登录
7.如图，已知AB//CD，∠1=50°，则∠2的度数是
130°
。答案
7.130°
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB//CD入手，首先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等。我们先找到和∠1相等的同位角，该同位角和∠2是邻补角，二者和为180°，结合已知∠1的度数，就可以计算出∠2的大小。
【解析】
设直线EF与AB交于点M，与CD交于点N。
∵AB//CD（已知）
∴∠MND=∠1=50°（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠MND和∠2互为邻补角
∴∠2+∠MND=180°（邻补角的和为180°）
∴∠2=180°-50°=130°
【答案】
130°
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查平行线性质的应用，解题的关键是准确识别图中同位角、邻补角的位置关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件AB//CD入手，首先回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等。我们先找到和∠1相等的同位角，该同位角和∠2是邻补角，二者和为180°，结合已知∠1的度数，就可以计算出∠2的大小。
【解析】
设直线EF与AB交于点M，与CD交于点N。
∵AB//CD（已知）
∴∠MND=∠1=50°（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠MND和∠2互为邻补角
∴∠2+∠MND=180°（邻补角的和为180°）
∴∠2=180°-50°=130°
【答案】
130°
【知识点】
平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查平行线性质的应用，解题的关键是准确识别图中同位角、邻补角的位置关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
8.如图,在四边形ABCD中,E是AB的延长线上一点,请添加一个条件,使AB//CD,那么可以添加的条件是
∠A+∠D=180°(答案不唯一)
（写出一个即可）.答案
8.∠A+∠D=180°(答案不唯一)
解析
【分析】
要判定AB//CD，可结合平行线的判定定理思考：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行。我们只需找到截AB、CD的第三条直线，对应构造符合要求的角的关系即可：
1. 若选AD为截线，AB和CD被AD所截的同旁内角是∠A和∠D，只要两角互补，即可推出AB//CD；
2. 若选BC为截线，AB和CD被BC所截的内错角是∠C和∠CBE，只要两角相等即可推出AB//CD，也可添加同旁内角∠C和∠ABC互补的条件。任选一个符合要求的条件即可。
【解析】
根据平行线的判定定理，要使AB//CD，可选如下条件之一：
以AD为截线，依据“同旁内角互补，两直线平行”，可添加$∠ A + ∠ D = 180°$；
以BC为截线，可添加$∠ C = ∠ CBE$（内错角相等，两直线平行），或$∠ C + ∠ ABC = 180°$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
$∠ A+∠ D=180°$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定，同旁内角，内错角
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查平行线判定定理的灵活应用，解题核心是找准截待平行直线的截线，对应构造符合判定要求的角的关系即可，注意不要混淆平行线的判定和性质。
【难度系数】
0.8
要判定AB//CD，可结合平行线的判定定理思考：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行。我们只需找到截AB、CD的第三条直线，对应构造符合要求的角的关系即可：
1. 若选AD为截线，AB和CD被AD所截的同旁内角是∠A和∠D，只要两角互补，即可推出AB//CD；
2. 若选BC为截线，AB和CD被BC所截的内错角是∠C和∠CBE，只要两角相等即可推出AB//CD，也可添加同旁内角∠C和∠ABC互补的条件。任选一个符合要求的条件即可。
【解析】
根据平行线的判定定理，要使AB//CD，可选如下条件之一：
以AD为截线，依据“同旁内角互补，两直线平行”，可添加$∠ A + ∠ D = 180°$；
以BC为截线，可添加$∠ C = ∠ CBE$（内错角相等，两直线平行），或$∠ C + ∠ ABC = 180°$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
$∠ A+∠ D=180°$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定，同旁内角，内错角
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查平行线判定定理的灵活应用，解题核心是找准截待平行直线的截线，对应构造符合判定要求的角的关系即可，注意不要混淆平行线的判定和性质。
【难度系数】
0.8
9. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，若第一次拐的∠A＝120°，第二次拐的∠B＝150°，第三次拐的∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是
150°
.答案
9.150°
解析
【分析】
本题是平行线性质的实际应用问题，遇到两条平行线间存在折线的情况，通常过折线的拐点作已知平行线的辅助线，将折线角拆分为和平行线相关的角，再利用平行线的性质建立已知角和未知角的关系求解。首先过点B作与第一次拐弯前道路平行的直线，根据平行公理的推论，这条辅助线也和第三次拐弯后的道路平行，再结合内错角相等、同旁内角互补的性质即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：过点B作BD//AE（AE为第一次拐弯前的道路）
∵ 第三次拐弯后的道路CF//AE（题目已知最终道路和第一次拐弯前道路平行）
∴ BD//CF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵ BD//AE
∴ ∠ABD=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠ABC=150°
