2. 已知 OC 平分 ∠AOB, ∠AOB = 65°15′,求 ∠BOC 的度数.

2. 32°37'30''

【分析】
本题考查角平分线的定义及度分秒的运算。首先根据角平分线的性质，角平分线会将一个角分成两个大小相等的小角，由此可得∠BOC等于∠AOB的一半；接下来进行度分秒的除法计算，需要注意度分秒为60进制，计算时如果高位有余数，要先将余数转化为下一级单位后再继续运算。
【解析】
解：
∵ OC平分∠AOB（已知）
∴ $∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB$（角平分线的定义）
∵ $∠ AOB = 65°15'$
∴ $∠ BOC = \frac{1}{2} × 65°15'$
计算过程：
$65°÷2=32°······1°$，将$1°$转化为$60'$，则$60'+15'=75'$
$75'÷2=37'······1'$，将$1'$转化为$60''$
$60''÷2=30''$
因此$∠ BOC=32°37'30''$
【答案】
32°37'30''
【知识点】
角平分线的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是牢记角平分线的性质，同时要注意度分秒是60进制，在做除法运算时，剩余的高一级单位要先转换为低一级单位再计算，避免误用十进制出现计算错误。
【难度系数】
0.8

3.计算：
$50°24'×3 + 98°12'25''÷5$

3. 170°50'29''

【分析】
这是度分秒的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序，且要注意度分秒为60进制：①计算乘法时，分别将度、分与乘数相乘，结果满60就向上一级单位进1；②计算除法时，从最大单位度开始除，余数转化为下一级单位后和原有该单位的数值相加，再继续除，直到除到秒级为止；③最后将乘除结果按度、分、秒同单位相加，同样满60进1即可得到最终结果。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算乘法部分：$50°24'×3$
$50°×3=150°$，$24'×3=72'$
因为$72'=1°12'$，所以$50°24'×3=150°+1°12'=151°12'$
2. 计算除法部分：$98°12'25''÷5$
① 先算度：$98°÷5=19°\dots\dots3°$，将余数$3°$换算为分：$3°=180'$
② 加上原有12'后算分：$(180'+12')÷5=192'÷5=38'\dots\dots2'$，将余数$2'$换算为秒：$2'=120''$
③ 加上原有25''后算秒：$(120''+25'')÷5=145''÷5=29''$
因此$98°12'25''÷5=19°38'29''$
3. 计算加法：将两个结果相加
$151°12'+19°38'29''=(151°+19°)+(12'+38')+29''=170°+50'+29''=170°50'29''$
【答案】
$170°50'29''$
【知识点】
度分秒换算；角的混合运算
【点评】
本题核心考查度分秒的60进制运算规则，解题时要注意运算顺序，牢记单位换算时“满60进1，借1当60”的原则，避免和十进制运算规则混淆。
【难度系数】
0.7

4. 如图，OB是∠AOC的平分线，射线OD在∠COE内，已知∠AOE = 140°.
(1) 若∠COD比∠DOE多25°，∠AOB = 40°，求∠BOD的度数；
(2) 若∠COD：∠DOE = 3：2，∠BOC = 35°，求∠DOE的度数.

