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8.「2025山东青岛中考，★☆」如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ ADC=90°$，$DC=BC$，直线EA与$\odot O$相切于点A.若$∠ BCD=128°$，则$∠ DAE$的度数为（
A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
C
）A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
答案
8.C 如图,连接 AC,
$\because ∠ADC=90°,\therefore AC$ 是圆的直径,
$\because$ 直线 EA 与 $\odot O$ 相切于点 A,
$\therefore EA⊥ AC,\therefore ∠CAE=90°,$
$\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠BAD+∠BCD=180°,$
$\because ∠BCD=128°,\therefore ∠BAD=180°-128°=52°,$
$\because DC=BC,\therefore \overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠CAD=∠CAB=\frac{1}{2}∠BAD=26°,$
$\therefore ∠DAE=90°-∠CAD=64°$.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，∠ADC=90°是圆周角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可连接辅助线AC得到直径；再结合切线的性质得EA与AC垂直，得到∠CAE=90°。接下来利用圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，再根据等弦对等弧、同弧所对的圆周角相等，推出AC平分∠BAD，求出∠CAD的度数，最后用∠CAE减去∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
如图，连接AC，
$\because ∠ADC=90°,\therefore AC$ 是$\odot O$的直径,
$\because$ 直线 EA 与 $\odot O$ 相切于点 A,
$\therefore EA⊥ AC,\therefore ∠CAE=90°,$
$\because$ 四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠BAD+∠BCD=180°,$
$\because ∠BCD=128°,\therefore ∠BAD=180°-128°=52°,$
$\because DC=BC,\therefore \overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠CAD=∠CAB=\frac{1}{2}∠BAD=26°,$
$\therefore ∠DAE=90°-∠CAD=64°$.
【答案】C
【知识点】切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】本题综合考查圆的相关基础性质，解题的关键是正确添加辅助线AC，将已知条件和待求角建立关联，结合各类性质逐步推导角度即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，∠ADC=90°是圆周角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可连接辅助线AC得到直径；再结合切线的性质得EA与AC垂直，得到∠CAE=90°。接下来利用圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，再根据等弦对等弧、同弧所对的圆周角相等，推出AC平分∠BAD，求出∠CAD的度数，最后用∠CAE减去∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
如图，连接AC，
$\because ∠ADC=90°,\therefore AC$ 是$\odot O$的直径,
$\because$ 直线 EA 与 $\odot O$ 相切于点 A,
$\therefore EA⊥ AC,\therefore ∠CAE=90°,$
$\because$ 四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,
$\therefore ∠BAD+∠BCD=180°,$
$\because ∠BCD=128°,\therefore ∠BAD=180°-128°=52°,$
$\because DC=BC,\therefore \overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC},$
$\therefore ∠CAD=∠CAB=\frac{1}{2}∠BAD=26°,$
$\therefore ∠DAE=90°-∠CAD=64°$.
