3. 如图，D，E，F分别为$△ ABC$三边的中点，若$△ DEF$的周长为8，则$△ ABC$的周长为.

3.16

【分析】
解题时首先观察已知条件：D、E、F是△ABC三边的中点，由此联想到三角形中位线定理。三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半，因此△DEF的三条边均为△ABC的中位线，每条边对应是△ABC边长的一半，进而可推导出两个三角形周长的倍数关系，结合已知△DEF的周长即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，
根据三角形中位线的性质可得：
$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
将三个式子相加得：$DE+EF+DF=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$，
即$△ DEF$的周长是$△ ABC$周长的$\frac{1}{2}$，
已知$△ DEF$的周长为8，
因此$△ ABC$的周长$=2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
三角形中位线定理、三角形周长计算
【点评】
本题考查三角形中位线定理的基础应用，解题的核心是掌握中位线与对应第三边的数量关系，进而推导得到周长的倍数关系，是三角形部分的典型基础题。
【难度系数】
0.85

4. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F,G分别是AD,AE的中点,且FG=2 cm,则BC的长为 cm.

4.8

【分析】
看到题目中出现多组边的中点，优先考虑三角形中位线定理。首先F、G分别是AD、AE的中点，因此FG是△ADE的中位线，可先通过FG的长度求出DE的长度；再根据D、E分别是AB、AC的中点，可知DE是△ABC的中位线，进而求出BC的长度。
【解析】
解：
∵F、G分别是AD、AE的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
根据三角形中位线定理，可得DE = 2FG，
已知FG=2cm，
∴DE=2×2=4cm。
又
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
同理可得BC = 2DE，
∴BC=2×4=8cm。
【答案】
8
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理的基础应用，解题的关键是识别出两组中位线，连续两次运用中位线定理即可求出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=8$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,若$E$为$AC$的中点,则$△ CDE$的周长为.

5.14

【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合AD是∠BAC的平分线，可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到D是BC中点，且AD⊥BC；再观察到E是Rt△ADC斜边AC的中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可求出DE、CE的长度，最后将△CDE的三边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，D为BC的中点，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
又
∵E为AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=CE=$\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×10 = 5。
∴△CDE的周长 = CD + DE + CE = 4 + 5 + 5 = 14。
【答案】
14
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线定理；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质推导各边长度，是等腰三角形与直角三角形性质结合的典型考题。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$BC=4$，$DE$，$DF$是$△ ABC$的中位线，试判断四边形$DEBF$的形状（说明理由），并求它的周长。

1. 平行四边形，周长为10.

【分析】解题时首先回忆三角形中位线定理，利用中位线的性质判断四边形两组对边的位置关系以确定形状，再结合中位线与第三边的长度关系计算边长，最终求出周长。第一步：根据中位线定义，可得两组对边分别平行，判定四边形为平行四边形；第二步：利用中位线长度为第三边的一半，求出平行四边形的邻边长度；第三步：代入平行四边形周长公式计算结果。
【解析】
解：四边形DEBF是平行四边形，理由如下：
∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF//BC，$DF=\frac{1}{2}BC$，DE//AB，$DE=\frac{1}{2}AB$，
即DF//BE，DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
计算周长：
已知AB=6，BC=4，
∴$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，$DF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$，
平行四边形DEBF的周长=$2×(DE+DF)=2×(3+2)=10$。
【答案】四边形DEBF是平行四边形，周长为10。
【知识点】三角形中位线定理、平行四边形的判定、平行四边形周长计算
【点评】本题核心是对三角形中位线性质和平行四边形判定的应用，解题思路清晰，只要熟练掌握相关定理就能顺利求解。
【难度系数】0.8

2. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,E,F分别是BD,AC,BC,MN的中点,连接ME,NE.
(1)猜想△MEN是什么特殊三角形,并证明你的猜想.
(2)EF与MN有何位置关系?写出你的结论,并说明理由.

解：
(1) $△ MEN$是等腰三角形，证明如下：
∵ $M,E$分别是$BD,BC$的中点，
∴ $ME$是$△ BCD$的中位线，
∴ $ME=\dfrac{1}{2}CD$。
∵ $N,E$分别是$AC,BC$的中点，
∴ $NE$是$△ ABC$的中位线，
∴ $NE=\dfrac{1}{2}AB$。
又∵ $AB=CD$，
∴ $ME=NE$，
∴ $△ MEN$是等腰三角形。
(2) $EF⊥ MN$，理由如下：
由(1)可知$△ MEN$是等腰三角形，$ME=NE$，
∵ $F$是$MN$的中点，
∴ $EF$是等腰$△ MEN$底边$MN$上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$EF⊥ MN$。

【分析】
(1)要判断△MEN的形状，首先观察已知条件中有多个中点，可联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。首先推导ME的长度：ME是△BCD的中位线，可得ME=½CD；再推导NE的长度：NE是△ABC的中位线，可得NE=½AB，结合已知AB=CD，就能推出ME=NE，从而判定△MEN是等腰三角形。
(2)探究EF和MN的位置关系，由(1)已得△MEN是等腰三角形，又已知F是MN的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可得出EF与MN垂直的结论。
【解析】
(1) $△ MEN$是等腰三角形，证明如下：
∵ $M,E$分别是$BD,BC$的中点，
∴ $ME$是$△ BCD$的中位线，
∴ $ME=\dfrac{1}{2}CD$。
∵ $N,E$分别是$AC,BC$的中点，
∴ $NE$是$△ ABC$的中位线，
∴ $NE=\dfrac{1}{2}AB$。
又
∵ $AB=CD$，
∴ $ME=NE$，
∴ $△ MEN$是等腰三角形。
(2) $EF⊥ MN$，理由如下：
由(1)可知$△ MEN$是等腰三角形，$ME=NE$，
∵ $F$是$MN$的中点，
∴ $EF$是等腰$△ MEN$底边$MN$上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$EF⊥ MN$。
【答案】
(1) $△ MEN$是等腰三角形；(2) $EF⊥ MN$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形判定，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何基础题型，解题的关键是结合中点特征灵活运用三角形中位线定理得到边的等量关系，再结合等腰三角形的性质推导垂直关系，是中位线和等腰三角形知识结合的典型考题。
【难度系数】
0.8