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6. 如图，直线$l$经过$A(4,0),B(0,4)$两点，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$P(1,0)$，直线$l$与抛物线的交点为$M$.
(1) 求直线$l$的解析式；
(2) 若$S_{△ AMP}=3$，求抛物线的解析式.
(1) 求直线$l$的解析式；
(2) 若$S_{△ AMP}=3$，求抛物线的解析式.
答案
6. (1) $y=-x+4$ (2) 根据题意，得抛物线为 $y=a(x-1)^2$. $\because S_{△ AMP}=3$，$PA=3$，$\therefore$点$M$的纵坐标是2，$\therefore M(2,2)$. 把$M(2,2)$代入$y=a(x-1)^2$，解得$a=2$. $\therefore$抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2$.
解析
【分析】
(1) 要求直线$l$的解析式，已知直线过$A(4,0)$、$B(0,4)$两个定点，选用待定系数法求解：设一次函数一般式$y=kx+b$（$k≠0$），将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到参数值，确定直线解析式。
(2) 已知抛物线顶点为$P(1,0)$，代入顶点式$y=a(x-h)^2$可直接确定$h=1$，抛物线解析式可写为$y=a(x-1)^2$，仅需求出$a$的值即可。由于$A$、$P$都在$x$轴上，可先求出$PA$的长度，结合$△ AMP$的面积，利用三角形面积公式求出交点$M$的纵坐标，再将纵坐标代入直线解析式求出$M$的横坐标，得到$M$点坐标后代入抛物线解析式即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 设直线$l$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$
把$b=4$代入$4k+b=0$，得$4k+4=0$，解得$k=-1$，
因此直线$l$的解析式为$y=-x+4$。
(2) $\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$P(1,0)$，
$\therefore h=1$，抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，
$\because A(4,0)$，$P(1,0)$，两点均在$x$轴上，
$\therefore PA=4-1=3$，
设点$M$的纵坐标为$y_M$（$y_M＞0$），
由$S_{△ AMP}=3$得：$\frac{1}{2}× PA× y_M=3$，
代入$PA=3$得：$\frac{1}{2}×3× y_M=3$，解得$y_M=2$，
$\because$点$M$在直线$l$上，将$y=2$代入$y=-x+4$，得$2=-x+4$，解得$x=2$，
即$M$点坐标为$(2,2)$，
将$M(2,2)$代入$y=a(x-1)^2$得：$2=a×(2-1)^2$，解得$a=2$，
因此抛物线的解析式为$y=2(x-1)^2$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；(2) $y=2(x-1)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时结合坐标与图形的性质，利用三角形面积求出交点坐标，整体思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
(1) 要求直线$l$的解析式，已知直线过$A(4,0)$、$B(0,4)$两个定点，选用待定系数法求解：设一次函数一般式$y=kx+b$（$k≠0$），将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到参数值，确定直线解析式。
(2) 已知抛物线顶点为$P(1,0)$，代入顶点式$y=a(x-h)^2$可直接确定$h=1$，抛物线解析式可写为$y=a(x-1)^2$，仅需求出$a$的值即可。由于$A$、$P$都在$x$轴上，可先求出$PA$的长度，结合$△ AMP$的面积，利用三角形面积公式求出交点$M$的纵坐标，再将纵坐标代入直线解析式求出$M$的横坐标，得到$M$点坐标后代入抛物线解析式即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 设直线$l$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$
把$b=4$代入$4k+b=0$，得$4k+4=0$，解得$k=-1$，
因此直线$l$的解析式为$y=-x+4$。
(2) $\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$P(1,0)$，
$\therefore h=1$，抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，
$\because A(4,0)$，$P(1,0)$，两点均在$x$轴上，
$\therefore PA=4-1=3$，
设点$M$的纵坐标为$y_M$（$y_M＞0$），
由$S_{△ AMP}=3$得：$\frac{1}{2}× PA× y_M=3$，
代入$PA=3$得：$\frac{1}{2}×3× y_M=3$，解得$y_M=2$，
$\because$点$M$在直线$l$上，将$y=2$代入$y=-x+4$，得$2=-x+4$，解得$x=2$，
即$M$点坐标为$(2,2)$，
将$M(2,2)$代入$y=a(x-1)^2$得：$2=a×(2-1)^2$，解得$a=2$，
因此抛物线的解析式为$y=2(x-1)^2$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；(2) $y=2(x-1)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时结合坐标与图形的性质，利用三角形面积求出交点坐标，整体思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
7. 如图，直线$y=-x-2$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的顶点为$A$，且经过点$B$。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，求$m$的值。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，求$m$的值。
答案
7. （1）根据题意可知$A(-2,0),B(0,-2)$. $\therefore h=-2$. $\therefore y=a(x+2)^2$. 把$(0,-2)$代入$y=a(x+2)^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$. $\therefore$该抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$.