【答案】C
【知识点】切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】本题综合考查圆的相关基础性质，解题的关键是正确添加辅助线AC，将已知条件和待求角建立关联，结合各类性质逐步推导角度即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
9.「★☆」如图，AB是$\odot O$的直径，D是AB延长线上一点，且$AD=12$，DC与$\odot O$相切于点C，连接AC，且$AC=DC$，则BD的长为
4
。答案
9.答案 4
解析 如图,连接 OC,
$\because DC$ 与 $\odot O$ 相切于点 C,
$\therefore OC⊥ CD,\therefore ∠OCD=90°,$
$\because AC=DC,\therefore ∠A=∠D,$
$\because ∠BOC=2∠A,\therefore ∠BOC=2∠D,$
$\because ∠BOC+∠D=90°,$
$\therefore 2∠D+∠D=90°,\therefore ∠D=30°,\therefore OD=2OC,$
$\because OA=OC,$
$\therefore AD=OA+OD=OC+2OC=3OC=12,$
$\therefore OC=4,\therefore AB=2OC=8,$
$\therefore BD=AD-AB=12-8=4.$
解析
【分析】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题思路如下：①遇到圆的切线，优先做“连接切点与圆心”的辅助线，利用切线性质得到直角；②结合$AC=DC$的条件，利用等腰三角形等边对等角得到$∠ A=∠ D$；③利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，把$∠ BOC$转化为$2∠ A$，也就是$2∠ D$；④在$Rt△ OCD$中利用两锐角互余求出$∠ D$的度数，再利用直角三角形中$30°$角所对直角边是斜边一半的性质，得到$OD$和半径$OC$的数量关系；⑤结合$AD$的长度求出半径，最后用$AD$减去直径$AB$的长度即可得到$BD$的长。
【解析】
如图，连接OC，
$\because DC$与$\odot O$相切于点C，
$\therefore OC⊥ CD$，$\therefore ∠ OCD=90°$，
$\because AC=DC$，$\therefore ∠ A=∠ D$，
$\because ∠ BOC=2∠ A$，$\therefore ∠ BOC=2∠ D$，
$\because ∠ BOC+∠ D=90°$，
$\therefore 2∠ D+∠ D=90°$，$\therefore ∠ D=30°$，$\therefore OD=2OC$，
$\because OA=OC$，
$\therefore AD=OA+OD=OC+2OC=3OC=12$，
$\therefore OC=4$，$\therefore AB=2OC=8$，
$\therefore BD=AD-AB=12-8=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的切线性质的基础应用题型，解题的核心是正确作出连接切点与圆心的辅助线，结合三角形的相关性质进行角度和边长的推导计算，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题思路如下：①遇到圆的切线，优先做“连接切点与圆心”的辅助线，利用切线性质得到直角；②结合$AC=DC$的条件，利用等腰三角形等边对等角得到$∠ A=∠ D$；③利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，把$∠ BOC$转化为$2∠ A$，也就是$2∠ D$；④在$Rt△ OCD$中利用两锐角互余求出$∠ D$的度数，再利用直角三角形中$30°$角所对直角边是斜边一半的性质，得到$OD$和半径$OC$的数量关系；⑤结合$AD$的长度求出半径，最后用$AD$减去直径$AB$的长度即可得到$BD$的长。
【解析】
如图，连接OC，
$\because DC$与$\odot O$相切于点C，
$\therefore OC⊥ CD$，$\therefore ∠ OCD=90°$，
$\because AC=DC$，$\therefore ∠ A=∠ D$，
$\because ∠ BOC=2∠ A$，$\therefore ∠ BOC=2∠ D$，
$\because ∠ BOC+∠ D=90°$，
$\therefore 2∠ D+∠ D=90°$，$\therefore ∠ D=30°$，$\therefore OD=2OC$，
$\because OA=OC$，
$\therefore AD=OA+OD=OC+2OC=3OC=12$，
$\therefore OC=4$，$\therefore AB=2OC=8$，
$\therefore BD=AD-AB=12-8=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的切线性质的基础应用题型，解题的核心是正确作出连接切点与圆心的辅助线，结合三角形的相关性质进行角度和边长的推导计算，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
10.「2026 江苏宿迁宿豫期中，★☆」如图，$\odot P$与$y$轴相切于点$C(0,3)$，与$x$轴的交点$A,B$的横坐标分别为$1,9$.直线$y=kx-3$恰好平分$\odot P$的面积，那么$k$的值是
$\dfrac{6}{5}$
。答案
10.答案 $\dfrac{6}{5}$
解析 如图,过 P 点作 $PD⊥ AB$ 于点 D,连接 PC,PA,
$\because \odot P$ 与 y 轴相切于点 $C,\therefore PC⊥ y$ 轴,$\therefore ∠PCO=90°,\because PD⊥ AB,\therefore ∠PDO=∠PCO=∠COD=90°,$