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 150° - 120° = 30°
又
∵ BD//CF
∴ ∠DBC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠C = 180° - 30° = 150°
【答案】
150°
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论
【点评】
本题是平行线应用的经典常考题型，解题核心是掌握过拐点作平行线的辅助线构造方法，通过辅助线把分散的角联系起来，再结合平行线的性质就能快速求出未知角，很好地考察了学生对平行线性质的灵活运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
本题是平行线性质的实际应用问题，遇到两条平行线间存在折线的情况，通常过折线的拐点作已知平行线的辅助线，将折线角拆分为和平行线相关的角，再利用平行线的性质建立已知角和未知角的关系求解。首先过点B作与第一次拐弯前道路平行的直线，根据平行公理的推论，这条辅助线也和第三次拐弯后的道路平行，再结合内错角相等、同旁内角互补的性质即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：过点B作BD//AE（AE为第一次拐弯前的道路）
∵ 第三次拐弯后的道路CF//AE（题目已知最终道路和第一次拐弯前道路平行）
∴ BD//CF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵ BD//AE
∴ ∠ABD=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠ABC=150°
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD = 150° - 120° = 30°
又
∵ BD//CF
∴ ∠DBC + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠C = 180° - 30° = 150°
【答案】
150°
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论
【点评】
本题是平行线应用的经典常考题型，解题核心是掌握过拐点作平行线的辅助线构造方法，通过辅助线把分散的角联系起来，再结合平行线的性质就能快速求出未知角，很好地考察了学生对平行线性质的灵活运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,三角形ABC的边AB长为4 cm,将三角形ABC沿着$BB'$方向平移2 cm得到三角形$A'B'C'$,且$BB' ⊥ AB$.则阴影部分的面积是
8
$\mathrm{cm}^2$.答案
10.8
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移前后的图形全等，对应边平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离。观察图形可知，阴影部分面积可通过转化求解：因为平移后△ABC和△A'B'C'面积相等，所以阴影部分的面积等于矩形ABB'A'的面积，只需计算矩形的面积即可得到结果。
【解析】
解：由平移的性质可知，△ABC≌△A'B'C'，因此$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，且平移距离为2cm，故$AA'=BB'=2\mathrm{cm}$，$AA'// BB'$。
又因为$BB'⊥ AB$，所以四边形$ABB'A'$是矩形，矩形的长$AB=4\mathrm{cm}$，宽$AA'=2\mathrm{cm}$，则矩形面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABB'A'}=AB× AA'=4×2=8(\mathrm{cm}^2)$
阴影部分面积 = $S_{△ A'B'C'} + S_{\mathrm{矩形}ABB'A'} - S_{△ ABC}$，代入$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，可得阴影部分面积等于矩形$ABB'A'$的面积，即$8\mathrm{cm}^2$。
【答案】
8
【知识点】
平移的性质，矩形面积计算，全等图形的性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积的转化，将不规则的阴影部分面积转化为规则矩形的面积进行计算，有效简化了运算，解题的关键是熟练掌握平移前后图形全等、对应点连线平行且相等的特征。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的性质：平移前后的图形全等，对应边平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离。观察图形可知，阴影部分面积可通过转化求解：因为平移后△ABC和△A'B'C'面积相等，所以阴影部分的面积等于矩形ABB'A'的面积，只需计算矩形的面积即可得到结果。
【解析】
解：由平移的性质可知，△ABC≌△A'B'C'，因此$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，且平移距离为2cm，故$AA'=BB'=2\mathrm{cm}$，$AA'// BB'$。
又因为$BB'⊥ AB$，所以四边形$ABB'A'$是矩形，矩形的长$AB=4\mathrm{cm}$，宽$AA'=2\mathrm{cm}$，则矩形面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABB'A'}=AB× AA'=4×2=8(\mathrm{cm}^2)$
阴影部分面积 = $S_{△ A'B'C'} + S_{\mathrm{矩形}ABB'A'} - S_{△ ABC}$，代入$S_{△ ABC}=S_{△ A'B'C'}$，可得阴影部分面积等于矩形$ABB'A'$的面积，即$8\mathrm{cm}^2$。
【答案】
8
【知识点】
平移的性质，矩形面积计算，全等图形的性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积的转化，将不规则的阴影部分面积转化为规则矩形的面积进行计算，有效简化了运算，解题的关键是熟练掌握平移前后图形全等、对应点连线平行且相等的特征。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，$∠ A = 59°$，$∠ D = 121°$，$∠ 1 = 3∠ 2$，$∠ 2 = 24°$，$P$是$BC$上的一点.
