1.如图，AB为$\odot O$的直径，C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，过点C作$CD ⊥ AB$于点G，交$\odot O$于点D。若$BE=8$，$BG=3$，则$\odot O$的半径是（）


A.4
B.5.5
C.$\frac{25}{6}$
D.$\frac{25}{3}$

C

【分析】
解题思路如下：第一步，根据垂径定理，由CD⊥AB可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，且CG是CD的一半；第二步，结合C是$\overset{\frown}{BE}$中点，得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$，进而推出$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}$，根据等弧对等弦得到CD=BE，即可求出CG的长度；第三步，设圆O半径为r，用r表示出OG的长度，在直角三角形OCG中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，AB为$\odot O$的直径，
∴由垂径定理得：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$CG=DG=\frac{1}{2}CD$。
∵C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$CD=BE=8$，则$CG=\frac{1}{2}×8=4$。
设$\odot O$的半径为r，则$OC=r$，$OG=OB-BG=r-3$。
在Rt△OCG中，由勾股定理得：
$OC^2=OG^2+CG^2$，
代入得$r^2=(r-3)^2+4^2$，
展开得$r^2=r^2-6r+9+16$，
化简得$6r=25$，
解得$r=\frac{25}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和勾股定理的应用，解题的核心是通过弧的等量关系推导弦长，再利用方程思想求解半径，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.6

【例2】如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,$CD⊥ OA$于点$D$,$CE⊥ OB$于点$E$.
求证:$OD=OE$.

|思路分析|
思考:由题意得出$∠$$=∠$,进而证明$△$$≌△$,即可得证.
铺路设桥
证明:
【规律方法】
在同圆或等圆中,两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等,它们所对应的其余各组量分别相等,利用圆的这些特点可实现弧、弦、圆心角之间等量关系的相互转化,从而解决问题.

证明:连接 OC(图略).
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,
所以$∠AOC=∠BOC$.
因为$CD⊥OA,CE⊥OB$,
所以$∠CDO=∠CEO=90°$.
在$△CDO$与$△CEO$中,
$\begin{cases} ∠DOC=∠EOC, \\ ∠CDO=∠CEO, \\ OC=OC, \end{cases}$
所以$△CDO≌△CEO(AAS)$,
所以$OD=OE$.

【分析】
要证明$OD=OE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：首先已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得$∠AOC=∠BOC$；再结合$CD⊥OA$、$CE⊥OB$的垂直条件，可得两个三角形均含直角，加上公共边$OC$，即可用AAS判定$△ CDO$和$△ CEO$全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论，解题时需先连接辅助线$OC$构造全等三角形。
【解析】
证明：连接$OC$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠AOC=∠BOC$。
$\because CD⊥OA,CE⊥OB$，
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠DOC=∠EOC \\∠CDO=∠CEO \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ CDO≌△ CEO(AAS)$，
$\therefore OD=OE$。
【答案】
$OD=OE$，得证
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心解题思路是利用圆的性质得到等角，结合垂直条件和公共边构造全等三角形，通过全等性质得到边相等，掌握圆的基本性质和全等三角形判定方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

变式训练
2.如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$OE＝OF$，连接OA，OB.求证：
(1)$AE＝BF$；
(2)$\overset{\frown}{AC}＝\overset{\frown}{BD}$.

证明:(1)如图,过点 O 作 $OM⊥AB$ 于点 M.

因为 $OA=OB,OE=OF$,
所以 $AM=BM,EM=FM$,
所以 $AM-EM=BM-FM$,
所以 $AE=BF$.
(2)因为 $OM⊥AB,OA=OB,OE=OF$,
所以 $∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM$,
所以 $∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM$,
所以 $∠AOC=∠BOD$,
所以 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

【分析】
(1) 要证$AE=BF$，已知$OA、OB$是圆的半径故$OA=OB$，且$OE=OF$，两组线段均为共顶点的等线段，可考虑等腰三角形“三线合一”的性质，过点$O$作$AB$的垂线$OM$，可分别得到$AB、EF$的中点，再通过线段的差量关系即可推导得证；
(2) 要证$\overset{\frown}{AC}＝\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明二者对应的圆心角$∠AOC=∠BOD$，借助辅助线$OM$利用等腰三角形三线合一得到角的差量关系，即可推导圆心角相等，进而得证弧相等。
【解析】
(1) 过点$O$作$OM⊥AB$于点$M$。
因为$OA、OB$均为$\odot O$的半径，所以$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，结合$OM⊥AB$，根据等腰三角形三线合一可得$AM=BM$；
又因为$OE=OF$，$△ OEF$为等腰三角形，$OM⊥EF$，同理可得$EM=FM$。
因此$AM-EM=BM-FM$，即$AE=BF$。
(2) 由$OM⊥AB$，$OA=OB$，$OE=OF$，根据等腰三角形三线合一可得：$∠AOM=∠BOM$，$∠EOM=∠FOM$。
因此$∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM$，即$∠AOC=∠BOD$。
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AC}＝\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
证明:(1)如图,过点 O 作 $OM⊥AB$ 于点 M.

因为 $OA=OB,OE=OF$,
所以 $AM=BM,EM=FM$,
所以 $AM-EM=BM-FM$,
所以 $AE=BF$.
(2)因为 $OM⊥AB,OA=OB,OE=OF$,
所以 $∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM$,
所以 $∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM$,
所以 $∠AOC=∠BOD$,
所以 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
【知识点】
等腰三角形性质，圆心角与弧的关系，垂径定理
【点评】
本题属于圆的基础证明题型，解题核心是通过作垂直于弦的辅助线，结合等腰三角形三线合一的性质构造线段、角的等量关系，再结合圆的基本性质完成证明，侧重考查基础性质的综合应用能力，解题逻辑清晰易掌握。
【难度系数】
0.7