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9. 如图，正方形ABCD、正方形CDEF和正方形EFGH排列在一起，且边长相同，连接AC,AF,AG。
(1)判断$△ ACF$与$△ ACG$是否相似，并说明理由；
(2)求$∠ ACB + ∠ AFB + ∠ AGB$的度数。
(1)判断$△ ACF$与$△ ACG$是否相似，并说明理由；
(2)求$∠ ACB + ∠ AFB + ∠ AGB$的度数。
答案
9. 解:(1)$△ ACF∽ △ GCA$。理由如下:
设正方形$ABCD$的边长为$a$。
$\because$正方形$ABCD$、正方形$CDEF$和正方形$EFGH$边长相同，
$\therefore ∠B=90°,AB=BC=FC=FG=a,$
$\therefore GC=FC+FG=2a。$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a,$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2},\frac{GC}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2},$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{GC}{AC},即\frac{AC}{GC}=\frac{FC}{AC}。$
$\because ∠ACF=∠GCA,$
$\therefore △ ACF∽ △ GCA。$
(2)$\because △ ACF∽ △ GCA,$
$\therefore ∠CAF=∠AGB。$
在$△ ABC$中,$AB=BC,∠B=90°,$
$\therefore ∠ACB=\frac{180°-∠B}{2}=45°。$
$\because ∠ACB$是$△ ACF$的外角，
$\therefore ∠AFB+∠CAF=∠ACB=45°,$
$\therefore ∠AFB+∠AGB=45°,$
$\therefore ∠ACB+∠AFB+∠AGB=45°+45°=90°。$
设正方形$ABCD$的边长为$a$。
$\because$正方形$ABCD$、正方形$CDEF$和正方形$EFGH$边长相同，
$\therefore ∠B=90°,AB=BC=FC=FG=a,$
$\therefore GC=FC+FG=2a。$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a,$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2},\frac{GC}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2},$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{GC}{AC},即\frac{AC}{GC}=\frac{FC}{AC}。$
$\because ∠ACF=∠GCA,$
$\therefore △ ACF∽ △ GCA。$
(2)$\because △ ACF∽ △ GCA,$
$\therefore ∠CAF=∠AGB。$
在$△ ABC$中,$AB=BC,∠B=90°,$
$\therefore ∠ACB=\frac{180°-∠B}{2}=45°。$
$\because ∠ACB$是$△ ACF$的外角，
$\therefore ∠AFB+∠CAF=∠ACB=45°,$
$\therefore ∠AFB+∠AGB=45°,$
$\therefore ∠ACB+∠AFB+∠AGB=45°+45°=90°。$
解析
【分析】
(1)要判断△ACF和△GCA是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠ACF，根据相似三角形的判定定理，此时只需证明夹公共角的两组对应边成比例即可。我们可以先设正方形边长为a，利用勾股定理求出AC的长度，再分别计算两组对应边的比值，验证比值是否相等，即可完成相似性的判定。
(2)求三个角的度数和时，首先由正方形性质可直接得到∠ACB=45°，只需求出∠AFB+∠AGB的度数即可。借助第一问得到的相似三角形的性质，可得对应角∠CAF=∠AGB，再结合三角形外角的性质，将∠AFB+∠CAF转化为已知度数的∠ACB，通过等量代换即可求出剩下两个角的和，最终得到三个角的总度数。
【解析】
(1)$△ ACF∽ △ GCA$，理由如下：
设正方形$ABCD$的边长为$a$。
$\because$正方形$ABCD$、正方形$CDEF$和正方形$EFGH$边长相同，
$\therefore ∠B=90°,AB=BC=FC=FG=a,$
$\therefore GC=FC+FG=2a。$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a,$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2},\frac{GC}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2},$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{GC}{AC},即\frac{AC}{GC}=\frac{FC}{AC}。$
$\because ∠ACF=∠GCA$（公共角）,
$\therefore △ ACF∽ △ GCA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2)$\because △ ACF∽ △ GCA,$
$\therefore ∠CAF=∠AGB$（相似三角形对应角相等）。
在$△ ABC$中,$AB=BC,∠B=90°,$
$\therefore ∠ACB=\frac{180°-∠B}{2}=45°。$
$\because ∠ACB$是$△ ACF$的外角，
$\therefore ∠AFB+∠CAF=∠ACB=45°,$
将$∠CAF$替换为$∠AGB$，得$∠AFB+∠AGB=45°,$
$\therefore ∠ACB+∠AFB+∠AGB=45°+45°=90°。$
【答案】
(1)$△ACF∽△GCA$，理由见解析；(2)$90°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形外角性质
【点评】
本题属于几何综合基础题型，融合了正方形、勾股定理、相似三角形、三角形外角的相关知识，通过设参数计算线段长度得到边的比例关系是证明相似的关键，利用相似实现角的等量代换是求解角度和的核心，能够有效锻炼逻辑推理能力和转化思维。
【难度系数】
0.65
(1)要判断△ACF和△GCA是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠ACF，根据相似三角形的判定定理，此时只需证明夹公共角的两组对应边成比例即可。我们可以先设正方形边长为a，利用勾股定理求出AC的长度，再分别计算两组对应边的比值，验证比值是否相等，即可完成相似性的判定。
(2)求三个角的度数和时，首先由正方形性质可直接得到∠ACB=45°，只需求出∠AFB+∠AGB的度数即可。借助第一问得到的相似三角形的性质，可得对应角∠CAF=∠AGB，再结合三角形外角的性质，将∠AFB+∠CAF转化为已知度数的∠ACB，通过等量代换即可求出剩下两个角的和，最终得到三个角的总度数。