$\therefore$ 四边形 PCOD 为矩形,$\therefore PD=OC=3,PC=OD,$
$\because$ 点 A,B 的横坐标分别为 1,9.$\therefore OA=1,OB=9,$
$\therefore AB=8,\because PD⊥ AB,\therefore AD=BD=4,\therefore PC=OD=OA+AD=5,\therefore P$ 点的坐标为 $(5,3),\because$ 直线 $y=kx-3$ 恰好平分 $\odot P$ 的面积,$\therefore$ 直线 $y=kx-3$ 经过圆心,把 $P(5,3)$ 代入 $y=kx-3$,得 $3=5k-3$,解得 $k=\frac{6}{5}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确：平分圆面积的直线一定经过圆心，因此解题核心是先求出圆心$P$的坐标，再将圆心坐标代入直线解析式求解$k$。求圆心坐标时，先根据圆与$y$轴相切于$C(0,3)$，结合切线性质可知圆心纵坐标和$C$相同，且$PC$为水平线段；再结合$A$、$B$是圆与$x$轴的交点，利用垂径定理可知圆心在$AB$的垂直平分线上，即可算出圆心横坐标，得到$P$点坐标后代入直线方程即可求出$k$。
【解析】
如图，过$P$点作$PD⊥ AB$于点$D$，连接$PC$、$PA$。
$\because \odot P$与$y$轴相切于点$C$，$\therefore PC⊥ y$轴，$\therefore ∠PCO=90°$，
$\because PD⊥ AB$，$\therefore ∠PDO=∠PCO=∠COD=90°$，
$\therefore$ 四边形$PCOD$为矩形，$\therefore PD=OC=3$，$PC=OD$，
$\because$ 点$A$、$B$的横坐标分别为$1$、$9$，$\therefore OA=1$，$OB=9$，
$\therefore AB=OB-OA=8$，
$\because PD⊥ AB$，由垂径定理得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=4$，
$\therefore OD=OA+AD=1+4=5$，即$PC=OD=5$，
$\therefore$ 圆心$P$的坐标为$(5,3)$。
$\because$ 直线$y=kx-3$恰好平分$\odot P$的面积，$\therefore$ 该直线经过圆心$P$，
将$P(5,3)$代入$y=kx-3$，得$3=5k-3$，
解得$k=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是圆与一次函数的综合基础题，解题关键是掌握“平分圆面积的直线必过圆心”的结论，结合切线性质、垂径定理求出圆心坐标后代入解析式即可求解，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确：平分圆面积的直线一定经过圆心，因此解题核心是先求出圆心$P$的坐标，再将圆心坐标代入直线解析式求解$k$。求圆心坐标时，先根据圆与$y$轴相切于$C(0,3)$，结合切线性质可知圆心纵坐标和$C$相同，且$PC$为水平线段；再结合$A$、$B$是圆与$x$轴的交点，利用垂径定理可知圆心在$AB$的垂直平分线上，即可算出圆心横坐标，得到$P$点坐标后代入直线方程即可求出$k$。
【解析】
如图，过$P$点作$PD⊥ AB$于点$D$，连接$PC$、$PA$。
$\because \odot P$与$y$轴相切于点$C$，$\therefore PC⊥ y$轴，$\therefore ∠PCO=90°$，
$\because PD⊥ AB$，$\therefore ∠PDO=∠PCO=∠COD=90°$，
$\therefore$ 四边形$PCOD$为矩形，$\therefore PD=OC=3$，$PC=OD$，
$\because$ 点$A$、$B$的横坐标分别为$1$、$9$，$\therefore OA=1$，$OB=9$，
$\therefore AB=OB-OA=8$，
$\because PD⊥ AB$，由垂径定理得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=4$，
$\therefore OD=OA+AD=1+4=5$，即$PC=OD=5$，
$\therefore$ 圆心$P$的坐标为$(5,3)$。
$\because$ 直线$y=kx-3$恰好平分$\odot P$的面积，$\therefore$ 该直线经过圆心$P$，
将$P(5,3)$代入$y=kx-3$，得$3=5k-3$，
解得$k=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是圆与一次函数的综合基础题，解题关键是掌握“平分圆面积的直线必过圆心”的结论，结合切线性质、垂径定理求出圆心坐标后代入解析式即可求解，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
11.「2025江苏淮安盱眙月考，★☆」如图，在直角坐标系中，A点的坐标为$(-4,5)$，$\odot A$的半径为3，P为x轴上一动点，PB切$\odot A$于点B，则PB的最小值是
4
。答案
11.答案 4
解析 如图,连接 AB,AP,
根据切线的性质,得 $AB⊥ PB,\therefore AB^2+PB^2=AP^2,$
$\because AB=3,\therefore$ 要使 PB 最短,只需 AP 最短,当 $AP⊥ x$ 轴时,AP 最短,此时 P 点的坐标是 $(-4,0),\because A$ 点的坐标为 $(-4,5),\therefore AP=5$,在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中,$AP=5,AB=3,\therefore PB=\sqrt{AP^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4,\therefore PB$ 的最小值是 4.
