1.三角形的三边关系:三角形两边的和第三边.三角形小于第三边.即两边之差＜第三边＜两边之和.

1.大于；两边的差

【分析】
本题考查三角形三边关系的基础概念，解题思路是回忆三角形三边关系的推导逻辑与结论：我们学过“两点之间，线段最短”，在三角形中，任意两个顶点之间的最短路径就是连接这两个顶点的边，而走另外两条边的路径长度就是这两边的和，因此两边的和必然大于第三边；将该不等式变形即可得到两边的差小于第三边，据此对应填空即可。
【解析】
根据三角形三边关系的定义：
1. 由两点之间线段最短的原理，可得三角形任意两边的和大于第三边；
2. 对“两边之和大于第三边”的不等式移项变形，可得三角形两边的差小于第三边，最终完整结论为：两边之差＜第三边＜两边之和。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
大于；两边的差
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是三角形边长相关问题的核心基础，熟练掌握该结论是解决三角形边长取值判断、三边能否构成三角形等题型的前提，需要准确记忆理解。
【难度系数】
0.95

2.三角形具有性.

2.稳定

【分析】
这道题考查三角形的基本性质，我们可以结合三角形和其他多边形的结构差异思考：四边形边长固定时形状仍可改变，具有不稳定性；而三角形三条边长度确定后，形状、大小就会完全固定，不会发生形变，对应三角形特有的性质，直接回忆对应概念即可作答。
【解析】
根据三角形的固有性质，当三角形的三条边长确定后，它的形状和大小就被唯一确定，不会轻易发生变形，这一性质就是三角形的稳定性，是三角形区别于四边形等其他多边形的典型特性，生活中很多稳固类构件都应用了这一性质。
【答案】
稳定
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对三角形核心特性的掌握，学习时注意区分三角形的稳定性和四边形的不稳定性，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

1.(新知回顾)如图,在△ABC中,AB+AC BC,AB-AC BC.(填“＞”“＜”或“=”)

1.＞；＜

【分析】
拿到这道题我们首先明确考查方向是三角形三边的大小比较，首先回忆三角形的核心性质：三边关系。三角形三边关系包含两个结论：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边。第一个空比较AB与AC的和与BC的大小，直接对应两边之和和第三边的比较规则；第二个空比较AB与AC的差与BC的大小，对应两边之差和第三边的比较规则，代入规则就能直接得出结果。
【解析】
根据三角形三边关系：
1. 三角形任意两边之和大于第三边，在△ABC中，AB、AC、BC为三角形的三条边，因此$AB+AC＞BC$；
2. 三角形任意两边之差小于第三边，因此$AB-AC＜BC$。
【答案】
＞；＜
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，属于送分题，只要牢记三角形三边的和、差与第三边的大小关系就能快速解答。
【难度系数】
0.9

2. [2026芜湖期末]在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A.3 cm,5 cm,8 cm
B.8 cm,8 cm,18 cm
C.1 cm,1 cm,1 cm
D.3 cm,4 cm,8 cm

2.C

【分析】
判断三条线段能否组成三角形的核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可：若满足该条件，则三条线段能组成三角形，反之则不能。接下来我们逐一验证四个选项即可得出正确结果。
【解析】
根据三角形三边关系逐一判断：
A选项：较短两条线段长为3cm、5cm，3+5=8，与最长线段长度相等，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B选项：较短两条线段长为8cm、8cm，8+8=16＜18，小于最长线段长度，不满足三边关系，不能组成三角形；
C选项：三条线段长均为1cm，1+1=2＞1，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：较短两条线段长为3cm、4cm，3+4=7＜8，小于最长线段长度，不满足三边关系，不能组成三角形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础考查题，熟练掌握“较短两边之和与最长边比较”的简便判断方法可快速解题，需注意两边之和等于第三边时同样无法构成三角形。
【难度系数】
0.9

3. 新情境 一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架$OP=OQ=30\ \mathrm{cm}$（接头处的长度忽略不计），则点$P$，$Q$之间的距离可以是（）

A.50 cm
B.65 cm
C.70 cm
D.80 cm

3.A

【分析】
要判断点P、Q之间的距离，可将O、P、Q三点看作三角形的三个顶点，OP、OQ为三角形的两条已知边，PQ为第三条边。根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们可以先求出PQ的取值范围，再对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
连接PQ，由题意可知OP=OQ=30cm。
在△OPQ中，根据三角形三边关系可得：
$OP + OQ ＞ PQ$，且$PQ ＞ |OP - OQ|$
代入数值计算得：$30+30 ＞ PQ$，$PQ ＞ |30-30|$，即$0\mathrm{cm} ＜ PQ ＜ 60\mathrm{cm}$。
观察各选项，只有50cm在该取值范围内，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题结合生活中的折叠晾衣架场景，考查三角形三边关系的实际应用，解题时要学会将生活场景转化为数学中的三角形模型，再结合三边关系求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8

4.已知$△ ABC$的两边长分别为4与6，第三边的长为$x$，则$x$的取值范围是.
【变式1·正向应用】已知三角形两边的长分别为1,5，第三边长为整数，则第三边的长为.
【变式2·特征分析】已知三角形两边的长分别是2 cm和7 cm，若第三边的长为奇数（单位：cm），则这个三角形第三边的长为 cm.
【变式3·分类讨论思想】已知等腰三角形的两边长分别为3 cm,8 cm，则该等腰三角形的周长是 cm.

