10. 若从长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,6 cm 的四根木棒中,任意选取三根首尾顺次相连搭成三角形,则搭成的不同三角形共有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

11.（2023·梅州期末）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻颗螺丝的距离依次为4,5,6,9，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是 （）

A.7
B.10
C.11
D.14

C

12. (2024秋·新罗区期末)如图,剪去四边形的“一角”,得到一个五边形,这个五边形的周长一定小于这个四边形的周长,依据是.

三角形任意两边之和大于第三边

13. (2025·大连一模)如图,直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B,若∠C=30°,∠ABC=20°,∠DEF的大小为°,AB(填“＞”“＜”或“=”)AC.

$50°,＞$

14. (2024秋·潜山市期末)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边.
（1）化简$|a - b + c| + |a - b - c|$；
（2）若$a$和$b$满足方程组$\begin{cases}a + 2b = 12, \\2a - b = -1,\end{cases}$且$c$为偶数，求这个三角形的周长.

(1) $\because a,b,c$ 是 $△ ABC$ 的三边,
$\therefore a+c＞b,b+c＞a,\therefore a-b+c＞0,a-b-c＜0,$
$\therefore |a-b+c|+|a-b-c|=(a-b+c)-(a-b-c)=a-b+c-a+b+c=2c$；
(2) 解方程组$\begin{cases}a + 2b = 12,\\2a - b = -1,\end{cases}$得$\begin{cases}a=2,\\b=5,\end{cases}$根据三角形的三边关系得$5-2＜c＜2+5$,即$3＜c＜7$,$\because c$为偶数,$\therefore c=4$或6,当$c=4$时,三角形的三边为2,5,4,能够成三角形;当$c=6$时,三角形的三边为2,5,6,能够成三角形,$\therefore$ 这个三角形的周长为$2+5+4=11$或$2+5+6=13$.

15. (2025春·青浦区阶段考)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”,有两条边的长分别为2和3,则第三条边的长为.

设三角形ABC中,第三条边AB=x,AC=2,BC=3,此时$△ ABC$是“倍长三角形”,①当$AB=2AC$,即$x=4$,$\therefore △ ABC$三边分别是2,3,4,符合题意,②当$AB=2BC$,即$x=6$,$\therefore △ ABC$三边分别是2,3,6,$\because 2+3＜6$,$\therefore$ 此时不能构成三角形,这种情况不存在;③当$AC=2AB=2$,即$x=1$,$\therefore 1+2=3$,$\therefore$ 此时不能构成三角形,这种情况不存在;④当$BC=2AB=3$,即$x=1.5$,$\therefore △ ABC$三边分别是1.5,2,3,符合题意,综上所述,第三条边的长为是4或1.5,故答案为:1.5或4.

16. 已知点 D 为$△ ABC$内部(包括边界但非 A,B,C)上的一点.
(1) 若点 D 在边 AC 上,如图 1,求证:$AB+AC＞BD+DC$;
(2) 若点 D 在$△ ABC$内,如图 2,求证:$AB+AC＞BD+DC$;
(3) 若点 D 在$△ ABC$内,连接 DA,DB,DC,如图 3,求证:$\frac{1}{2}AB+BC+AC＜DA+DB+DC＜AB+BC+AC$.

(1) 证明：
在$△ ABD$中，由三角形两边之和大于第三边，得
$AB + AD ＞ BD$，
不等式两边同时加上$DC$，得
$AB + AD + DC ＞ BD + DC$，
$\because AD + DC = AC$，
$\therefore AB + AC ＞ BD + DC$。
---
(2) 证明：
延长$BD$交$AC$于点$E$。
在$△ ABE$中，$AB + AE ＞ BE = BD + DE$，
在$△ CDE$中，$DE + EC ＞ DC$，
将两式左右两边分别相加，得
$AB + AE + DE + EC ＞ BD + DE + DC$，
两边同时减去$DE$，得
$AB + AE + EC ＞ BD + DC$，
$\because AE + EC = AC$，
$\therefore AB + AC ＞ BD + DC$。
---
(3) 证明：
先证左侧不等式：
在$△ ABD$中，$DA + DB ＞ AB$，
在$△ BCD$中，$DB + DC ＞ BC$，
在$△ ACD$中，$DA + DC ＞ AC$，
将三式左右两边分别相加，得
$2(DA + DB + DC) ＞ AB + BC + AC$，
两边同时除以2，得
$DA + DB + DC ＞ \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$。
再证右侧不等式：
由(2)的结论可得：
$AB + AC ＞ DB + DC$，
$AB + BC ＞ DA + DC$，
$BC + AC ＞ DA + DB$，
将三式左右两边分别相加，得
$2(AB + BC + AC) ＞ 2(DA + DB + DC)$，
两边同时除以2，得
$DA + DB + DC ＜ AB + BC + AC$。
综上可得：
$\frac{1}{2}(AB + BC + AC) ＜ DA + DB + DC ＜ AB + BC + AC$。