1.要使二次根式$\sqrt{x-3}$有意义，则$x$的取值范围是()

A.$x≠3$
B.$x＞3$
C.$x≤3$
D.$x≥3$

D

要使二次根式有意义，需满足被开方数为非负数，因此可得不等式$x-3≥0$，解该不等式得$x≥3$。

2. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{3^2 - 2^2} = 3 - 2$
C.$(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 1$
D.$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{6}$

D

逐个验证选项：
1. 选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，运算错误。
2. 选项B：$\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}≠3-2=1$，运算错误。
3. 选项C：根据完全平方公式，$(\sqrt{3}-1)^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}≠3-1$，运算错误。
4. 选项D：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，运算正确。

3. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，将纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

C

解：∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，∠C=90°，
由折叠性质得：BF=DF，
设DF=x，则BF=x，FC=BC - BF=8 - x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：
DF² = FC² + CD²，即x²=(8 - x)² + 4²，
展开整理得：16x=80，解得x=5，
即DF的长为5。

4. 甲、乙两地相距2100 m,小李和小赵均从甲地出发去乙地.小李步行先出发,6 min后小赵骑共享单车出发. 小李和小赵之间的距离s(单位:m)与小李出发的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示.当小赵到达乙地时,小李距离乙地()


A.780 m
B.800 m
C.1200 m
D.1260 m

A

1. 求小李的步行速度：由图可知，小李先出发6min，走了480m，因此小李速度$v_李=\frac{480}{6}=80\ \mathrm{m/min}$。
2. 求小赵的骑行速度：当$t=10\ \mathrm{min}$时，小赵追上小李，此时小李行走的总路程为$80×10=800\ \mathrm{m}$，小赵的骑行时间为$10-6=4\ \mathrm{min}$，因此小赵速度$v_赵=\frac{800}{4}=200\ \mathrm{m/min}$。
3. 计算小赵走完全程的总骑行时间：全程2100m，小赵所需时间为$\frac{2100}{200}=10.5\ \mathrm{min}$。
4. 小赵到达乙地时，小李的总行走时间为$6+10.5=16.5\ \mathrm{min}$，小李已走的路程为$80×16.5=1320\ \mathrm{m}$。
5. 小李距离乙地的距离为$2100-1320=780\ \mathrm{m}$。

5. 在平面直角坐标系中,已知平行四边形的三个顶点坐标分别是$A(1,2),B(3,0),C(5,4)$,则平行四边形第四个顶点$D$的坐标为.

解：设点D的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
① 当BC为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得BC的中点与AD的中点重合：
$\frac{3+5}{2}=\frac{1+x}{2},\quad \frac{0+4}{2}=\frac{2+y}{2}$
解得$x=7$，$y=2$，即$D(7,2)$；
② 当AC为平行四边形的对角线时，AC的中点与BD的中点重合：
$\frac{1+5}{2}=\frac{3+x}{2},\quad \frac{2+4}{2}=\frac{0+y}{2}$
解得$x=3$，$y=6$，即$D(3,6)$；
③ 当AB为平行四边形的对角线时，AB的中点与CD的中点重合：
$\frac{1+3}{2}=\frac{5+x}{2},\quad \frac{2+0}{2}=\frac{4+y}{2}$
解得$x=-1$，$y=-2$，即$D(-1,-2)$。
综上，点D的坐标为$\boldsymbol{(3,6)}$或$\boldsymbol{(7,2)}$或$\boldsymbol{(-1,-2)}$。

6. 已知三条线段的长分别为6,10,x,以这三条线段为边,恰好可以构成一个直角三角形,则x=.

解：分两种情况讨论：
① 当x为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
$x^2 = 6^2 + 10^2 = 136$
$\because x＞0$，$\therefore x=2\sqrt{34}$
② 当长度为10的线段为直角三角形的斜边时，由勾股定理得：
$x^2 + 6^2 = 10^2$
整理得$x^2 = 64$
$\because x＞0$，$\therefore x=8$
综上，$x=8$或$2\sqrt{34}$。

7. 如图，在四边形ABCD中，连接BD，$∠ ADB=∠ CBD=90°$，$∠ BDC=2∠ ABD$。已知E是BC边上的一点，连接DE，过点E作$EF⊥ CD$于点F，且$BE=EF$。若$BD=3$，$CD=5$，则AB的长为。

$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$

解：
∵ ∠ADB=∠CBD=90°，
∴ AD//BC，即AD//BE。
∵ BE⊥BD，EF⊥CD，BE=EF，
∴ DE平分∠BDC，即∠BDC=2∠BDE。
又∵ ∠BDC=2∠ABD，
∴ ∠ABD=∠BDE，
∴ AB//DE。
∴ 四边形ABED是平行四边形，
∴ AB=DE，AD=BE。
在Rt△BDC中，BD=3，CD=5，由勾股定理得：
BC=√(CD² - BD²)=√(5²-3²)=4。
设BE=x，则EF=x，EC=4-x。
由△DEC的面积两种表示方法可得：
$\frac{1}{2} · EC · BD = \frac{1}{2} · CD · EF$
代入数值：
$3(4-x)=5x$
解得$x=\frac{3}{2}$。
在Rt△BDE中，∠DBE=90°，BD=3，BE=$\frac{3}{2}$，
∴ $DE=\sqrt{BD^2 + BE^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴ $AB=DE=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
最终