【解析】
(1)$△ ACF∽ △ GCA$，理由如下：
设正方形$ABCD$的边长为$a$。
$\because$正方形$ABCD$、正方形$CDEF$和正方形$EFGH$边长相同，
$\therefore ∠B=90°,AB=BC=FC=FG=a,$
$\therefore GC=FC+FG=2a。$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a,$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2},\frac{GC}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2},$
$\therefore \frac{AC}{FC}=\frac{GC}{AC},即\frac{AC}{GC}=\frac{FC}{AC}。$
$\because ∠ACF=∠GCA$（公共角）,
$\therefore △ ACF∽ △ GCA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2)$\because △ ACF∽ △ GCA,$
$\therefore ∠CAF=∠AGB$（相似三角形对应角相等）。
在$△ ABC$中,$AB=BC,∠B=90°,$
$\therefore ∠ACB=\frac{180°-∠B}{2}=45°。$
$\because ∠ACB$是$△ ACF$的外角，
$\therefore ∠AFB+∠CAF=∠ACB=45°,$
将$∠CAF$替换为$∠AGB$，得$∠AFB+∠AGB=45°,$
$\therefore ∠ACB+∠AFB+∠AGB=45°+45°=90°。$
【答案】
(1)$△ACF∽△GCA$，理由见解析；(2)$90°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；三角形外角性质
【点评】
本题属于几何综合基础题型，融合了正方形、勾股定理、相似三角形、三角形外角的相关知识，通过设参数计算线段长度得到边的比例关系是证明相似的关键，利用相似实现角的等量代换是求解角度和的核心，能够有效锻炼逻辑推理能力和转化思维。
【难度系数】
0.65
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=CB=20\ \mathrm{cm}$,$AC=30\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,沿$AB$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,同时点$Q$从点$C$出发,沿$CA$以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。连接$BQ$,$PQ$。
(1)当$△ APQ ∽ △ ABC$时,求$t$的值。
(2)$△ APQ$与$△ CQB$能否相似?若能,求$AP$的长;若不能,请说明理由。
(1)当$△ APQ ∽ △ ABC$时,求$t$的值。
(2)$△ APQ$与$△ CQB$能否相似?若能,求$AP$的长;若不能,请说明理由。
答案
10. 解:(1)由题知,$AP=4t\ \mathrm{cm},CQ=3t\ \mathrm{cm}。$
$\because AB=CB=20\ \mathrm{cm},AC=30\ \mathrm{cm},$
$\therefore AQ=AC-CQ=(30-3t)\mathrm{cm}。$
$\because △ APQ∽ △ ABC,$
$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC},$
$\therefore \frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{30},$
解得$t=\frac{10}{3}。$
(2)能相似。
$\because AB=CB=20\ \mathrm{cm},$
$\therefore ∠A=∠C。$
①当$△ APQ∽ △ CQB$时,$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB},$
$\therefore \frac{4t}{3t}=\frac{30-3t}{20},解得t=\frac{10}{9},$
$\therefore AP=4t=\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}。$
②当$△ APQ∽ △ CBQ$时,$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ},$
$\therefore \frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{3t},$
解得$t_1=5,t_2=-10$(不合题意,舍去),
$\therefore AP=4t=20\ \mathrm{cm}。$
综上,当$AP$的长为$\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}$或$20\ \mathrm{cm}$时,$△ APQ$与$△ CQB$相似。
$\because AB=CB=20\ \mathrm{cm},AC=30\ \mathrm{cm},$
$\therefore AQ=AC-CQ=(30-3t)\mathrm{cm}。$
$\because △ APQ∽ △ ABC,$
$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC},$
$\therefore \frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{30},$
解得$t=\frac{10}{3}。$
(2)能相似。
$\because AB=CB=20\ \mathrm{cm},$
$\therefore ∠A=∠C。$
①当$△ APQ∽ △ CQB$时,$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB},$
$\therefore \frac{4t}{3t}=\frac{30-3t}{20},解得t=\frac{10}{9},$
$\therefore AP=4t=\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}。$
②当$△ APQ∽ △ CBQ$时,$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ},$
$\therefore \frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{3t},$
解得$t_1=5,t_2=-10$(不合题意,舍去),
$\therefore AP=4t=20\ \mathrm{cm}。$
综上,当$AP$的长为$\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}$或$20\ \mathrm{cm}$时,$△ APQ$与$△ CQB$相似。
解析
【分析】
本题是三角形相似结合动点的问题，解题思路如下：