4.$2＜x＜10$
【变式1·正向应用】5
【变式2·特征分析】7
【变式3·分类讨论思想】19

【分析】
本组题目均围绕三角形三边关系定理展开解题，思路如下：1. 基础题直接利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式，求出第三边的取值范围；2. 变式1在求出范围后，结合第三边为整数的限定条件筛选符合的值；3. 变式2在求出范围后，结合第三边为奇数的限定条件筛选；4. 变式3为等腰三角形问题，需先分腰长为3cm和腰长为8cm两种情况讨论，再用三边关系验证每种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况后计算周长。
【解析】
原题
根据三角形三边关系：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，已知两边长为4和6，可得：
$6-4 ＜ x ＜ 6+4$，即$2 ＜ x ＜ 10$。
---
变式1·正向应用
设第三边长为$a$，由三边关系得：
$5-1 ＜ a ＜ 5+1$，即$4 ＜ a ＜ 6$，
∵$a$为整数，
∴$a=5$。
---
变式2·特征分析
设第三边长为$b\ \mathrm{cm}$，由三边关系得：
$7-2 ＜ b ＜ 7+2$，即$5 ＜ b ＜ 9$，
∵$b$为奇数，
∴$b=7$。
---
变式3·分类讨论思想
等腰三角形两边长为3cm和8cm，分两种情况讨论：
① 若腰长为3cm，底边长为8cm，此时$3+3=6 ＜ 8$，不满足三边关系，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为8cm，底边长为3cm，此时$8+3 ＞ 8$，满足三边关系，周长为$8+8+3=19\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2＜x＜10$；【变式1·正向应用】$5$；【变式2·特征分析】$7$；【变式3·分类讨论思想】$19$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本组题目从基础应用到进阶考查，层层递进，重点考查三角形三边关系的灵活运用，涉及特殊取值的问题需结合限定条件筛选结果，等腰三角形相关问题要注意分类讨论后验证三边是否可构成三角形，避免忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.75

5. 立德树人·关注生活 某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示.某校要制作一个三角形支架,已经选好了两根长度分别为2 dm和5 dm的钢管(钢管不可截断使用),还需要再选一根.

(1)有哪几种规格的钢管可供选择?
(2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数,则做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管?

5.解：(1)长度为4 dm、5 dm、6 dm的钢管可供选择.(2)75元.

【分析】
（1）要确定可选的第三根钢管规格，需先根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出第三根钢管的长度范围，再结合表格给出的规格筛选出符合范围的整数长度即可，注意钢管不可截断，所以长度只能是表格中的整数。
（2）要使周长为偶数，先计算已选两根钢管的长度和的奇偶性，根据“奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数”判断第三根钢管的长度奇偶性，从第一问的可选规格中选出符合要求的长度，再对应价格求和得到总花费。
【解析】
(1) 设第三根钢管的长度为$ x \, \mathrm{dm} $，根据三角形三边关系可得：
$ 5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2 $，即$ 3 ＜ x ＜ 7 $。
已知钢管规格为1~6dm的整数且不可截断，因此符合范围的$ x $可取4、5、6，即长度为4dm、5dm、6dm的钢管可供选择。
(2) 已选两根钢管的长度和为$ 2 + 5 = 7 \, \mathrm{dm} $，7是奇数。
要求三角形周长为偶数，因此第三边长度$ x $必须为奇数（奇数+奇数=偶数），在4、5、6中只有5是奇数，故第三根钢管选5dm规格。
计算总花费：2dm钢管单价为15元，5dm钢管单价为30元，总花费为$ 15 + 30 + 30 = 75 \, \mathrm{元} $。
【答案】
(1) 长度为4 dm、5 dm、6 dm的钢管可供选择；(2) 75元。
【知识点】
三角形三边关系；奇偶性的应用；有理数加法运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形相关知识，解题关键是熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合题目附加条件筛选出符合要求的边长，计算时注意对应正确的钢管价格，避免出错。
【难度系数】
0.8

6.新情境 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的。

6.稳定性

【分析】
解题时首先明确置物架的设计需求是结构稳固、不易变形，再回忆三角形的独有特性：三角形三边长度确定后，形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，结合这一特性即可对应得出答案。
【解析】
三角形具备稳定性的性质，即三角形三条边的长度确定后，它的形状、大小就固定不变，不易发生形变。置物架底侧添加斜杆后，与水平、竖直方向的支架共同构成三角形结构，就是利用三角形的这一性质，提升置物架的稳固性，避免其晃动、变形。因此本题应填稳定性。
【答案】
稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见物品出题，考查三角形基础性质的实际应用，贴近生活实际，能让学生直观感受到数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.9