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3. 如图，$△ ABC$的顶点在边长均为1的小正方形的格点上，现给出在边长均为1的小正方形网格中作出的四个三角形（阴影部分），其中与$△ ABC$相似的是（
C
）。答案
3.C
解析
【分析】
要判断网格中两个三角形是否相似，可采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理来解决。解题步骤为：第一步，设每个小正方形边长为1，用勾股定理分别求出△ABC的三边长，并按从小到大的顺序排列；第二步，依次求出四个选项中阴影三角形的三边长，也按从小到大的顺序排列；第三步，分别对比各选项三角形与△ABC的三边比值，若三组对应边比值都相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
首先计算△ABC的三边长：
最短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
中间边：$2$，
最长边：$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度之比（从小到大）为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
再分别计算各选项阴影三角形的三边比：
A选项：三边长为$1$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，比为$1:2\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比不相等，不相似；
B选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$3$，比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC三边比不相等，不相似；
C选项：三边长为$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比完全相等，符合相似判定条件；
D选项：三边长为$1$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$，比为$1:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC三边比不相等，不相似。
综上，与△ABC相似的是C选项的三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形相似的判定
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的常见题型，核心是利用勾股定理准确计算各三角形的边长，再结合相似三角形的判定定理验证，计算时注意将三边按长度排序后再对比比值，可避免对应边匹配错误的问题。
【难度系数】
0.7
要判断网格中两个三角形是否相似，可采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理来解决。解题步骤为：第一步，设每个小正方形边长为1，用勾股定理分别求出△ABC的三边长，并按从小到大的顺序排列；第二步，依次求出四个选项中阴影三角形的三边长，也按从小到大的顺序排列；第三步，分别对比各选项三角形与△ABC的三边比值，若三组对应边比值都相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
首先计算△ABC的三边长：
最短边：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
中间边：$2$，
最长边：$\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度之比（从小到大）为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
再分别计算各选项阴影三角形的三边比：
A选项：三边长为$1$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，比为$1:2\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比不相等，不相似；
B选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$3$，比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC三边比不相等，不相似；
C选项：三边长为$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比完全相等，符合相似判定条件；
D选项：三边长为$1$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$，比为$1:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与△ABC三边比不相等，不相似。
综上，与△ABC相似的是C选项的三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形相似的判定
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的常见题型，核心是利用勾股定理准确计算各三角形的边长，再结合相似三角形的判定定理验证，计算时注意将三边按长度排序后再对比比值，可避免对应边匹配错误的问题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,三角形纸片ABC的三边长AB=6,AC=4,BC=8,要在三角形纸片上剪出一个三角形与△ABC相似,按下列剪法剪出的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(
A
)。答案
4.A
解析
【分析】
要判断剪出的阴影三角形与△ABC是否相似，我们可以优先利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理简化计算：首先找到阴影三角形与△ABC的公共角，再计算夹该公共角的两组边的比值，若两组比值相等，则两个三角形相似，否则不相似。原△ABC三边已知，我们只需逐一验证各选项的边比是否符合要求即可。
【解析】
已知△ABC的三边长AB=6，AC=4，BC=8。
对于选项A的阴影三角形：
它与△ABC有公共角∠A，阴影三角形夹∠A的两条边分别为2和3，
计算边的比值：$\frac{2}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
即夹公共角∠A的两组边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定该阴影三角形与△ABC相似。
其余选项的阴影三角形夹公共角的两组边的比值均不相等，不满足相似判定条件。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段计算
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时优先找公共角再验证边的比例关系可大幅提升解题效率，熟练掌握相似判定定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
要判断剪出的阴影三角形与△ABC是否相似，我们可以优先利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理简化计算：首先找到阴影三角形与△ABC的公共角，再计算夹该公共角的两组边的比值，若两组比值相等，则两个三角形相似，否则不相似。原△ABC三边已知，我们只需逐一验证各选项的边比是否符合要求即可。