(1)求$∠ DFE$的度数；
(2)若$∠ BFP = 48°$，请判断$CE$与$PF$是否平行.
11. 如图，$∠ A = 59°$，$∠ D = 121°$，$∠ 1 = 3∠ 2$，$∠ 2 = 24°$，$P$是$BC$上的一点.
(1)求$∠ DFE$的度数；
(2)若$∠ BFP = 48°$，请判断$CE$与$PF$是否平行.
答案
11.解:(1)因为∠A=59°,∠D=121°,
所以∠A+∠D=180°,所以AB//CD,
所以∠DFE=∠1.
因为∠1=3∠2,∠2=24°,
所以∠DFE=72°.
(2)CE//PF.
理由如下：
因为∠DFE=72°,所以∠BFC=72°.
因为∠BFP=48°,
所以∠PFC=72°-48°=24°.
因为∠2=24°,
所以∠PFC=∠2,所以CE//PF.
所以∠A+∠D=180°,所以AB//CD,
所以∠DFE=∠1.
因为∠1=3∠2,∠2=24°,
所以∠DFE=72°.
(2)CE//PF.
理由如下：
因为∠DFE=72°,所以∠BFC=72°.
因为∠BFP=48°,
所以∠PFC=72°-48°=24°.
因为∠2=24°,
所以∠PFC=∠2,所以CE//PF.
解析
【分析】
（1）求解∠DFE的度数时，首先观察已知的∠A和∠D的度数，计算二者和发现为180°，可根据同旁内角互补判定AB//CD；再利用平行线的性质得到∠DFE=∠1，结合∠1和∠2的数量关系以及∠2的度数，代入计算即可得到结果。
（2）判断CE与PF是否平行，只需验证两条直线被CF所截的内错角∠PFC和∠2是否相等：先利用对顶角相等得到∠BFC=∠DFE，再结合∠BFP的度数算出∠PFC，对比∠2的度数，若相等即可根据内错角相等判定两直线平行。
【解析】
(1) 已知$∠ A=59°$，$∠ D=121°$，
$\therefore ∠ A+∠ D=59°+121°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AB// CD$，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ DFE=∠ 1$，
$\because ∠ 1=3∠ 2$，$∠ 2=24°$，
$\therefore ∠ 1=3×24°=72°$，
$\therefore ∠ DFE=72°$。
(2) $CE// PF$，理由如下：
$\because ∠ DFE$和$∠ BFC$是对顶角，
$\therefore ∠ BFC=∠ DFE=72°$，
已知$∠ BFP=48°$，
$\therefore ∠ PFC=∠ BFC-∠ BFP=72°-48°=24°$，
又$\because ∠ 2=24°$，
$\therefore ∠ PFC=∠ 2$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$CE// PF$。
【答案】
(1) $∠ DFE=72°$；
(2) $CE// PF$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行线判定与性质的综合运用，解题时要理清角与直线的位置关系，每一步推导都要有对应的几何定理作为依据，逐步推导角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）求解∠DFE的度数时，首先观察已知的∠A和∠D的度数，计算二者和发现为180°，可根据同旁内角互补判定AB//CD；再利用平行线的性质得到∠DFE=∠1，结合∠1和∠2的数量关系以及∠2的度数，代入计算即可得到结果。
（2）判断CE与PF是否平行，只需验证两条直线被CF所截的内错角∠PFC和∠2是否相等：先利用对顶角相等得到∠BFC=∠DFE，再结合∠BFP的度数算出∠PFC，对比∠2的度数，若相等即可根据内错角相等判定两直线平行。
