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7. 下列图形中，具有稳定性的是 （
D
）答案
7.D
解析
【分析】
解题首先要明确核心原理：三角形具有稳定性，而四边形、五边形、六边形等边数≥4的多边形不具有稳定性。因此判断一个图形是否具有稳定性，只需看该图形是否被完全分割为独立的三角形，若存在非三角形的多边形结构，则图形不具有稳定性，接下来逐一分析各选项的图形构成即可。
【解析】
根据三角形具有稳定性，边数大于等于4的多边形不具有稳定性，逐一判断：
选项A：正六边形被1条线段分割为2个四边形，存在四边形，不具有稳定性；
选项B：正六边形被2条竖直线段分割为1个矩形（四边形）和2个三角形，存在四边形，不具有稳定性；
选项C：正六边形被2条线段分割后仍存在四边形结构，不具有稳定性；
选项D：正六边形被3条线段分割为4个三角形，所有构成图形均为三角形，因此具有稳定性。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形的稳定性
2. 多边形的不稳定性
【点评】
本题是对几何基础特性的考查，解题关键是牢记三角形的稳定性，只要图形中存在非三角形的多边形，就不具备稳定性，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确核心原理：三角形具有稳定性，而四边形、五边形、六边形等边数≥4的多边形不具有稳定性。因此判断一个图形是否具有稳定性，只需看该图形是否被完全分割为独立的三角形，若存在非三角形的多边形结构，则图形不具有稳定性，接下来逐一分析各选项的图形构成即可。
【解析】
根据三角形具有稳定性，边数大于等于4的多边形不具有稳定性，逐一判断：
选项A：正六边形被1条线段分割为2个四边形，存在四边形，不具有稳定性；
选项B：正六边形被2条竖直线段分割为1个矩形（四边形）和2个三角形，存在四边形，不具有稳定性；
选项C：正六边形被2条线段分割后仍存在四边形结构，不具有稳定性；
选项D：正六边形被3条线段分割为4个三角形，所有构成图形均为三角形，因此具有稳定性。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形的稳定性
2. 多边形的不稳定性
【点评】
本题是对几何基础特性的考查，解题关键是牢记三角形的稳定性，只要图形中存在非三角形的多边形，就不具备稳定性，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
8. [2026 广州期末]下列长度的三条线段不能组成三角形的是 （
A.2.5,3,5
B.7,6,12
C.$a-3,a,3(a＞3)$
D.$a,a+4,a+6(a＞2)$
C
）A.2.5,3,5
B.7,6,12
C.$a-3,a,3(a＞3)$
D.$a,a+4,a+6(a＞2)$
答案
8.C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以先找出三条线段中的最长边，只需验证较短两条线段的和是否大于最长边即可：若大于则能组成三角形，若小于或等于则不能组成三角形，接下来逐一对四个选项进行验证即可。
【解析】
根据三角形三边关系的简便判定方法：将三条线段按从小到大排序，验证较短两边之和是否大于最长边。
A选项：三条线段长度为2.5，3，5，最长边为5，较短两边和为2.5+3=5.5＞5，能组成三角形，不符合题意；
B选项：三条线段长度为7，6，12，最长边为12，较短两边和为6+7=13＞12，能组成三角形，不符合题意；
C选项：已知$a＞3$，三条线段长度为$a-3$，$3$，$a$，最长边为$a$，较短两边和为$(a-3)+3=a$，和最长边相等，不满足“两边之和大于第三边”，不能组成三角形，符合题意；
D选项：已知$a＞2$，三条线段长度为$a$，$a+4$，$a+6$，最长边为$a+6$，较短两边和为$a+(a+4)=2a+4$，作差比较：$2a+4-(a+6)=a-2$，因为$a＞2$，所以$a-2＞0$，即$2a+4＞a+6$，能组成三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形三边关系
2.不等式的性质
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，使用“较短两边之和大于最长边”的简便判定方法可以大幅提升解题效率，需要特别注意的是，三边关系中的“大于”是严格大于，等于时三条线段共线，无法构成三角形。
【难度系数】
0.7
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以先找出三条线段中的最长边，只需验证较短两条线段的和是否大于最长边即可：若大于则能组成三角形，若小于或等于则不能组成三角形，接下来逐一对四个选项进行验证即可。
【解析】
根据三角形三边关系的简便判定方法：将三条线段按从小到大排序，验证较短两边之和是否大于最长边。
A选项：三条线段长度为2.5，3，5，最长边为5，较短两边和为2.5+3=5.5＞5，能组成三角形，不符合题意；
B选项：三条线段长度为7，6，12，最长边为12，较短两边和为6+7=13＞12，能组成三角形，不符合题意；
C选项：已知$a＞3$，三条线段长度为$a-3$，$3$，$a$，最长边为$a$，较短两边和为$(a-3)+3=a$，和最长边相等，不满足“两边之和大于第三边”，不能组成三角形，符合题意；
D选项：已知$a＞2$，三条线段长度为$a$，$a+4$，$a+6$，最长边为$a+6$，较短两边和为$a+(a+4)=2a+4$，作差比较：$2a+4-(a+6)=a-2$，因为$a＞2$，所以$a-2＞0$，即$2a+4＞a+6$，能组成三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形三边关系