【解析】
已知△ABC的三边长AB=6，AC=4，BC=8。
对于选项A的阴影三角形：
它与△ABC有公共角∠A，阴影三角形夹∠A的两条边分别为2和3，
计算边的比值：$\frac{2}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
即夹公共角∠A的两组边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定该阴影三角形与△ABC相似。
其余选项的阴影三角形夹公共角的两组边的比值均不相等，不满足相似判定条件。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段计算
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时优先找公共角再验证边的比例关系可大幅提升解题效率，熟练掌握相似判定定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是边CD的中点，点F在边BC上运动，当△ADE∽△ECF时，CF的长为
1.5
。答案
5.1.5
解析
【分析】
拿到本题可按以下思路求解：首先利用正方形的性质得到相等的直角和各边的长度，再结合点E是CD中点的条件求出DE、EC的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式，代入数值计算即可得到CF的长度，注意要根据相似三角形的顶点对应关系找对对应边，避免列式错误。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=6
∴AD=CD=AB=6，∠D=∠C=90°
∵点E是边CD的中点
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$CD=3
∵△ADE∽△ECF
∴对应边成比例，即$\frac{AD}{EC}=\frac{DE}{CF}$
将AD=6，EC=3，DE=3代入比例式得：
$\frac{6}{3}=\frac{3}{CF}$
解得CF=$\frac{3×3}{6}=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
1.正方形的性质
2.相似三角形的性质
3.线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查相似三角形性质和正方形性质的结合应用，解题的关键是准确匹配相似三角形的对应边，是相似三角形应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
拿到本题可按以下思路求解：首先利用正方形的性质得到相等的直角和各边的长度，再结合点E是CD中点的条件求出DE、EC的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式，代入数值计算即可得到CF的长度，注意要根据相似三角形的顶点对应关系找对对应边，避免列式错误。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=6
∴AD=CD=AB=6，∠D=∠C=90°
∵点E是边CD的中点
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$CD=3
∵△ADE∽△ECF
∴对应边成比例，即$\frac{AD}{EC}=\frac{DE}{CF}$
将AD=6，EC=3，DE=3代入比例式得：
$\frac{6}{3}=\frac{3}{CF}$
解得CF=$\frac{3×3}{6}=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
1.正方形的性质
2.相似三角形的性质
3.线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查相似三角形性质和正方形性质的结合应用，解题的关键是准确匹配相似三角形的对应边，是相似三角形应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图,点 D 在$△ ABC$的边 AC 上,$AB＜AC$,现要用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定$△ ADB ∽ △ ABC$,则需加的条件是
$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$(或$AB^2=AC·AD$)
。答案
6.$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$(或$AB^2=AC·AD$)
解析
【分析】
要使用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定$△ ADB ∽ △ ABC$，首先找两个三角形的相等夹角：观察可得$∠ A$是$△ ADB$和$△ ABC$的公共角，已经满足夹角相等的条件，接下来只需让夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。先确定两个三角形中夹$∠ A$的边：$△ ADB$中夹$∠ A$的边为$AD$、$AB$，$△ ABC$中夹$∠ A$的边为$AB$、$AC$，按照对应边成比例的要求列出比例式即可，也可将比例式变形为等积式。
【解析】
在$△ ADB$和$△ ABC$中，$∠ A$是公共角，即$∠ A = ∠ A$。
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，需要使夹$∠ A$的两组边对应成比例：
$△ ADB$中$∠ A$的两条邻边为$AD$、$AB$，$△ ABC$中$∠ A$的两条邻边为$AB$、$AC$，因此可得比例关系：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$
根据比例的基本性质，交叉相乘可变形为：$AB^2=AC·AD$
以上两个条件均可。
【答案】
$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$（或$AB^2=AC·AD$）
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是先确定两个三角形共有的相等夹角，再根据判定定理匹配对应边的比例关系，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要使用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定$△ ADB ∽ △ ABC$，首先找两个三角形的相等夹角：观察可得$∠ A$是$△ ADB$和$△ ABC$的公共角，已经满足夹角相等的条件，接下来只需让夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。先确定两个三角形中夹$∠ A$的边：$△ ADB$中夹$∠ A$的边为$AD$、$AB$，$△ ABC$中夹$∠ A$的边为$AB$、$AC$，按照对应边成比例的要求列出比例式即可，也可将比例式变形为等积式。
【解析】
在$△ ADB$和$△ ABC$中，$∠ A$是公共角，即$∠ A = ∠ A$。
根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，需要使夹$∠ A$的两组边对应成比例：
$△ ADB$中$∠ A$的两条邻边为$AD$、$AB$，$△ ABC$中$∠ A$的两条邻边为$AB$、$AC$，因此可得比例关系：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$
根据比例的基本性质，交叉相乘可变形为：$AB^2=AC·AD$
