一、选择题
1 [2025 宿城段考]数学兴趣小组利用所学知识,自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径.如图,用螺丝钉将两根木棒AD,BC 的中点固定,利用全等三角形知识,测得 CD 的长就是锥形瓶内径 AB 的长.其中,判定$△ AOB$和$△ DOC$全等的方法是 ()



A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.AAS

1. C

【分析】
要判定△AOB和△DOC全等，首先从题目的已知条件入手分析：题目明确说明两根木棒AD、BC的中点被固定，因此可先根据中点的性质得到两组对应边相等；再观察两个三角形的位置关系，可找到一组相等的对顶角作为两组边的夹角，对应全等三角形的判定定理即可确定判定方法。
【解析】
∵O是AD、BC的中点，
∴AO=DO，BO=CO。
在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}AO=DO（已证）\\∠AOB=∠DOC（对顶角相等）\\BO=CO（已证）\end{array} $
∴△AOB≌△DOC（SAS），因此判定方法为SAS。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SAS判定，中点的性质，对顶角相等
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的判定，解题的核心是结合中点、对顶角的性质快速找到三角形全等的对应条件，是全等判定的基础应用题型，掌握全等三角形的判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.85

2[2024 泗阳期末]根据下列已知条件,能画出唯一的$△ ABC$ 的是 （）

A.$AB=5,BC=4,AC=1$
B.$AB=5,AC=4,∠ B=60°$
C.$∠ A=30°,∠ B=60°,∠ C=90°$
D.$∠ A=30°,∠ B=60°,AB=5$

2. D

【分析】
要判断哪个选项能画出唯一的△ABC，需明确两个核心判断依据：1. 首先要满足三角形三边关系，能构成三角形；2. 构成的三角形要唯一，本质是符合全等三角形的判定定理，因为满足全等判定条件时，画出的三角形形状、大小都完全一致，也就是唯一的。我们只需逐个分析选项是否符合这两个要求即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 已知AB=5，BC=4，AC=1，可得BC+AC=4+1=5=AB，不符合三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，该选项错误；
B. 已知AB=5，AC=4，∠B=60°，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的条件，SSA不能判定三角形全等，因此可以画出多个不同的三角形，不唯一，该选项错误；
C. 已知∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，仅知道三个角的度数（AAA），只能确定三角形的形状，不能确定大小，可以画出无数个相似的三角形，不唯一，该选项错误；
D. 已知∠A=30°，∠B=60°，AB=5，属于“两角及其夹边（ASA）”的条件，符合全等三角形的ASA判定定理，因此画出的三角形是唯一的，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系，全等三角形判定，三角形确定条件
【点评】
本题考查唯一三角形的判定，解题的关键是明确只有满足三角形三边关系且符合全等三角形判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS）时，才能画出唯一的三角形，需注意SSA、AAA均无法确定唯一三角形。
【难度系数】
0.7

3 [2024宿城段考]如图，$CE⊥AB$于点$E$，$BD⊥AC$于点$D$，$BD$，$CE$相交于点$O$，且$AO$平分$∠BAC$，则图中的全等三角形共有（）

A.3对
B.4对
C.5对
D.6对

3. B 【解析】$\because CE⊥AB$于点E,$BD⊥AC$于点D，
$\therefore ∠AEO=∠ADO=∠BEO=∠CDO=90°. ∵ AO$平分$∠BAC,∴ ∠EAO=∠DAO.$ 在$△AEO$ 和$△ADO$ 中,
$\begin{cases} ∠AEO=∠ADO, \\ ∠EAO=∠DAO, \\ AO=AO, \end{cases}$
$\therefore △AEO≌△ADO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AE=AD,OE=OD.$ 在$△OBE$ 和$△OCD$ 中,
$\begin{cases} ∠BEO=∠CDO, \\ OE=OD, \\ ∠EOB=∠DOC, \end{cases}$
$\therefore △OBE≌△OCD(\mathrm{ASA}),∴ OB=OC,BE=CD,∠B=∠C,∴ BE+AE=CD+AD,$即$AB=AC.$ 在$△ABO$ 和$△ACO$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AO=AO, \\ BO=CO, \end{cases}$
$\therefore △ABO≌△ACO(\mathrm{SSS}).$ 在$\mathrm{Rt}△AEC$ 和$\mathrm{Rt}△ADB$ 中,
$\begin{cases} AC=AB, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△ADB(\mathrm{HL}). ∴$ 共有4对全等三角形.