(1) 首先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出AP、CQ、AQ的长度；已知△APQ∽△ABC，对应关系明确且∠A是公共角，根据相似三角形对应边成比例列方程，即可求解t的值，注意验证t是否符合运动时间的取值范围。
(2) 先由AB=CB可得∠A=∠C，两个三角形已有一组角相等，要相似需分两种对应情况讨论：①△APQ∽△CQB，②△APQ∽△CBQ，分别对两种情况根据相似三角形对应边成比例列方程求解，舍去不符合运动范围的解，再计算对应AP的长度即可。
【解析】
解：由题意得，点P运动到终点的时间为$20÷4=5\ \mathrm{s}$，点Q运动到终点的时间为$30÷3=10\ \mathrm{s}$，故t的取值范围为$0＜t≤5$。
可得$AP=4t\ \mathrm{cm}$，$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，$AQ=AC-CQ=(30-3t)\mathrm{cm}$。
(1) $\because △ APQ ∽ △ ABC$，∠A为公共角
$\therefore$ 对应边成比例：$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$
代入$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=30\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{30}$
交叉相乘化简得：$120t=600-60t$
解得$t=\frac{10}{3}$，符合$0＜t≤5$的取值范围。
(2) 能相似，理由如下：
$\because AB=CB=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore ∠ A=∠ C$，两个三角形已有一组对应角相等，分两种情况讨论：
①当$△ APQ ∽ △ CQB$时，对应边成比例$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$
代入得：$\frac{4t}{3t}=\frac{30-3t}{20}$（t≠0可约去）
化简得：$80=90-9t$
解得$t=\frac{10}{9}$，符合取值范围，此时$AP=4t=4×\frac{10}{9}=\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}$。
②当$△ APQ ∽ △ CBQ$时，对应边成比例$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ}$
代入得：$\frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{3t}$
化简得：$t^2+5t-50=0$
解得$t_1=5$，$t_2=-10$（时间为负，不合题意舍去），t=5符合取值范围，此时$AP=4×5=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $t=\frac{10}{3}$；
(2) 能相似，AP的长为$\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}$或$20\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，动点问题求解
【点评】
本题属于三角形相似的综合应用类题目，解题的关键是根据动点的运动情况表示出相关线段的长度，当相似三角形的对应关系不唯一时要注意分类讨论，求解后要验证所得的解是否符合实际运动的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题是三角形相似结合动点的问题，解题思路如下：
(1) 首先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出AP、CQ、AQ的长度；已知△APQ∽△ABC，对应关系明确且∠A是公共角，根据相似三角形对应边成比例列方程，即可求解t的值，注意验证t是否符合运动时间的取值范围。
(2) 先由AB=CB可得∠A=∠C，两个三角形已有一组角相等，要相似需分两种对应情况讨论：①△APQ∽△CQB，②△APQ∽△CBQ，分别对两种情况根据相似三角形对应边成比例列方程求解，舍去不符合运动范围的解，再计算对应AP的长度即可。
【解析】
解：由题意得，点P运动到终点的时间为$20÷4=5\ \mathrm{s}$，点Q运动到终点的时间为$30÷3=10\ \mathrm{s}$，故t的取值范围为$0＜t≤5$。
可得$AP=4t\ \mathrm{cm}$，$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，$AQ=AC-CQ=(30-3t)\mathrm{cm}$。
(1) $\because △ APQ ∽ △ ABC$，∠A为公共角
$\therefore$ 对应边成比例：$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$
代入$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=30\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{30}$
交叉相乘化简得：$120t=600-60t$
解得$t=\frac{10}{3}$，符合$0＜t≤5$的取值范围。
(2) 能相似，理由如下：
$\because AB=CB=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore ∠ A=∠ C$，两个三角形已有一组对应角相等，分两种情况讨论：
①当$△ APQ ∽ △ CQB$时，对应边成比例$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$
代入得：$\frac{4t}{3t}=\frac{30-3t}{20}$（t≠0可约去）
化简得：$80=90-9t$
解得$t=\frac{10}{9}$，符合取值范围，此时$AP=4t=4×\frac{10}{9}=\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}$。
②当$△ APQ ∽ △ CBQ$时，对应边成比例$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ}$
代入得：$\frac{4t}{20}=\frac{30-3t}{3t}$
化简得：$t^2+5t-50=0$
解得$t_1=5$，$t_2=-10$（时间为负，不合题意舍去），t=5符合取值范围，此时$AP=4×5=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $t=\frac{10}{3}$；
(2) 能相似，AP的长为$\frac{40}{9}\ \mathrm{cm}$或$20\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，动点问题求解
【点评】
本题属于三角形相似的综合应用类题目，解题的关键是根据动点的运动情况表示出相关线段的长度，当相似三角形的对应关系不唯一时要注意分类讨论，求解后要验证所得的解是否符合实际运动的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