解析
【分析】
要计算PB的最小值，首先结合切线的性质分析：切线垂直于过切点的半径，因此连接AB、AP后，△ABP为直角三角形，且AB是⊙A的半径，长度固定为3。根据勾股定理可得$PB=\sqrt{AP^2-AB^2}$，因此要让PB最小，只需让AP的长度最小。AP是点A到x轴上点P的线段，根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当AP垂直x轴时，AP长度最短，算出此时AP的长度后代入勾股定理，即可求出PB的最小值。
【解析】
如图，连接AB、AP，
∵PB切$\odot A$于点B，根据切线的性质可得$AB⊥ PB$，
∴$△ ABP$为直角三角形，由勾股定理得：$AB^2+PB^2=AP^2$。
∵$\odot A$的半径为3，
∴$AB=3$为定值，因此要使PB最短，只需AP最短即可。
根据“点到直线的距离中，垂线段最短”，当$AP⊥ x$轴时，AP的长度最短。
已知A点坐标为$(-4,5)$，当$AP⊥ x$轴时，P点坐标为$(-4,0)$，此时$AP=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，$AP=5$，$AB=3$，代入得：
$PB=\sqrt{AP^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题综合考查了切线性质、几何最值和勾股定理的应用，解题核心是将求切线长PB的最小值转化为求点A到x轴的最短距离，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要计算PB的最小值，首先结合切线的性质分析：切线垂直于过切点的半径，因此连接AB、AP后，△ABP为直角三角形，且AB是⊙A的半径，长度固定为3。根据勾股定理可得$PB=\sqrt{AP^2-AB^2}$，因此要让PB最小，只需让AP的长度最小。AP是点A到x轴上点P的线段，根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当AP垂直x轴时，AP长度最短，算出此时AP的长度后代入勾股定理，即可求出PB的最小值。
【解析】
如图，连接AB、AP，
∵PB切$\odot A$于点B，根据切线的性质可得$AB⊥ PB$，
∴$△ ABP$为直角三角形，由勾股定理得：$AB^2+PB^2=AP^2$。
∵$\odot A$的半径为3，
∴$AB=3$为定值，因此要使PB最短，只需AP最短即可。
根据“点到直线的距离中，垂线段最短”，当$AP⊥ x$轴时，AP的长度最短。
已知A点坐标为$(-4,5)$，当$AP⊥ x$轴时，P点坐标为$(-4,0)$，此时$AP=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，$AP=5$，$AB=3$，代入得：
$PB=\sqrt{AP^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题综合考查了切线性质、几何最值和勾股定理的应用，解题核心是将求切线长PB的最小值转化为求点A到x轴的最短距离，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
12. 核心素养 推理能力 「2026江苏南京外国语学校月考」如图，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD=AD+BC.
(1)求证：CD与该半圆相切.
(2)当半径$r=\sqrt{2}$时，令$AD=a$，$BC=b$，$m=\dfrac{2}{2+a}+\dfrac{2}{2+b}$，$n=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$，比较$m$与$n$的大小，并说明理由.