2.不等式的性质
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，使用“较短两边之和大于最长边”的简便判定方法可以大幅提升解题效率，需要特别注意的是，三边关系中的“大于”是严格大于，等于时三条线段共线，无法构成三角形。
【难度系数】
0.7
9. 新设问 [2026淮北期末]如图，用AB，BC，CD，AD四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小及重叠部分，若$AB=5$，$BC=9$，$CD=7$，$AD=6$，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是
13
。答案
9.13
解析
【分析】
这个铁框是可变形的四边形，要找两个顶点的最大距离，我们可以结合三角形三边关系思考：要让两个顶点的距离最大，可将这两个顶点同侧的两条相邻钢条调整到共线的状态，此时两点距离等于这两条钢条的长度和，再验证另一侧的两条钢条长度和是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），如果满足就是可行的，最后比较所有可行的距离，取最大值即可。
【解析】
我们分两种对角线的情况讨论：
1. 求对角线AC的最大可能长度：
① 若调整角度让点B落在AC上，此时$AC=AB+BC=5+9=14$，此时看剩余两边$AD+CD=6+7=13$，因为$13＜14$，不符合三角形三边关系，无法构成$△ ADC$，故该情况不成立；
② 若调整角度让点D落在AC上，此时$AC=AD+CD=6+7=13$，剩余两边$AB+BC=5+9=14$，$14＞13$，符合三角形三边关系，可构成$△ ABC$，该情况成立，AC最大可取13。
2. 求对角线BD的最大可能长度：
① 若调整角度让点A落在BD上，此时$BD=AB+AD=5+6=11$，剩余两边$BC+CD=9+7=16＞11$，符合三边关系，该情况成立，BD最大可取11；
② 若调整角度让点C落在BD上，此时$BD=BC+CD=9+7=16$，剩余两边$AB+AD=11＜16$，不符合三边关系，该情况不成立。
对比可行的最大值13和11，可知两个顶点的距离最大值是13。
【答案】
13
【知识点】
三角形三边关系，四边形的不稳定性
【点评】
本题考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是明确要使两点距离最大需让同侧两边共线，再通过三边关系验证情况是否成立，能有效锻炼学生的逻辑推理和分类讨论能力。
【难度系数】
0.6
这个铁框是可变形的四边形，要找两个顶点的最大距离，我们可以结合三角形三边关系思考：要让两个顶点的距离最大，可将这两个顶点同侧的两条相邻钢条调整到共线的状态，此时两点距离等于这两条钢条的长度和，再验证另一侧的两条钢条长度和是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），如果满足就是可行的，最后比较所有可行的距离，取最大值即可。
【解析】
我们分两种对角线的情况讨论：
1. 求对角线AC的最大可能长度：
① 若调整角度让点B落在AC上，此时$AC=AB+BC=5+9=14$，此时看剩余两边$AD+CD=6+7=13$，因为$13＜14$，不符合三角形三边关系，无法构成$△ ADC$，故该情况不成立；
② 若调整角度让点D落在AC上，此时$AC=AD+CD=6+7=13$，剩余两边$AB+BC=5+9=14$，$14＞13$，符合三角形三边关系，可构成$△ ABC$，该情况成立，AC最大可取13。
2. 求对角线BD的最大可能长度：
① 若调整角度让点A落在BD上，此时$BD=AB+AD=5+6=11$，剩余两边$BC+CD=9+7=16＞11$，符合三边关系，该情况成立，BD最大可取11；
② 若调整角度让点C落在BD上，此时$BD=BC+CD=9+7=16$，剩余两边$AB+AD=11＜16$，不符合三边关系，该情况不成立。
对比可行的最大值13和11，可知两个顶点的距离最大值是13。
【答案】
13
【知识点】
三角形三边关系，四边形的不稳定性
【点评】
本题考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是明确要使两点距离最大需让同侧两边共线，再通过三边关系验证情况是否成立，能有效锻炼学生的逻辑推理和分类讨论能力。
【难度系数】
0.6
10. [2025合肥期末] 若a,b,c是△ABC的三边长，则化简|a+b−c|−|b−c−a|的结果是
$2b-2c$
。答案
10.$2b-2c$
解析
【分析】
要化简含绝对值的代数式，首先需判断绝对值内表达式的正负性：
1. 结合已知a,b,c是三角形的三边长，可利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断两个绝对值内式子的正负；
2. 再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号；
3. 最后对去掉绝对值后的整式进行加减运算，合并同类项得到最终结果。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
∴$a+b＞c$，$a+c＞b$
∴$a+b-c＞0$，$b-c-a=b-(a+c)＜0$
根据绝对值的性质可得：
$|a+b-c|=a+b-c$，$|b-c-a|=-(b-c-a)=a+c-b$
