1.「2025四川南充高坪月考」如图，已知$\odot O$的半径为5，直线AB经过$\odot O$上一点P，下列条件不能判定直线AB与$\odot O$相切的是（）


A.$OP=5$
B.$∠ APO=∠ BPO$
C.点O到直线AB的距离是5
D.$OP⊥ AB$

1.A A. $OP = 5$, 不能判定直线 AB 与 $\odot O$ 相切；
B.$\because ∠APO= ∠BPO$, $∠APO + ∠BPO = 180°$,
$\therefore ∠APO=90°, \therefore OP⊥ AB$.又$\because$ 点 P 在$\odot O$ 上,$\therefore$ 能判定直线 AB 与$\odot O$ 相切;C.$\because$ 点 O 到直线 AB 的距离是5,等于半径,$\therefore$ 能判定直线 AB 与$\odot O$ 相切;D.$\because OP⊥ AB$,点 P 在$\odot O$ 上,$\therefore$ 能判定直线 AB 与$\odot O$ 相切.故选 A.

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆切线的两种核心判定方法：① 经过半径外端，且与这条半径垂直的直线是圆的切线；② 若圆心到某条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线。本题要求选出“不能判定直线AB与⊙O相切”的选项，我们只需逐一验证四个选项是否满足上述判定条件即可，首先明确已知条件：⊙O半径为5，点P在⊙O上且在直线AB上。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. OP=5仅能说明点P在⊙O上（半径长为5），无法证明OP与AB垂直，不满足切线判定条件，不能判定AB与⊙O相切；
B. 已知∠APO=∠BPO，且∠APO+∠BPO=180°（平角的定义），因此∠APO=90°，即OP⊥AB，又P是⊙O上的点，符合切线判定定理，可判定AB与⊙O相切；
C. 点O到直线AB的距离是5，恰好等于⊙O的半径，根据切线的判定方法，可判定AB与⊙O相切；
D. OP⊥AB，且P是⊙O上的点，即AB经过半径OP的外端且垂直于OP，符合切线判定定理，可判定AB与⊙O相切。
综上，只有A选项不能判定直线AB与⊙O相切。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；平角的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分切线判定的必要条件，需注意仅知道直线经过圆上一点不足以判定相切，必须同时满足该点所在半径与直线垂直（或圆心到直线距离等于半径）的条件。
【难度系数】
0.7

2.「2025河南周口西华期末」如图，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是.(写一个条件即可)

2.答案 $∠ TAC= ∠ B$(答案不唯一)
解析 $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ACB=90°, \therefore ∠ B+∠BAC=90°$,当$∠ TAC= ∠ B$ 时,$∠ TAC+∠BAC=90°$,即$∠BAT=90°, \therefore OA⊥ AT, \therefore$ 直线 AT 是$\odot O$ 的切线.

【分析】
要证明直线AT是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知AT过半径OA的外端点A，因此只需证明OA⊥AT，即∠BAT=90°即可。结合AB是⊙O的直径，可得直径所对的圆周角∠ACB=90°，即∠B+∠BAC=90°，因此只需添加条件使得∠TAC+∠BAC=90°，就能推出∠BAT=90°，比如添加∠TAC=∠B即可。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°。
当添加条件∠TAC=∠B时，
可得∠TAC+∠BAC=90°，即∠BAT=90°，
∴OA⊥AT，
又
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AT是⊙O的切线。
（答案不唯一，添加AB⊥AT、∠ABT+∠T=90°等合理条件均可）
【答案】
∠TAC=∠B（答案不唯一）
【知识点】
切线的判定；圆周角定理推论；直角三角形性质
【点评】
本题是开放性填空题，核心考查切线的判定逻辑，解题时需要结合已知图形特征，将切线判定的垂直要求转化为对应角的等量关系，灵活选择满足推导逻辑的条件即可，侧重对基础几何定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8

3. 学科特色多解法「2026江苏南京鼓楼金陵汇文中学月考」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以AB为直径的$\odot O$交BC于点D，$DE ⊥ AC$，垂足为E。求证：直线DE与$\odot O$相切。

3.证明 【证法一】如图,连接 OD,

$\because OB=OD,\therefore ∠ B= ∠ ODB.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ B= ∠ C,$
$\therefore ∠ ODB= ∠ C,\therefore OD// AC,$
$\because DE⊥ AC,\therefore OD⊥ DE,$
$\therefore$ 直线 DE 与$\odot O$ 相切.
【证法二】如图,连接 AD,OD,

$\because AB$ 为$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ADB=90°,\therefore AD⊥ BC,$
又$\because AB=AC,$
$\therefore$ 点 D 是 BC 的中点,$\therefore BD=CD,$
$\because AO=BO,$
$\therefore OD$ 是$△ ABC$ 的中位线,$\therefore OD// AC,$
$\because DE⊥ AC,\therefore OD⊥ DE,$
$\therefore$ 直线 DE 与$\odot O$ 相切.
技巧归纳 证明切线时,若已知切点,常连半径证垂直,利用判定定理证明;若未知切点,则作垂线证与半径相等,利用 $d=r$ 证明.