(1)求证：CD与该半圆相切.
(2)当半径$r=\sqrt{2}$时，令$AD=a$，$BC=b$，$m=\dfrac{2}{2+a}+\dfrac{2}{2+b}$，$n=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$，比较$m$与$n$的大小，并说明理由.
答案
12.解析 (1)证明:如图,连接 CO 并延长,交 DA 的延长线于点 M,过点 O 作 $OE⊥ CD$ 于点 E.
$\because AD$ 与 BC 均为半圆的切线,$\therefore AD⊥ AB,BC⊥ AB.$
$\therefore AD// BC.\therefore ∠M=∠1.$
$\because OA,OB$ 均为半圆的半径,$\therefore OA=OB.$
在 $△ OAM$ 与 $△ OBC$ 中,$\begin{cases} ∠M=∠1, \\ ∠OAM=∠OBC=90°, \\ OA=OB, \end{cases}$
$\therefore △ OAM≌ △ OBC(\mathrm{AAS}),\therefore AM=BC.$
$\because CD=AD+BC,\therefore CD=AD+AM=DM,$
$\therefore ∠M=∠2.\therefore ∠1=∠2$,即 CO 平分 $∠BCD.$
又$\because OE⊥ CD,OB⊥ CB,\therefore OE=OB.$
$\therefore CD$ 与该半圆相切.
(2)$m=n$.理由如下:
如图,过点 C 作 $CN⊥ AD$ 于点 N,连接 OD,
$\because CN⊥ AD,\therefore ∠CNA=∠DAB=∠ABC=90°,$
$\therefore$ 四边形 ANCB 为矩形,
$\therefore AN=BC=b,CN=AB=2r,$
在 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中,由勾股定理得 $CD^2=DN^2+CN^2,$
$\because CD=DM=AD+BC=a+b,DN=|a-b|,CN=2r,$
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+(2r)^2,\therefore r^2=ab=2,$
$\therefore m=\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}=\frac{ab}{ab+a}+\frac{ab}{ab+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{a}{1+a}=n.$
解析
【分析】
(1) 要证明CD与半圆相切，根据切线判定思路，需证明圆心O到CD的距离等于半圆半径。已知AD、BC是半圆切线，可得AD、BC均垂直AB，即AD//BC，结合CD=AD+BC的线段和条件，可延长CO交DA延长线于点M，构造全等三角形将BC转化为AM，可得DM=CD，进而推出CO平分∠BCD，再利用角平分线性质得到O到CD的距离等于半径OB，即可证明相切。
(2) 要比较m、n的大小，需先找到a、b的数量关系。通过作CN⊥AD构造直角三角形，结合勾股定理可推导得出ab=r²，将ab=2代入m的表达式化简，即可判断m与n的大小关系。
【解析】
(1) 证明:如图,连接 CO 并延长,交 DA 的延长线于点 M,过点 O 作 $OE⊥ CD$ 于点 E.
$\because AD$ 与 BC 均为半圆的切线,$\therefore AD⊥ AB,BC⊥ AB.$
$\therefore AD// BC.\therefore ∠M=∠1.$
$\because OA,OB$ 均为半圆的半径,$\therefore OA=OB.$
在 $△ OAM$ 与 $△ OBC$ 中,
$\begin{cases} ∠M=∠1, \\ ∠OAM=∠OBC=90°, \\ OA=OB, \end{cases}$
$\therefore △ OAM≌ △ OBC(\mathrm{AAS}),\therefore AM=BC.$
$\because CD=AD+BC,\therefore CD=AD+AM=DM,$
$\therefore ∠M=∠2.\therefore ∠1=∠2$,即 CO 平分 $∠BCD.$
又$\because OE⊥ CD,OB⊥ CB,\therefore OE=OB.$
$\therefore CD$ 与该半圆相切.