【分析】
解题时我们按照“从易到难”的思路逐步推导：首先结合已知的垂直、角平分线条件，先证明最直观的△AEO与△ADO全等；再利用这组全等得到的边角相等结论，证明△OBE与△OCD全等；接着借助前两组全等的结论推导得到AB=AC，进一步证明△ABO与△ACO全等；最后利用已证的边相等结论证明Rt△AEC与Rt△ADB全等，最后统计全等三角形的总对数即可。
【解析】
$\because CE⊥AB$于点E，$BD⊥AC$于点D，
$\therefore ∠AEO=∠ADO=∠BEO=∠CDO=90°$。
$\because AO$平分$∠BAC$，$\therefore ∠EAO=∠DAO$。
在$△AEO$ 和$△ADO$ 中,
$\begin{cases} ∠AEO=∠ADO, \\ ∠EAO=∠DAO, \\ AO=AO, \end{cases}$
$\therefore △AEO≌△ADO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AE=AD,OE=OD$。
在$△OBE$ 和$△OCD$ 中,
$\begin{cases} ∠BEO=∠CDO, \\ OE=OD, \\ ∠EOB=∠DOC, \end{cases}$
$\therefore △OBE≌△OCD(\mathrm{ASA}),$
$\therefore OB=OC,BE=CD,∠B=∠C$，
$\therefore BE+AE=CD+AD$，即$AB=AC$。
在$△ABO$ 和$△ACO$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AO=AO, \\ BO=CO, \end{cases}$
$\therefore △ABO≌△ACO(\mathrm{SSS})$。
在$\mathrm{Rt}△AEC$ 和$\mathrm{Rt}△ADB$ 中,
$\begin{cases} AC=AB, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△ADB(\mathrm{HL})$。
综上，共有4对全等三角形。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时需从已知条件出发，先证明难度较低的全等三角形，再利用全等三角形对应边、对应角相等的性质推导新的边角关系，进而证明其余全等三角形，注意要逐一排查，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6

4 [2025 辽宁改编]如图,在$△ ABC$中,$AB=16$,$BC=12$,$CA=10$,$∠ ABC$的平分线与$AC$相交于点$D$.过点$C$作$CE⊥ BD$,交$AB$于点$E$,连接$DE$,则$△ DAE$的周长为（）

A.12
B.14
C.16
D.18

4. B

【分析】
首先观察题目条件，BD是∠ABC的平分线且CE⊥BD，可先利用角平分线、垂线的公共条件证明△BGC与△BGE全等，得到BE=BC、GC=GE，进而求出AE的长度；再证明△DGC与△DGE全等得到DC=DE，最后将△DAE的周长转化为AC与AE的和，代入数值计算即可。
【解析】
设BD与CE的交点为G。
1. 证明△BGC≌△BGE：
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠EBD。
∵CE⊥BD，
∴∠BGC=∠BGE=90°。
在△BGC和△BGE中：
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠EBD \\BG=BG \\∠BGC=∠BGE\end{array} $
∴△BGC≌△BGE（ASA），
∴BC=BE=12，GC=GE。
则AE=AB-BE=16-12=4。
2. 证明△DGC≌△DGE：
在△DGC和△DGE中：
$\{\begin{array}{l}GC=GE \\∠DGC=∠DGE=90° \\DG=DG\end{array} $
∴△DGC≌△DGE（SAS），
∴DC=DE。
3. 计算△DAE的周长：
$C_{△DAE}=AD+DE+AE$，
将DE替换为DC，可得：
$C_{△DAE}=AD+DC+AE=AC+AE=10+4=14$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形判定；周长转化
【点评】
本题是几何中典型的转化类题型，解题核心是利用“角平分线+垂线”的特征构造全等三角形，将所求周长中的未知线段转化为已知边长，降低计算难度。
【难度系数】
0.6

二、填空题
5 如图，$△ ABD≌△ CBD$.若$∠ A＝80°$，$∠ ABC＝70°$，则$∠ ADC$ 的大小为________.

5. $130°$

【分析】
解题时首先利用全等三角形的性质，确定对应角相等：可得∠ABD与∠CBD相等，∠ADB与∠CDB相等。接下来先由∠ABC的度数求出∠ABD的大小，再结合三角形内角和定理算出△ABD中∠ADB的度数，最后根据∠ADC是两个相等的角∠ADB、∠CDB的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ $△ ABD≌△ CBD$
∴ $∠ ABD = ∠ CBD$，$∠ ADB = ∠ CDB$
已知$∠ ABC=70°$，因此$∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×70° = 35°$
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADB = 180° - ∠ A - ∠ ABD = 180° - 80° - 35° = 65°$
∴ $∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB = 2∠ ADB = 2×65° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查全等三角形性质与三角形内角和定理的综合运用，解题的核心是准确找到全等三角形的对应角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8

6如图,在$△ ACB$中,$AD\bot BC$,$CE\bot AB$,垂足分别是$D$,$E$,$CE$交$AD$于点$F$,且$DF=DB$,则与$CD-DB$相等的线段是.