【分析】
要证明直线DE是$\odot O$的切线，已知D在$\odot O$上（即DE与圆的交点D是切点），根据切线的判定定理，只需证明过切点的半径OD垂直于DE即可。已知$DE⊥ AC$，因此可通过证明$OD// AC$，结合垂直的传递性得到$OD⊥ DE$。证明$OD// AC$有两种常见思路：一是利用等腰三角形等边对等角的性质，通过角等量代换得到同位角相等，从而证平行；二是利用直径所对圆周角是直角，结合等腰三角形三线合一得到D是BC中点，进而推出OD是$△ ABC$的中位线，利用中位线性质证平行。
【解析】
证法一：
连接OD，
$\because OB=OD$，$\therefore ∠ B=∠ ODB$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ ODB=∠ C$，$\therefore OD// AC$，
$\because DE⊥ AC$，$\therefore OD⊥ DE$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore$直线DE与$\odot O$相切。
证法二：
连接AD、OD，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore$点D是BC的中点，即$BD=CD$，
$\because AO=BO$，
$\therefore OD$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OD// AC$，
$\because DE⊥ AC$，$\therefore OD⊥ DE$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore$直线DE与$\odot O$相切。
【答案】
【证法一】如图,连接 OD,

$\because OB=OD,\therefore ∠ B= ∠ ODB.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ B= ∠ C,$
$\therefore ∠ ODB= ∠ C,\therefore OD// AC,$
$\because DE⊥ AC,\therefore OD⊥ DE,$
$\therefore$ 直线 DE 与$\odot O$ 相切.
【证法二】如图,连接 AD,OD,

$\because AB$ 为$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ADB=90°,\therefore AD⊥ BC,$
又$\because AB=AC,$
$\therefore$ 点 D 是 BC 的中点,$\therefore BD=CD,$
$\because AO=BO,$
$\therefore OD$ 是$△ ABC$ 的中位线,$\therefore OD// AC,$
$\because DE⊥ AC,\therefore OD⊥ DE,$
$\therefore$ 直线 DE 与$\odot O$ 相切.
技巧归纳 证明切线时,若已知切点,常连半径证垂直,利用判定定理证明;若未知切点,则作垂线证与半径相等,利用 $d=r$ 证明.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心考查“已知切点连半径证垂直”的常规解题思路，可结合多个几何基础知识点解题，能帮助学生熟练掌握切线证明的通用方法。
【难度系数】
0.7

4.「2026江苏苏州月考」如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，点C在$\odot O$上，且$∠ ACB = 50°$，则$∠ APB =$（）


A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

4.D 如图,连接 $OA,OB,\because PA,PB$ 是 $\odot O$ 的切线,
$\therefore OA⊥ PA, OB ⊥ PB, \therefore ∠OAP = ∠OBP = 90°,$
$\because ∠AOB=2∠ACB = 100°,\therefore ∠P = 360°-90°-90°-100°=80°$.故选 D.

【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接圆心与切点构造直角，再利用圆周角定理求出对应圆心角的度数，最后结合四边形内角和即可计算出∠APB的大小。第一步：看到PA、PB是圆的切线，想到切线垂直于过切点的半径，因此作辅助线连接OA、OB，得到两个直角；第二步：已知圆周角∠ACB，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠AOB的度数；第三步：四边形OAPB内角和为360°，减去三个已知角的度数即可得到∠APB的度数。
【解析】
解：如图，连接OA、OB。
∵PA，PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，即$∠OAP=∠OBP=90°$。
∵同弧AB所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ACB=50°$，
∴$∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-100°=80°$。
故选D。
【答案】D

【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础常考题，核心考查切线性质的应用，解题关键是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.「2025福建中考」如图，PA与$\odot O$相切于点A，PO的延长线交$\odot O$于点C.过点A作$AB// PC$交$\odot O$于点B.若$∠ P=30°$，则$∠ BCP$的大小为（）


A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

5.C 如图,连接 $OA,OB,\because PA$ 与 $\odot O$ 相切于点 A,
$\therefore OA⊥ PA,\therefore ∠OAP=90°,\therefore ∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°,\because AB// PC,\therefore ∠OAB=∠AOP=60°,$又$\because OA=OB,\therefore △ AOB$ 为等边三角形,$\therefore ∠AOB=60°,$
$\therefore ∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°,\because OB=OC,$
$\therefore △ BOC$ 为等边三角形,$\therefore ∠BCP=60°$,故选 C.