（2）$\because C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$上，$\therefore -\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$，解得$m_1=1,m_2=-5$.
（2）$\because C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$上，$\therefore -\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$，解得$m_1=1,m_2=-5$.
解析
【分析】
（1）要确定抛物线解析式，首先需先求出直线与坐标轴的交点A、B的坐标：求x轴交点令y=0计算x值，求y轴交点令x=0计算y值。已知抛物线为顶点式且顶点为A，顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，即可得h的值，再将B点坐标代入顶点式求出a的值，就能得到抛物线解析式。
（2）点C在抛物线上，说明点C的坐标满足抛物线解析式，将C点横、纵坐标代入解析式，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
（1）对于直线$y=-x-2$：
令$y=0$，则$0=-x-2$，解得$x=-2$，$\therefore$点A坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y=-2$，$\therefore$点B坐标为$(0,-2)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A，$\therefore$顶点横坐标$h=-2$，抛物线可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入$y=a(x+2)^2$得：$-2=a×(0+2)^2$，即$4a=-2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$。
（2）$\because$点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$上，将其坐标代入解析式得：
$-\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$
两边同时乘$-2$得：$(m+2)^2=9$
开平方得：$m+2=\pm3$
当$m+2=3$时，$m=1$；当$m+2=-3$时，$m=-5$。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
（2）$m$的值为$1$或$-5$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求法；二次函数顶点式性质；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题的核心是熟练掌握二次函数顶点式的结构特点，明确顶点坐标与解析式中参数的对应关系，同时理解函数图象上的点坐标满足函数解析式，即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
（1）要确定抛物线解析式，首先需先求出直线与坐标轴的交点A、B的坐标：求x轴交点令y=0计算x值，求y轴交点令x=0计算y值。已知抛物线为顶点式且顶点为A，顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，即可得h的值，再将B点坐标代入顶点式求出a的值，就能得到抛物线解析式。
（2）点C在抛物线上，说明点C的坐标满足抛物线解析式，将C点横、纵坐标代入解析式，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
（1）对于直线$y=-x-2$：
令$y=0$，则$0=-x-2$，解得$x=-2$，$\therefore$点A坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y=-2$，$\therefore$点B坐标为$(0,-2)$。
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A，$\therefore$顶点横坐标$h=-2$，抛物线可写为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入$y=a(x+2)^2$得：$-2=a×(0+2)^2$，即$4a=-2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$。
（2）$\because$点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$上，将其坐标代入解析式得：
$-\dfrac{1}{2}(m+2)^2=-\dfrac{9}{2}$
两边同时乘$-2$得：$(m+2)^2=9$
开平方得：$m+2=\pm3$
当$m+2=3$时，$m=1$；当$m+2=-3$时，$m=-5$。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$
（2）$m$的值为$1$或$-5$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求法；二次函数顶点式性质；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题的核心是熟练掌握二次函数顶点式的结构特点，明确顶点坐标与解析式中参数的对应关系，同时理解函数图象上的点坐标满足函数解析式，即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
