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5.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图1和图2,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)图1中a的值为
(2)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请判断初赛成绩为1.65 m的运动员能否进入复赛,并说明原因.
(1)图1中a的值为
25
;(2)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请判断初赛成绩为1.65 m的运动员能否进入复赛,并说明原因.
答案
(1)25
(2)平均数为1.61 m;众数为1.65 m;中位数为1.60 m
(3)能.
∵共有20个人,中位数是第10,11个数的平均数,
∴根据中位数可以判断出能否进入前9名.
∵1.65 m＞1.60 m,
∴能进入复赛
(2)平均数为1.61 m;众数为1.65 m;中位数为1.60 m
(3)能.
∵共有20个人,中位数是第10,11个数的平均数,
∴根据中位数可以判断出能否进入前9名.
∵1.65 m＞1.60 m,
∴能进入复赛
解析
【分析】
(1) 求a的值可利用扇形统计图中各部分百分比之和为100%，减去已知的其他百分比即可得到a%的值，进而求出a。
(2) 计算平均数、众数、中位数前，先结合两幅统计图求出总人数：由1.50m的人数和对应百分比可算出总人数，再结合条形图得到各成绩的人数；平均数用所有成绩的总和除以总人数计算；众数是出现次数最多的成绩；总人数为偶数，中位数是将数据从小到大排列后中间两个数的平均数。
(3) 判断1.65m的运动员能否进复赛，可结合中位数的意义分析，比较1.65m和中位数的大小，即可判断排名是否在前9名。
【解析】
(1) 扇形统计图所有百分比之和为1，因此：
$a\% = 1 - 10\% - 20\% - 30\% - 15\% = 25\%$，故$a=25$。
(2) 先计算参赛总人数：1.50m的有2人，占比10%，总人数为$2÷10\%=20$（人）。
各成绩对应的人数分别为：1.50m有2人，1.55m有4人，1.60m有5人，1.65m有6人，1.70m有3人。
① 平均数：$\overline{x}=\frac{1.50×2 + 1.55×4 + 1.60×5 + 1.65×6 + 1.70×3}{20}=\frac{3 + 6.2 + 8 + 9.9 + 5.1}{20}=\frac{32.2}{20}=1.61$（m）。
② 众数：1.65m出现的次数最多，共6次，因此众数为1.65m。
③ 中位数：将20个成绩从小到大排列，第10个和第11个成绩均为1.60m，因此中位数为$\frac{1.60 + 1.60}{2}=1.60$（m）。
(3) 能进入复赛，理由如下：
共有20名运动员，中位数是第10、11名成绩的平均数为1.60m，1.65m＞1.60m，说明该运动员的排名在前9名以内，因此能进入复赛。
【答案】
(1) $\boxed{25}$
(2) 平均数为$\boxed{1.61\ \mathrm{m}}$；众数为$\boxed{1.65\ \mathrm{m}}$；中位数为$\boxed{1.60\ \mathrm{m}}$
(3) $\boxed{能}$
【知识点】
统计图的应用、统计量计算、统计决策
【点评】
本题考查统计知识的综合应用，解题关键是结合两种统计图准确提取有效数据，熟练掌握平均数、众数、中位数的计算方法，能灵活运用统计量的意义解决实际决策问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值可利用扇形统计图中各部分百分比之和为100%，减去已知的其他百分比即可得到a%的值，进而求出a。
(2) 计算平均数、众数、中位数前，先结合两幅统计图求出总人数：由1.50m的人数和对应百分比可算出总人数，再结合条形图得到各成绩的人数；平均数用所有成绩的总和除以总人数计算；众数是出现次数最多的成绩；总人数为偶数，中位数是将数据从小到大排列后中间两个数的平均数。
(3) 判断1.65m的运动员能否进复赛，可结合中位数的意义分析，比较1.65m和中位数的大小，即可判断排名是否在前9名。
【解析】
(1) 扇形统计图所有百分比之和为1，因此：
$a\% = 1 - 10\% - 20\% - 30\% - 15\% = 25\%$，故$a=25$。
(2) 先计算参赛总人数：1.50m的有2人，占比10%，总人数为$2÷10\%=20$（人）。
各成绩对应的人数分别为：1.50m有2人，1.55m有4人，1.60m有5人，1.65m有6人，1.70m有3人。
① 平均数：$\overline{x}=\frac{1.50×2 + 1.55×4 + 1.60×5 + 1.65×6 + 1.70×3}{20}=\frac{3 + 6.2 + 8 + 9.9 + 5.1}{20}=\frac{32.2}{20}=1.61$（m）。
② 众数：1.65m出现的次数最多，共6次，因此众数为1.65m。
③ 中位数：将20个成绩从小到大排列，第10个和第11个成绩均为1.60m，因此中位数为$\frac{1.60 + 1.60}{2}=1.60$（m）。
(3) 能进入复赛，理由如下：
共有20名运动员，中位数是第10、11名成绩的平均数为1.60m，1.65m＞1.60m，说明该运动员的排名在前9名以内，因此能进入复赛。
【答案】
(1) $\boxed{25}$
(2) 平均数为$\boxed{1.61\ \mathrm{m}}$；众数为$\boxed{1.65\ \mathrm{m}}$；中位数为$\boxed{1.60\ \mathrm{m}}$
(3) $\boxed{能}$
【知识点】
统计图的应用、统计量计算、统计决策
【点评】
本题考查统计知识的综合应用，解题关键是结合两种统计图准确提取有效数据，熟练掌握平均数、众数、中位数的计算方法，能灵活运用统计量的意义解决实际决策问题。
【难度系数】
0.7
6.某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩(单位:环)如下表：
| | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 | 第八次 |
|-------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| 甲 | 10 | 8 | 9 |
| 10 | 9 | 10 | 8 |
| 乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 | 8 | 10 |
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是
(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；
(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由.
| | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | 第七次 | 第八次 |
|-------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| 甲 | 10 | 8 | 9 |
| 10 | 9 | 10 | 8 || 乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 | 8 | 10 |
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是
9
环，乙的平均成绩是9
环；(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；
(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由.
答案
(1)9，9
(2)甲的方差为0.75，乙的方差为1.25
(3)甲、乙平均成绩相同，又
∵0.75＜1.25，
∴甲的方差小，甲的成绩比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适
(2)甲的方差为0.75，乙的方差为1.25
(3)甲、乙平均成绩相同，又
∵0.75＜1.25，
∴甲的方差小，甲的成绩比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适
解析
【分析】
解决本题分三步思考：①第(1)问计算平均成绩，根据平均数的定义，平均成绩等于8次测试的总成绩除以测试次数8，分别求和甲、乙的总成绩再计算即可。②第(2)问计算方差，回忆方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，将第一问得到的平均成绩代入，分别计算甲、乙成绩与平均数的差的平方的平均值即可。③第(3)问做参赛决策时，先比较平均成绩，若平均成绩相同，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，优先选择方差小的选手参赛。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{10+8+9+8+10+9+10+8}{8}=\frac{72}{8}=9$（环）
计算乙的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{10+7+10+10+9+8+8+10}{8}=\frac{72}{8}=9$（环）
(2) 根据方差公式计算：
甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{8}[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2+(8-9)^2]$
$=\frac{1}{8}×(1+1+0+1+1+0+1+1)=\frac{6}{8}=0.75$
乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{8}[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2]$
$=\frac{1}{8}×(1+4+1+1+0+1+1+1)=\frac{10}{8}=1.25$
(3) 决策分析：甲、乙两人平均成绩相同，说明两人整体水平相当；由于$0.75＜1.25$，甲的方差更小，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此选择甲参赛更合适。
【答案】
(1)9，9
(2)甲的方差为0.75，乙的方差为1.25
(3)甲、乙平均成绩相同，又
∵0.75＜1.25，
∴甲的方差小，甲的成绩比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景，考查统计中平均数和方差的实际应用，需要熟练掌握平均数、方差的计算公式，理解方差反映数据波动程度的特性，是统计模块的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
解决本题分三步思考：①第(1)问计算平均成绩，根据平均数的定义，平均成绩等于8次测试的总成绩除以测试次数8，分别求和甲、乙的总成绩再计算即可。②第(2)问计算方差，回忆方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，将第一问得到的平均成绩代入，分别计算甲、乙成绩与平均数的差的平方的平均值即可。③第(3)问做参赛决策时，先比较平均成绩，若平均成绩相同，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，优先选择方差小的选手参赛。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{10+8+9+8+10+9+10+8}{8}=\frac{72}{8}=9$（环）
计算乙的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{10+7+10+10+9+8+8+10}{8}=\frac{72}{8}=9$（环）
(2) 根据方差公式计算：
甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{8}[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2+(8-9)^2]$
$=\frac{1}{8}×(1+1+0+1+1+0+1+1)=\frac{6}{8}=0.75$
乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{8}[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2]$
$=\frac{1}{8}×(1+4+1+1+0+1+1+1)=\frac{10}{8}=1.25$
(3) 决策分析：甲、乙两人平均成绩相同，说明两人整体水平相当；由于$0.75＜1.25$，甲的方差更小，说明甲的成绩波动更小，发挥更稳定，因此选择甲参赛更合适。
【答案】
(1)9，9
(2)甲的方差为0.75，乙的方差为1.25
(3)甲、乙平均成绩相同，又
∵0.75＜1.25，
∴甲的方差小，甲的成绩比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景，考查统计中平均数和方差的实际应用，需要熟练掌握平均数、方差的计算公式，理解方差反映数据波动程度的特性，是统计模块的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