(1)82.5° (2)28°

【分析】
(1) 要求∠BOD的度数，观察图形可得∠BOD=∠BOC+∠COD，因此需先分别求∠BOC和∠COD的度数：首先根据角平分线的定义，由OB是∠AOC的平分线、∠AOB=40°，可直接求出∠BOC和∠AOC的度数；再用∠AOE减去∠AOC得到∠COE的度数，结合∠COD比∠DOE多25°、且∠COD+∠DOE=∠COE，即可求出∠COD的度数，最后将∠BOC与∠COD相加得到结果。
(2) 要求∠DOE的度数，先根据角平分线的定义，由∠BOC=35°求出∠AOC的度数，再用∠AOE减去∠AOC得到∠COE的度数；结合∠COD:∠DOE=3:2，将∠COE按比例分配即可求出∠DOE的度数。
【解析】
(1)
∵ OB是∠AOC的平分线，∠AOB=40°
∴ ∠BOC=∠AOB=40°，∠AOC=2∠AOB=80°
∴ ∠COE=∠AOE - ∠AOC=140° - 80°=60°
由题意得：∠COD = ∠DOE + 25°，且∠COD + ∠DOE = ∠COE=60°
将∠COD = ∠DOE + 25°代入得：∠DOE + 25° + ∠DOE = 60°
解得：∠DOE=17.5°，则∠COD=60° - 17.5°=42.5°
∴ ∠BOD=∠BOC + ∠COD=40° + 42.5°=82.5°
(2)
∵ OB是∠AOC的平分线，∠BOC=35°
∴ ∠AOC=2∠BOC=70°
∴ ∠COE=∠AOE - ∠AOC=140° - 70°=70°
∵ ∠COD:∠DOE=3:2，设∠COD=3x，∠DOE=2x
则3x + 2x=70°，解得x=14°
∴ ∠DOE=2x=2×14°=28°
【答案】
(1)82.5°；(2)28°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；按比例分配求角度
【点评】
本题是角的运算的基础综合题，解题关键是理清图中各个角的和差关系，结合角平分线的性质和已知的角度关系列式计算即可，计算时需注意不要出错。
【难度系数】
0.7

5. 如图,请回答下列问题:
(1) 若∠AOB = ∠COD,判断∠AOC与∠BOD是否相等,并说明理由.
(2) 若OB平分∠AOC,OC平分∠BOD,判断∠AOB与∠COD是否相等,并说明理由.
(3) 若∠AOC = ∠BOD = 90°,∠AOD = 3∠BOC,求∠AOB的度数.
(4) 已知∠AOC = ∠BOD = 100°,若∠BOC变小,那么∠AOD将如何变化?说说你的理由.

(1)相等,理由略. (2)相等,理由略. (3)45° (4)∠AOD将变大,理由略.

【分析】
(1) 观察图形可知∠AOC和∠BOD都包含公共角∠BOC，已知∠AOB=∠COD，给两个相等的角同时加同一个角，和相等，即可判断两角的大小关系。
(2) 利用角平分线的定义，OB平分∠AOC可得∠AOB=∠BOC，OC平分∠BOD可得∠BOC=∠COD，通过等量代换即可判断∠AOB和∠COD的大小关系。
(3) 先根据∠AOC和∠BOD都是90°，推导得出∠AOB=∠COD，再结合∠AOD=3∠BOC的条件，用角的和差关系列等式计算出∠BOC的度数，最后用∠AOC减去∠BOC即可得到∠AOB的度数。
(4) 先推导∠AOD和∠BOC的数量关系，已知∠AOC和∠BOD都是固定值，即可判断∠BOC变小时∠AOD的变化趋势。
【解析】
(1) ∠AOC与∠BOD相等，理由：
已知∠AOB = ∠COD，根据等式的性质，两边同时加∠BOC，得∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。
(2) ∠AOB与∠COD相等，理由：
因为OB平分∠AOC，由角平分线的定义得∠AOB=∠BOC；
又因为OC平分∠BOD，同理得∠BOC=∠COD；
通过等量代换可得∠AOB=∠COD。
(3) 解：已知∠AOC=∠BOD=90°，
所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，即∠AOB=∠COD。
因为∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD，且∠COD=90°-∠BOC，
又已知∠AOD=3∠BOC，代入得：
$3∠ BOC=90°+(90°-∠ BOC)$
整理得$4∠ BOC=180°$，解得$∠ BOC=45°$，
所以$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=90°-45°=45°$。
(4) ∠AOD将变大，理由：
由角的和差关系可得$∠ AOD=∠ AOC+∠ BOD-∠ BOC$，
已知∠AOC=∠BOD=100°，代入得$∠ AOD=200°-∠ BOC$，
因此∠BOC变小时，∠AOD会变大。
【答案】
(1) 相等；
(2) 相等；
(3) $\boldsymbol{45°}$；
(4) ∠AOD将变大。
【知识点】
角的和差运算、角平分线的定义、等式的性质
【点评】
本题是角的运算的基础典型题，解题核心是结合图形理清各个角之间的和差关系，熟练运用角平分线性质和等式性质进行推理计算即可解决问题。
【难度系数】
0.7