【解析】
(1) 已知$∠ A=59°$，$∠ D=121°$，
$\therefore ∠ A+∠ D=59°+121°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AB// CD$，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ DFE=∠ 1$，
$\because ∠ 1=3∠ 2$，$∠ 2=24°$，
$\therefore ∠ 1=3×24°=72°$，
$\therefore ∠ DFE=72°$。
(2) $CE// PF$，理由如下：
$\because ∠ DFE$和$∠ BFC$是对顶角，
$\therefore ∠ BFC=∠ DFE=72°$，
已知$∠ BFP=48°$，
$\therefore ∠ PFC=∠ BFC-∠ BFP=72°-48°=24°$，
又$\because ∠ 2=24°$，
$\therefore ∠ PFC=∠ 2$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$CE// PF$。
【答案】
(1) $∠ DFE=72°$；
(2) $CE// PF$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题是几何基础题，核心考查平行线判定与性质的综合运用，解题时要理清角与直线的位置关系，每一步推导都要有对应的几何定理作为依据，逐步推导角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.题目:“如图1,已知$∠ AOB$内有一点$P$,射线$PE// OA$,且与$OB$交于点$E$,过点$P$画射线$PH$平行于$OB$,$PH$与$OA$相交于点$H$.”嘉嘉用两个完全一样的三角尺进行画图,画图过程如图2所示.
(1)嘉嘉的画图依据是
(2)琪琪看了嘉嘉画出的图形后,对$∠ AOB=∠ HPE$进行了如下说理.请你补全琪琪的说理过程;
因为$PE// OA$(已知),
所以$∠ AOB=∠$
因为$PH// OB$(已知),
所以$∠ BEP=∠$
所以$∠ AOB=∠ HPE$(等量代换);
(3)小明看了(2)中琪琪的说理过程后,认为命题“若两个角的两边分别平行,则这两个角相等”是真命题,请你判断小明的说法是否正确,并说明理由.
(1)嘉嘉的画图依据是
内错角相等，两直线平行
;(2)琪琪看了嘉嘉画出的图形后,对$∠ AOB=∠ HPE$进行了如下说理.请你补全琪琪的说理过程;
因为$PE// OA$(已知),
所以$∠ AOB=∠$
PEB
(两直线平行,同位角相等
).因为$PH// OB$(已知),
所以$∠ BEP=∠$
HPE
(两直线平行,内错角相等
),所以$∠ AOB=∠ HPE$(等量代换);
(3)小明看了(2)中琪琪的说理过程后,认为命题“若两个角的两边分别平行,则这两个角相等”是真命题,请你判断小明的说法是否正确,并说明理由.
答案
12.解:(1)嘉嘉的画图依据是内错角相等，两直线平行.
(2)因为PE//OA(已知),
所以∠AOB=∠PEB(两直线平行,同位角相等).
因为PH//OB(已知),
所以∠BEP=∠HPE(两直线平行,内错角相等),
所以∠AOB=∠HPE(等量代换).
(3)两个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补,命题“若两个角的两边分别平行,则这两个角相等”是假命题，
因为PE//OB(已知),
所以∠OBE+∠PEB=180°(两直线平行,同旁内角互补).
因为EB//OA(已知),
所以∠AOB=∠OBE(两直线平行,内错角相等),
所以∠AOB+∠PEB=180°(等量代换).