以上两个条件均可。
【答案】
$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$（或$AB^2=AC·AD$）
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是先确定两个三角形共有的相等夹角，再根据判定定理匹配对应边的比例关系，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 如图，点D，E分别为△ABC的边AB和AC上的动点，AB=9，AC=8，BC=10，AD=$\frac{16}{3}$，CE=2，则DE的长为
$\frac{20}{3}$
。答案
7.$\frac{20}{3}$
解析
【分析】
解题时首先先求出AE的长度，再观察△ADE与△ACB的公共角∠A，计算夹∠A的两组对应边的比值，判断两组边是否成比例，若成比例则可依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AC=8，CE=2
∴AE=AC-CE=8-2=6
∵$AD=\frac{16}{3}$，AB=9
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{16}{3}}{8}=\frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又
∵∠A=∠A（公共角）
∴△ADE∽△ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$
∵BC=10
∴$DE=\frac{2}{3}× BC=\frac{2}{3}×10=\frac{20}{3}$
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是找准对应边的比例关系，结合公共角判定三角形相似，再利用相似的性质求解未知线段长度，这类题型是几何中求线段长度的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先先求出AE的长度，再观察△ADE与△ACB的公共角∠A，计算夹∠A的两组对应边的比值，判断两组边是否成比例，若成比例则可依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AC=8，CE=2
∴AE=AC-CE=8-2=6
∵$AD=\frac{16}{3}$，AB=9
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{16}{3}}{8}=\frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又
∵∠A=∠A（公共角）
∴△ADE∽△ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$
∵BC=10
∴$DE=\frac{2}{3}× BC=\frac{2}{3}×10=\frac{20}{3}$
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是找准对应边的比例关系，结合公共角判定三角形相似，再利用相似的性质求解未知线段长度，这类题型是几何中求线段长度的常见考法。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知四边形ACBD，连接对角线AB,CD，作$∠ DAE = ∠ BAC$交对角线CD于点E，若$AD · AC = AB · AE$，求证：$△ ABD ∽ △ ACE$。
答案
8. 证明:$\because ∠DAE=∠BAC,$
$\therefore ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,$
$\therefore ∠DAB=∠EAC。$
$\because AD·AC=AB·AE,$
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},$
$\therefore △ ABD∽ △ ACE。$
$\therefore ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,$
$\therefore ∠DAB=∠EAC。$
$\because AD·AC=AB·AE,$
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},$
$\therefore △ ABD∽ △ ACE。$
解析
【分析】要证明△ABD∽△ACE，可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先处理角的关系：已知∠DAE=∠BAC，两个角同时减去公共角∠BAE，可得到对应相等的夹角∠DAB=∠EAC；再处理乘积式条件，根据比例的基本性质将AD·AC=AB·AE转化为比例式，验证该比例式为等角对应的两组边成比例，满足相似判定条件即可得证。
【解析】
证明：$\because ∠DAE=∠BAC,$
$\therefore ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,$
$\therefore ∠DAB=∠EAC。$
$\because AD·AC=AB·AE,$
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},$
$\therefore △ ABD∽ △ ACE。$
【答案】
$\because ∠DAE=∠BAC,$
$\therefore ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,$
$\therefore ∠DAB=∠EAC。$
$\because AD·AC=AB·AE,$
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},$
$\therefore △ ABD∽ △ ACE。$
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是掌握相似的判定定理，能灵活转换乘积式为比例式，同时通过已知角的关系推导得到对应相等的夹角，整体逻辑清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.8
【解析】
证明：$\because ∠DAE=∠BAC,$
$\therefore ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,$
$\therefore ∠DAB=∠EAC。$
$\because AD·AC=AB·AE,$
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},$
$\therefore △ ABD∽ △ ACE。$
【答案】
$\because ∠DAE=∠BAC,$
$\therefore ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,$
$\therefore ∠DAB=∠EAC。$
$\because AD·AC=AB·AE,$
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC},$
$\therefore △ ABD∽ △ ACE。$
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是掌握相似的判定定理，能灵活转换乘积式为比例式，同时通过已知角的关系推导得到对应相等的夹角，整体逻辑清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.8
