△CDE的面积为$\boxed{\dfrac{9}{4}}$；
(2) 重叠部分四边形EMCN的面积为$\boxed{\dfrac{9}{4}}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质
【点评】
本题采用特殊化策略探究旋转过程中重叠部分的面积，遵循从特殊到一般的探究逻辑，通过全等三角形实现面积的转化，能帮助学生体会特殊化思想、转化思想在几何探究中的应用，解题关键是熟练掌握正方形中心的性质及全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
