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3.某校八年级有200名学生,为了向共青团某市委推荐本年级一名学生参加团代会,按如下程序进行了民主投票,推荐的程序是:首先由八年级全体学生对六名候选人进行投票,每名学生只能给一名候选人投票,选出票数多的前三名;然后再对这三名候选人(记为甲、乙、丙)进行笔试和面试,两个程序的结果统计如下:
请你根据以上信息解答下列问题:
(1)请分别计算甲、乙、丙的得票数;
(2)若规定每名候选人得一票记1分,将投票、笔试、面试三项得分按照$2:5:3$的比例计入每名候选人的总成绩,成绩最高的将被推荐,请通过计算说明甲、乙、丙中哪名学生将被推荐.
请你根据以上信息解答下列问题:
(1)请分别计算甲、乙、丙的得票数;
(2)若规定每名候选人得一票记1分,将投票、笔试、面试三项得分按照$2:5:3$的比例计入每名候选人的总成绩,成绩最高的将被推荐,请通过计算说明甲、乙、丙中哪名学生将被推荐.
答案
(1)甲的票数是$200×34\%=68$(票),乙的票数是$200×30\%=60$(票),丙的票数是$200×28\%=56$(票)
(2)甲的成绩:$\frac{68×2+92×5+85×3}{2+5+3}=85.1$(分),乙的成绩:$\frac{60×2+90×5+95×3}{2+5+3}=85.5$(分),丙的成绩:$\frac{56×2+95×5+80×3}{2+5+3}=82.7$(分),
∵乙的成绩最高,
∴应该推荐乙
(2)甲的成绩:$\frac{68×2+92×5+85×3}{2+5+3}=85.1$(分),乙的成绩:$\frac{60×2+90×5+95×3}{2+5+3}=85.5$(分),丙的成绩:$\frac{56×2+95×5+80×3}{2+5+3}=82.7$(分),
∵乙的成绩最高,
∴应该推荐乙
解析
【分析】
（1）第一问求解三人得票数，已知八年级总投票人数为200名，结合投票结果中甲、乙、丙三人的得票占比，根据“部分量=总量×对应占比”的关系，即可分别计算出三人的得票数。
（2）第二问需要计算三名候选人的总成绩，已知投票、笔试、面试三项得分的权重为$2:5:3$，属于加权平均数的应用问题，按照加权平均数的计算公式“加权平均成绩=（各项得分×对应权重之和）÷权重总和”，分别代入三人的各项得分计算出总成绩，再比较三人总成绩的大小，成绩最高的即为推荐人选。
【解析】
(1) 已知总投票人数为200名，甲、乙、丙的得票占比分别为34%、30%、28%：
甲的得票数：$200×34\% = 68$（票）
乙的得票数：$200×30\% = 60$（票）
丙的得票数：$200×28\% = 56$（票）
(2) 已知三项得分权重为$2:5:3$，按加权平均数公式分别计算三人总成绩：
甲的成绩：$\frac{68×2+92×5+85×3}{2+5+3}=85.1$（分）
乙的成绩：$\frac{60×2+90×5+95×3}{2+5+3}=85.5$（分）
丙的成绩：$\frac{56×2+95×5+80×3}{2+5+3}=82.7$（分）
比较得$85.5＞85.1＞82.7$，乙的成绩最高。
【答案】
(1) 甲的票数是$200×34\%=68$(票),乙的票数是$200×30\%=60$(票),丙的票数是$200×28\%=56$(票)
(2) 甲的成绩为85.1分，乙的成绩为85.5分，丙的成绩为82.7分，乙的成绩最高，应该推荐乙
【知识点】
扇形统计图计算、加权平均数、统计决策
【点评】
本题结合实际推荐选举的场景，考查统计相关的基础计算，既需要掌握由占比求对应数量的方法，又要熟练运用加权平均数的计算公式，解题时注意计算准确性即可顺利解答，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
（1）第一问求解三人得票数，已知八年级总投票人数为200名，结合投票结果中甲、乙、丙三人的得票占比，根据“部分量=总量×对应占比”的关系，即可分别计算出三人的得票数。
（2）第二问需要计算三名候选人的总成绩，已知投票、笔试、面试三项得分的权重为$2:5:3$，属于加权平均数的应用问题，按照加权平均数的计算公式“加权平均成绩=（各项得分×对应权重之和）÷权重总和”，分别代入三人的各项得分计算出总成绩，再比较三人总成绩的大小，成绩最高的即为推荐人选。
【解析】
(1) 已知总投票人数为200名，甲、乙、丙的得票占比分别为34%、30%、28%：
甲的得票数：$200×34\% = 68$（票）
乙的得票数：$200×30\% = 60$（票）
丙的得票数：$200×28\% = 56$（票）
(2) 已知三项得分权重为$2:5:3$，按加权平均数公式分别计算三人总成绩：
甲的成绩：$\frac{68×2+92×5+85×3}{2+5+3}=85.1$（分）
乙的成绩：$\frac{60×2+90×5+95×3}{2+5+3}=85.5$（分）
丙的成绩：$\frac{56×2+95×5+80×3}{2+5+3}=82.7$（分）
比较得$85.5＞85.1＞82.7$，乙的成绩最高。
【答案】
(1) 甲的票数是$200×34\%=68$(票),乙的票数是$200×30\%=60$(票),丙的票数是$200×28\%=56$(票)
(2) 甲的成绩为85.1分，乙的成绩为85.5分，丙的成绩为82.7分，乙的成绩最高，应该推荐乙
【知识点】
扇形统计图计算、加权平均数、统计决策
【点评】
本题结合实际推荐选举的场景，考查统计相关的基础计算，既需要掌握由占比求对应数量的方法，又要熟练运用加权平均数的计算公式，解题时注意计算准确性即可顺利解答，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
4.车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表：
(1)求这一天20名工人生产零件的平均个数；
(2)为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施.如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？
(1)求这一天20名工人生产零件的平均个数；
(2)为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施.如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？
答案
(1)$\overline{x}=\frac{1}{20}×(9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1)=13$(个)
(2)中位数为$\frac{12+12}{2}=12$,众数为11,当定额为13个时,有8人达标,6人获奖,不利于提高工人的积极性;当定额为12个时,有12人达标,8人获奖,不利于提高大多数工人的积极性;当定额为11个时,有18人达标,12人获奖,有利于提高大多数工人的积极性.