【分析】
遇到切线相关的角度计算问题，首先考虑切线的性质：连接切点与圆心，得到切线与半径垂直。本题解题思路如下：1. 连接OA、OB，由PA是切线得OA⊥PA，结合∠P=30°可算出∠AOP的度数；2. 利用AB//PC的内错角相等得到∠OAB的度数，结合OA=OB可判定△AOB为等边三角形，得到∠AOB的度数；3. 利用平角定义算出∠BOC的度数，再结合OB=OC判定△BOC为等边三角形，即可求出∠BCP的度数。
【解析】
如图，连接$OA,OB$。
∵ $PA$与$\odot O$相切于点$A$，根据切线的性质，得$OA⊥PA$，
∴ $∠ OAP=90°$，
∴ $∠ AOP=90°-∠ P=90°-30°=60°$。
∵ $AB// PC$，根据平行线内错角相等，得$∠ OAB=∠ AOP=60°$，
又
∵ $OA=OB$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ AOB$为等边三角形，
∴ $∠ AOB=60°$，
∴ $∠ BOC=180°-∠ AOP-∠ AOB=180°-60°-60°=60°$。
∵ $OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ BOC$为等边三角形，
∴ $∠ BCP=60°$。
【答案】
C

【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的角度计算的常考题型，解题的关键是合理添加辅助线，结合切线、平行线、等边三角形的性质逐步推导角度，综合性适中，能较好地考查学生对圆相关性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7

6.如图，AB，AC是$\odot O$的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若$∠ BAD=35°$，则$∠ C=$°

6.答案 35
解析 如图,连接 AO 并延长交$\odot O$ 于点 E,连接 BE,$\because AD$ 与$\odot O$ 相切于点 A,$\therefore ∠OAD=90°,$
$\because ∠BAD = 35°, \therefore ∠BAE = ∠OAD-∠BAD=55°,\because AE$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ABE=90°,\therefore ∠E=90°-∠BAE=35°,$
$\therefore ∠C=∠E=35°$.

【分析】
本题为圆中角度计算类题目，解题思路清晰：首先由AD是圆的切线，根据切线性质可知切线垂直过切点的半径，因此我们通过构造过点A的直径，得到直角∠OAD；再结合已知的∠BAD，可求出∠BAE的度数；之后利用直径所对的圆周角为直角，得到Rt△ABE，求出∠E的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠C与∠E相等，算出∠C的度数。
【解析】
如图，连接AO并延长交$\odot O$于点E，连接BE。
$\because$ AD与$\odot O$相切于点A，$\therefore ∠ OAD=90°$
$\because ∠ BAD = 35°$，$\therefore ∠ BAE = ∠ OAD-∠ BAD=90°-35°=55°$
$\because$ AE是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ABE=90°$
$\therefore ∠ E=90°-∠ BAE=90°-55°=35°$
$\because ∠ C$和$∠ E$都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠ C=∠ E=35°$

【答案】
35
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查切线性质与圆周角定理的应用，作辅助线构造直径所对的直角是解题的突破口，这类题型是圆中角度计算的常考类型，掌握基础定理和常用辅助线作法即可轻松解答。
【难度系数】
0.7

7.「2025广东中考」如图,点O是Rt△ABC斜边AC上的一点,以OA长为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.

7.证明 连接 OD,如图,
$\because$ 以 OA 长为半径的 $\odot O$ 与边 BC 相切于点 D,
$\therefore OD⊥ BC,\therefore ∠ODC=90°,$
$\because ∠B=90°,$
$\therefore OD// AB,\therefore ∠ODA=∠BAD,$
$\because OA=OD,\therefore ∠ODA=∠OAD,$
$\therefore ∠BAD=∠OAD,\therefore AD$ 平分 $∠BAC$.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，只需证∠BAD=∠OAD即可。遇到圆的切线问题，首先考虑作辅助线：连接圆心O和切点D，利用切线性质得到OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD与AB平行，利用平行线的内错角相等得到∠ODA=∠BAD；再结合OA=OD是⊙O的半径，由等腰三角形两底角相等得∠ODA=∠OAD，最后通过等量代换即可得到两个角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接OD，
∵ 以OA长为半径的⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC，即∠ODC=90°，
∵ Rt△ABC中∠B=90°，
∴ ∠ODC=∠B=90°，可得OD//AB，
∴ ∠ODA=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
又
∵ OA、OD均为⊙O的半径，即OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠BAD=∠OAD，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
证明 连接 OD,如图,
$\because$ 以 OA 长为半径的 $\odot O$ 与边 BC 相切于点 D,
$\therefore OD⊥ BC,\therefore ∠ODC=90°,$
$\because ∠B=90°,$
$\therefore OD// AB,\therefore ∠ODA=∠BAD,$
$\because OA=OD,\therefore ∠ODA=∠OAD,$
$\therefore ∠BAD=∠OAD,\therefore AD$ 平分 $∠BAC$.

【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用，解题关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点，结合平行线、等腰三角形的性质进行角的等量代换即可完成证明，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8