6. AF

【分析】
要找出与$CD-DB$相等的线段，可通过全等三角形转化线段长度关系。首先根据已知的垂直条件得到直角，利用同角的余角相等推导角相等，结合已知$DF=DB$，证明包含$CD$、$DB$的两个三角形全等，得到$CD$与其他线段的等量关系，再对线段做差即可得到结果。
【解析】
$\because AD\bot BC$，$CE\bot AB$，
$\therefore ∠ FDC=∠ ADB=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ FCD+∠ B=90°$，$∠ BAD+∠ B=90°$（直角三角形两锐角互余），
$\therefore ∠ FCD=∠ BAD$（同角的余角相等）。
在$△ CDF$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}∠ FCD=∠ BAD \\∠ FDC=∠ ADB \\DF=DB\end{cases}$
$\therefore △ CDF≌△ ADB$（AAS），
$\therefore CD=AD$（全等三角形对应边相等）。
又$\because AD=AF+DF$，且$DF=DB$，
$\therefore CD=AF+DB$，
$\therefore CD-DB=AF$。
【答案】
AF
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题，解题的核心是通过角的互余关系找到全等所需的等角条件，利用全等三角形实现线段的等量代换，将未知的线段差转化为易求解的线段。
【难度系数】
0.7

7如图，$AB⊥ CD$，且$AB=CD$，$CE⊥ AD$，$BF⊥ AD$，垂足分别为$E$，$F$。若$BF=3$，$AD=5$，则$AE$的长为________。

7. 2

【分析】
解题时首先从已知的垂直关系入手，利用同角的余角相等推导相等的角，再结合已知的相等边AB=CD，证明△ABF和△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到DE的长度，最后用AD的长度减去DE的长度即可求出AE的长。
【解析】
解：
∵AB⊥CD，
∴∠A + ∠D = 90°，
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB = ∠CED = 90°，
∴∠A + ∠ABF = 90°，
∴∠ABF = ∠D，
在△ABF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB = ∠CED \\∠ABF = ∠D \\AB = CD\end{array} $
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴DE = BF = 3，
又
∵AD = 5，
∴AE = AD - DE = 5 - 3 = 2。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过垂直关系推导角相等，构造全等三角形转化边的长度，熟练掌握全等三角形的判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

8 如图,在长方形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P从点B出发,以2 cm/s的速度沿边BC向点C运动,到达点C停止.同时,点Q从点C出发,以v cm/s的速度沿边CD向点D运动,到达点D停止,当其中一个动点停止运动时,另一个动点也随之停止运动.当v=时,△ABP与△PCQ能够全等.

8. 2或$\frac{8}{3}$

【分析】
本题是长方形背景下的动点全等问题，解题思路如下：首先根据长方形性质得到∠B=∠C=90°，两个三角形均为直角三角形；其次设运动时间为t，用含t和v的式子表示出两个三角形的各边长度；由于全等时直角边的对应关系不唯一，需要分两种情况讨论：①AB与PC为对应边，BP与CQ为对应边；②AB与CQ为对应边，BP与PC为对应边，分别列方程求解即可，最后要验证解是否符合动点的运动范围。
【解析】
设两动点的运动时间为$ t \, \mathrm{s} $。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $ ∠ B = ∠ C = 90° $，$ BC = AD = 12 \, \mathrm{cm} $，
由题意得：$ BP = 2t \, \mathrm{cm} $，$ PC = BC - BP = (12 - 2t) \, \mathrm{cm} $，$ CQ = vt \, \mathrm{cm} $。
△ABP和△PCQ全等分两种情况：
1. 当$ △ ABP ≌ △ PCQ $时，对应边满足$ AB = PC $，$ BP = CQ $，
列方程：$ 8 = 12 - 2t $，解得$ t = 2 $，
代入$ BP = CQ $得：$ 2 × 2 = 2v $，解得$ v = 2 $；
2. 当$ △ ABP ≌ △ QCP $时，对应边满足$ AB = CQ $，$ BP = PC $，
列方程：$ 2t = 12 - 2t $，解得$ t = 3 $，
代入$ AB = CQ $得：$ 8 = 3v $，解得$ v = \frac{8}{3} $。
经检验，两种情况得到的$ t $均符合动点运动的时间范围，故$ v $的值为2或$ \frac{8}{3} $。
【答案】
2或$\frac{8}{3}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是动点背景下的全等常规题型，核心考点为全等三角形对应边相等的性质，解题的关键是明确全等时边的对应关系有两种可能，避免漏解，同时要注意验证所求结果是否符合动点的实际运动限制。
【难度系数】
0.6