解析
【分析】
(1) 用两个完全相同的三角尺画图，本质是构造出了一组相等的内错角，结合平行线的判定定理即可得到画图依据；
(2) 结合平行线的性质分析：首先PE平行于OA，找到与∠AOB相等的同位角；再根据PH平行于OB，找到与∠BEP相等的内错角，按要求补全说理过程即可；
(3) 判断命题真假需要考虑所有情况：当两个角的两边分别平行时，存在相等、互补两种情况，小明的命题忽略了互补的情况，因此是假命题，举反例说明即可。
【解析】
(1) 嘉嘉用两个完全一样的三角尺画图，构造出了相等的内错角，因此画图依据是内错角相等，两直线平行。
(2) 根据平行线的性质补全过程：
因为$PE// OA$(已知),
所以$∠ AOB=∠PEB$(两直线平行，同位角相等)。
因为$PH// OB$(已知),
所以$∠ BEP=∠HPE$(两直线平行，内错角相等),
所以$∠ AOB=∠ HPE$(等量代换)。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，因此命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题。
举例说明：
因为$PE// OB$(已知),
所以$∠OBE+∠PEB=180°$(两直线平行，同旁内角互补)。
因为$EB// OA$(已知),
所以$∠AOB=∠OBE$(两直线平行，内错角相等),
所以$∠AOB+∠PEB=180°$(等量代换)，此时两个角的两边分别平行，但两角互补并不相等。
【答案】
(1) 内错角相等，两直线平行
(2) $PEB$；两直线平行，同位角相等；$HPE$；两直线平行，内错角相等
(3) 小明的说法不正确，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题，
因为$PE// OB$(已知),
所以$∠OBE+∠PEB=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
因为$EB// OA$(已知),
所以$∠AOB=∠OBE$(两直线平行,内错角相等),
所以$∠AOB+∠PEB=180°$(等量代换).
【知识点】
平行线的判定与性质；命题的真假判断
【点评】
本题围绕平行线的画图、性质应用、命题判断展开，考查对平行线相关定理的理解和运用能力，需要注意两边分别平行的两个角的关系有相等和互补两种情况，思考问题要全面，避免以偏概全。
【难度系数】
0.7
(1) 用两个完全相同的三角尺画图，本质是构造出了一组相等的内错角，结合平行线的判定定理即可得到画图依据；
(2) 结合平行线的性质分析：首先PE平行于OA，找到与∠AOB相等的同位角；再根据PH平行于OB，找到与∠BEP相等的内错角，按要求补全说理过程即可；
(3) 判断命题真假需要考虑所有情况：当两个角的两边分别平行时，存在相等、互补两种情况，小明的命题忽略了互补的情况，因此是假命题，举反例说明即可。
【解析】
(1) 嘉嘉用两个完全一样的三角尺画图，构造出了相等的内错角，因此画图依据是内错角相等，两直线平行。
(2) 根据平行线的性质补全过程：
因为$PE// OA$(已知),
所以$∠ AOB=∠PEB$(两直线平行，同位角相等)。
因为$PH// OB$(已知),
所以$∠ BEP=∠HPE$(两直线平行，内错角相等),
所以$∠ AOB=∠ HPE$(等量代换)。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，因此命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题。
举例说明：
因为$PE// OB$(已知),
所以$∠OBE+∠PEB=180°$(两直线平行，同旁内角互补)。
因为$EB// OA$(已知),
所以$∠AOB=∠OBE$(两直线平行，内错角相等),
所以$∠AOB+∠PEB=180°$(等量代换)，此时两个角的两边分别平行，但两角互补并不相等。
【答案】
(1) 内错角相等，两直线平行
(2) $PEB$；两直线平行，同位角相等；$HPE$；两直线平行，内错角相等
(3) 小明的说法不正确，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题，
因为$PE// OB$(已知),
所以$∠OBE+∠PEB=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
因为$EB// OA$(已知),
所以$∠AOB=∠OBE$(两直线平行,内错角相等),
所以$∠AOB+∠PEB=180°$(等量代换).
【知识点】
平行线的判定与性质；命题的真假判断
【点评】
本题围绕平行线的画图、性质应用、命题判断展开，考查对平行线相关定理的理解和运用能力，需要注意两边分别平行的两个角的关系有相等和互补两种情况，思考问题要全面，避免以偏概全。
【难度系数】
0.7