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a+b-c|-|b-c-a|&=(a+b-c)-(a+c-b)\\&=a+b-c-a-c+b\\&=2b-2c\end{aligned}$
【答案】
$2b-2c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，核心考察三角形三边关系的应用和绝对值的化简，解题关键是先利用三边关系判断绝对值内代数式的符号，再正确去绝对值后合并同类项，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要化简含绝对值的代数式，首先需判断绝对值内表达式的正负性：
1. 结合已知a,b,c是三角形的三边长，可利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断两个绝对值内式子的正负；
2. 再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号；
3. 最后对去掉绝对值后的整式进行加减运算，合并同类项得到最终结果。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
∴$a+b＞c$，$a+c＞b$
∴$a+b-c＞0$，$b-c-a=b-(a+c)＜0$
根据绝对值的性质可得：
$|a+b-c|=a+b-c$，$|b-c-a|=-(b-c-a)=a+c-b$
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a+b-c|-|b-c-a|&=(a+b-c)-(a+c-b)\\&=a+b-c-a-c+b\\&=2b-2c\end{aligned}$
【答案】
$2b-2c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，核心考察三角形三边关系的应用和绝对值的化简，解题关键是先利用三边关系判断绝对值内代数式的符号，再正确去绝对值后合并同类项，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
11.已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.若$△ ABC$的周长为$12,a=2$,且$△ ABC$是等腰三角形,求$b,c$的值.
答案
11.解：$b=5,c=5.$
解析
【分析】
本题已知等腰三角形的周长和其中一边长，求另外两边长，解题需结合等腰三角形边的性质分类讨论，同时要利用三角形三边关系验证所求边长能否构成三角形，避免出现不符合实际的解。首先明确等腰三角形两条腰长度相等，三角形任意两边之和大于第三边，我们分两种情况讨论：①已知边长a=2为腰长；②已知边长a=2为底边长，分别计算另外两边后验证是否符合三边关系，舍去不成立的情况即可得到结果。
【解析】
解：已知△ABC为等腰三角形，周长为12，a=2，分两种情况讨论：
1. 若a为腰长，则另一条腰长也为2，
此时底边长为：$12-2-2=8$，
三边长分别为2,2,8，
∵$2+2=4＜8$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况不成立，舍去；
2. 若a为底边长，则两条腰长$b=c$，
∴$b=c=(12-2)÷2=5$，
此时三边长分别为2,5,5，
∵$2+5＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边关系，
∴该情况成立。
【答案】
$b=5,c=5$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形边长计算中的应用，解题时容易忽略用三角形三边关系验证结果的合理性，导致出现错误解，需注意养成计算后验证的习惯。
【难度系数】
0.7
本题已知等腰三角形的周长和其中一边长，求另外两边长，解题需结合等腰三角形边的性质分类讨论，同时要利用三角形三边关系验证所求边长能否构成三角形，避免出现不符合实际的解。首先明确等腰三角形两条腰长度相等，三角形任意两边之和大于第三边，我们分两种情况讨论：①已知边长a=2为腰长；②已知边长a=2为底边长，分别计算另外两边后验证是否符合三边关系，舍去不成立的情况即可得到结果。
【解析】
解：已知△ABC为等腰三角形，周长为12，a=2，分两种情况讨论：
1. 若a为腰长，则另一条腰长也为2，
此时底边长为：$12-2-2=8$，
三边长分别为2,2,8，
∵$2+2=4＜8$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况不成立，舍去；
2. 若a为底边长，则两条腰长$b=c$，
∴$b=c=(12-2)÷2=5$，
此时三边长分别为2,5,5，
∵$2+5＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边关系，
∴该情况成立。
【答案】
$b=5,c=5$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形边长计算中的应用，解题时容易忽略用三角形三边关系验证结果的合理性，导致出现错误解，需注意养成计算后验证的习惯。
【难度系数】
0.7
12. 推理能力 如图①，P是△ABC内部的一点，连接BP并延长交AC于点D.
(1) 试探究$AB+BC+CA$与$2BD$的大小关系；
(2) 试探究$AB+AC$与$PB+PC$的大小关系；
(3) 如图②，D，E是△ABC内部两点，试探究$AB+AC$与$BD+DE+CE$的大小关系.