∴当定额为11个时,有利于提高大多数工人的积极性
(2)中位数为$\frac{12+12}{2}=12$,众数为11,当定额为13个时,有8人达标,6人获奖,不利于提高工人的积极性;当定额为12个时,有12人达标,8人获奖,不利于提高大多数工人的积极性;当定额为11个时,有18人达标,12人获奖,有利于提高大多数工人的积极性.
∴当定额为11个时,有利于提高大多数工人的积极性
解析
【分析】
(1) 求平均个数可使用加权平均数公式，将每个生产零件数乘以对应的工人人数求和，再除以总人数20就能得到结果。
(2) 要确定合适的定额，首先需计算出这组数据的中位数和众数，再分别对比定额为平均数、中位数、众数时的达标人数、获奖人数，选择能让大多数工人受益的定额即可。
【解析】
(1) 根据加权平均数计算公式：
$\overline{x}=\frac{1}{20}×(9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1)$
$=\frac{1}{20}×260=13$（个）
(2) 计算中位数：20个数据按从小到大排列，中位数是第10、11个数据的平均数。累计人数可知第10、11个数据都是12，因此中位数为$\frac{12+12}{2}=12$个；
众数是出现次数最多的数，生产11个零件的工人有6人，人数最多，因此众数为11个。
分别分析不同定额的情况：
① 定额为13个时，仅有8人达标，6人获奖，多数工人无法达标，不利于提高积极性；
② 定额为12个时，有12人达标，8人获奖，仍有近半数工人无法达标，不利于提高大多数工人的积极性；
③ 定额为11个时，有18人达标，12人获奖，大多数工人都能达标获奖，有利于提高大多数工人的积极性。
【答案】
(1) 这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；
(2) 定额为11个时最合理，有利于提高大多数工人的积极性。
【知识点】
加权平均数，中位数，众数
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的计算与应用，解题时需先准确计算各统计量，再结合实际需求分析不同统计量的适用场景，从而做出合理决策。
【难度系数】
0.7
(1) 求平均个数可使用加权平均数公式，将每个生产零件数乘以对应的工人人数求和，再除以总人数20就能得到结果。
(2) 要确定合适的定额，首先需计算出这组数据的中位数和众数，再分别对比定额为平均数、中位数、众数时的达标人数、获奖人数，选择能让大多数工人受益的定额即可。
【解析】
(1) 根据加权平均数计算公式：
$\overline{x}=\frac{1}{20}×(9×1+10×1+11×6+12×4+13×2+15×2+16×2+19×1+20×1)$
$=\frac{1}{20}×260=13$（个）
(2) 计算中位数：20个数据按从小到大排列，中位数是第10、11个数据的平均数。累计人数可知第10、11个数据都是12，因此中位数为$\frac{12+12}{2}=12$个；
众数是出现次数最多的数，生产11个零件的工人有6人，人数最多，因此众数为11个。
分别分析不同定额的情况：
① 定额为13个时，仅有8人达标，6人获奖，多数工人无法达标，不利于提高积极性；
② 定额为12个时，有12人达标，8人获奖，仍有近半数工人无法达标，不利于提高大多数工人的积极性；
③ 定额为11个时，有18人达标，12人获奖，大多数工人都能达标获奖，有利于提高大多数工人的积极性。
【答案】
(1) 这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；
(2) 定额为11个时最合理，有利于提高大多数工人的积极性。
【知识点】
加权平均数，中位数，众数
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的计算与应用，解题时需先准确计算各统计量，再结合实际需求分析不同统计量的适用场景，从而做出合理决策。
【难度系数】
0.7