(2)$m=n$.理由如下:
如图,过点 C 作 $CN⊥ AD$ 于点 N,连接 OD,
$\because CN⊥ AD,\therefore ∠CNA=∠DAB=∠ABC=90°,$
$\therefore$ 四边形 ANCB 为矩形,
$\therefore AN=BC=b,CN=AB=2r,$
在 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中,由勾股定理得 $CD^2=DN^2+CN^2,$
$\because CD=AD+BC=a+b,DN=|a-b|,CN=2r,$
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+(2r)^2$,化简得$r^2=ab$,
$\because r=\sqrt{2}$,$\therefore ab=(\sqrt{2})^2=2$,
$\therefore m=\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}=\frac{ab}{ab+a}+\frac{ab}{ab+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{a}{1+a}=n$.
【答案】
(1) CD与该半圆相切，证明成立；
(2) $\boldsymbol{m=n}$
【知识点】
切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为几何与代数综合题，需要通过构造辅助线转化线段和的已知条件，第一问侧重考查切线判定的逻辑推导能力，第二问需要结合几何关系得到参数的数量关系，再通过分式化简得出结论，对推理能力和运算能力均有一定考查价值。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明CD与半圆相切，根据切线判定思路，需证明圆心O到CD的距离等于半圆半径。已知AD、BC是半圆切线，可得AD、BC均垂直AB，即AD//BC，结合CD=AD+BC的线段和条件，可延长CO交DA延长线于点M，构造全等三角形将BC转化为AM，可得DM=CD，进而推出CO平分∠BCD，再利用角平分线性质得到O到CD的距离等于半径OB，即可证明相切。
(2) 要比较m、n的大小，需先找到a、b的数量关系。通过作CN⊥AD构造直角三角形，结合勾股定理可推导得出ab=r²，将ab=2代入m的表达式化简，即可判断m与n的大小关系。
【解析】
(1) 证明:如图,连接 CO 并延长,交 DA 的延长线于点 M,过点 O 作 $OE⊥ CD$ 于点 E.
$\because AD$ 与 BC 均为半圆的切线,$\therefore AD⊥ AB,BC⊥ AB.$
$\therefore AD// BC.\therefore ∠M=∠1.$
$\because OA,OB$ 均为半圆的半径,$\therefore OA=OB.$
在 $△ OAM$ 与 $△ OBC$ 中,
$\begin{cases} ∠M=∠1, \\ ∠OAM=∠OBC=90°, \\ OA=OB, \end{cases}$
$\therefore △ OAM≌ △ OBC(\mathrm{AAS}),\therefore AM=BC.$
$\because CD=AD+BC,\therefore CD=AD+AM=DM,$
$\therefore ∠M=∠2.\therefore ∠1=∠2$,即 CO 平分 $∠BCD.$
又$\because OE⊥ CD,OB⊥ CB,\therefore OE=OB.$
$\therefore CD$ 与该半圆相切.
(2)$m=n$.理由如下:
如图,过点 C 作 $CN⊥ AD$ 于点 N,连接 OD,
$\because CN⊥ AD,\therefore ∠CNA=∠DAB=∠ABC=90°,$
$\therefore$ 四边形 ANCB 为矩形,
$\therefore AN=BC=b,CN=AB=2r,$
在 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中,由勾股定理得 $CD^2=DN^2+CN^2,$
$\because CD=AD+BC=a+b,DN=|a-b|,CN=2r,$
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+(2r)^2$,化简得$r^2=ab$,
$\because r=\sqrt{2}$,$\therefore ab=(\sqrt{2})^2=2$,
$\therefore m=\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}=\frac{ab}{ab+a}+\frac{ab}{ab+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{a}{1+a}=n$.
【答案】
(1) CD与该半圆相切，证明成立；
(2) $\boldsymbol{m=n}$
【知识点】
切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为几何与代数综合题，需要通过构造辅助线转化线段和的已知条件，第一问侧重考查切线判定的逻辑推导能力，第二问需要结合几何关系得到参数的数量关系，再通过分式化简得出结论，对推理能力和运算能力均有一定考查价值。
【难度系数】
0.6