(1) 试探究$AB+BC+CA$与$2BD$的大小关系；
(2) 试探究$AB+AC$与$PB+PC$的大小关系；
(3) 如图②，D，E是△ABC内部两点，试探究$AB+AC$与$BD+DE+CE$的大小关系.
答案
12.解：(1)(2)(3)略.
解析
【分析】
本题所有小问均利用三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”求解，通过构造对应三角形列出三边不等式，再将不等式相加消去公共项即可得到结论：
(1) 找到包含BD的两个三角形，分别列三边关系不等式后相加，即可推导出AB+BC+CA与2BD的大小关系；
(2) 将BD拆分为BP+PD，在两个含PD的三角形中列不等式相加，消去公共项PD即可推导结论；
(3) 延长内部线段构造多个三角形，多次运用三边关系列不等式，相加后消去公共项即可得到结论。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：
在$△ ABD$中，$AB + AD ＞ BD$ ①
在$△ BCD$中，$BC + CD ＞ BD$ ②
将①+②得：$AB + AD + BC + CD ＞ 2BD$
∵ $AD + CD = AC$
∴ $AB + BC + AC ＞ 2BD$，即$AB+BC+CA＞2BD$。
(2) 根据三角形三边关系：
在$△ ABD$中，$AB + AD ＞ BD = BP + PD$ ①
在$△ PDC$中，$PD + CD ＞ PC$ ②
将①+②得：$AB + AD + PD + CD ＞ BP + PD + PC$
两边同时减去$PD$，且$AD + CD = AC$
∴ $AB + AC ＞ PB + PC$。
(3) 延长$BD$交$AC$于点$F$，延长$CE$交$BD$于点$G$，根据三角形三边关系：
在$△ ABF$中，$AB + AF ＞ BF = BG + GF$ ①
在$△ GFC$中，$GF + FC ＞ GC = GE + EC$ ②
在$△ DGE$中，$DG + GE ＞ DE$ ③
将①+②+③得：
$AB + AF + GF + FC + DG + GE ＞ BG + GF + GE + EC + DE$
化简左边得$AB + AC + GF + GE + DG$，右边代入$BG=BD+DG$得$BD + DG + GF + GE + DE + EC$
两边同时减去$GF、GE、DG$，可得：
$AB + AC ＞ BD + DE + CE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB+BC+CA＞2BD}$
(2) $\boldsymbol{AB+AC＞PB+PC}$
(3) $\boldsymbol{AB+AC＞BD+DE+CE}$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形边的性质的典型应用题型，解题核心是灵活构造三角形，通过不等式相加消去无关线段推导大小关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题所有小问均利用三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”求解，通过构造对应三角形列出三边不等式，再将不等式相加消去公共项即可得到结论：
(1) 找到包含BD的两个三角形，分别列三边关系不等式后相加，即可推导出AB+BC+CA与2BD的大小关系；
(2) 将BD拆分为BP+PD，在两个含PD的三角形中列不等式相加，消去公共项PD即可推导结论；
(3) 延长内部线段构造多个三角形，多次运用三边关系列不等式，相加后消去公共项即可得到结论。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：
在$△ ABD$中，$AB + AD ＞ BD$ ①
在$△ BCD$中，$BC + CD ＞ BD$ ②
将①+②得：$AB + AD + BC + CD ＞ 2BD$
∵ $AD + CD = AC$
∴ $AB + BC + AC ＞ 2BD$，即$AB+BC+CA＞2BD$。
(2) 根据三角形三边关系：
在$△ ABD$中，$AB + AD ＞ BD = BP + PD$ ①
在$△ PDC$中，$PD + CD ＞ PC$ ②
将①+②得：$AB + AD + PD + CD ＞ BP + PD + PC$
两边同时减去$PD$，且$AD + CD = AC$
∴ $AB + AC ＞ PB + PC$。
(3) 延长$BD$交$AC$于点$F$，延长$CE$交$BD$于点$G$，根据三角形三边关系：
在$△ ABF$中，$AB + AF ＞ BF = BG + GF$ ①
在$△ GFC$中，$GF + FC ＞ GC = GE + EC$ ②
在$△ DGE$中，$DG + GE ＞ DE$ ③
将①+②+③得：
$AB + AF + GF + FC + DG + GE ＞ BG + GF + GE + EC + DE$
化简左边得$AB + AC + GF + GE + DG$，右边代入$BG=BD+DG$得$BD + DG + GF + GE + DE + EC$
两边同时减去$GF、GE、DG$，可得：
$AB + AC ＞ BD + DE + CE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB+BC+CA＞2BD}$
(2) $\boldsymbol{AB+AC＞PB+PC}$
(3) $\boldsymbol{AB+AC＞BD+DE+CE}$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形边的性质的典型应用题型，解题核心是灵活构造三角形，通过不等式相加消去无关线段推导大小关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
