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初中数学
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苏科版
6.「2025江苏徐州中考」“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案.图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈.图2为另一件连弧纹镜(残件)的示意图.
(1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“
(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”.(保留作图痕迹，不写作法)
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6.「2025江苏徐州中考」“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案.图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈.图2为另一件连弧纹镜(残件)的示意图.
(1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“
七
连弧纹镜”.(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”.(保留作图痕迹，不写作法)
答案
解析 (1)七.
(2)如图所示,先确定两个同心圆的圆心,补全两个同心圆,再依次找到等弧的圆心即可.
解析
【分析】
(1) 解决第一问时先观察残件的等弧数量：图2残件中可见4个连续的等弧，再对比空缺部分的长度，可判断空缺处还能容纳3个相同的等弧，二者相加即可得到总连弧数。
(2) 解决第二问的核心思路：根据垂径定理，圆的任意两条不平行弦的垂直平分线交点为圆心，先确定两个同心圆的圆心，补全内外两个同心圆；再参照现有等弧的规律，将外圆圆周等分，依次作出剩余的等弧即可。
【解析】
(1) 数图2残件中已有的连续等弧共4个，观察空缺部分的弧长，对应可容纳3个相同的等弧，总连弧数为4+3=7，因此该铜镜为七连弧纹镜。
(2) 作图逻辑：①分别作残件中外侧两段不平行弧的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为同心圆的圆心；②以该交点为圆心，分别以外侧残弧的半径、内侧残弧的半径为半径作圆，补全两个同心圆；③将外圆圆周7等分，参照已有弧的绘制规律，依次以相邻等分点为基准作剩余的等弧，保留作图痕迹即可完成补全。
【答案】
(1) 七
(2)
【知识点】
圆的基本性质，尺规作图，垂径定理
【点评】
本题以古代连弧纹镜为背景，将传统文化与数学知识结合，既考查了圆的相关性质的应用，也考查了尺规作图的动手操作能力，需要学生结合图形特征寻找规律，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.65
(1) 解决第一问时先观察残件的等弧数量：图2残件中可见4个连续的等弧，再对比空缺部分的长度，可判断空缺处还能容纳3个相同的等弧，二者相加即可得到总连弧数。
(2) 解决第二问的核心思路：根据垂径定理，圆的任意两条不平行弦的垂直平分线交点为圆心，先确定两个同心圆的圆心，补全内外两个同心圆；再参照现有等弧的规律，将外圆圆周等分，依次作出剩余的等弧即可。
【解析】
(1) 数图2残件中已有的连续等弧共4个，观察空缺部分的弧长，对应可容纳3个相同的等弧，总连弧数为4+3=7，因此该铜镜为七连弧纹镜。
(2) 作图逻辑：①分别作残件中外侧两段不平行弧的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为同心圆的圆心；②以该交点为圆心，分别以外侧残弧的半径、内侧残弧的半径为半径作圆，补全两个同心圆；③将外圆圆周7等分，参照已有弧的绘制规律，依次以相邻等分点为基准作剩余的等弧，保留作图痕迹即可完成补全。
【答案】
(1) 七
(2)
【知识点】
圆的基本性质，尺规作图，垂径定理
【点评】
本题以古代连弧纹镜为背景，将传统文化与数学知识结合，既考查了圆的相关性质的应用，也考查了尺规作图的动手操作能力，需要学生结合图形特征寻找规律，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.65
7.「2025河南中考」如图,四边形ABCD是平行四边形,以BC为直径的圆交AD于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若点E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若点E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.
答案
解析 (1)如图,点$O$即为所求.
(2)证明:如图,$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD=BC,AD// BC$,
$\because E$是$AD$的中点,$O$是$BC$的中点,
$\therefore AE=DE=OC=OB$,
$\because AE// OC,\therefore$ 四边形$AOCE$是平行四边形.
解析
【分析】
(1) 已知BC是圆的直径，圆心为BC的中点，因此只需作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点就是所求的圆心O。
(2) 要证明四边形AOCE是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，可推出AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
(1) 作线段BC的垂直平分线，与BC交于点O，点O即为所求圆心，保留垂直平分线的作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，
∵ E是AD的中点，O是BC的中点，
∴ $AE=DE=OC=OB$，
∵ $AE// OC$，
∴ 四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
(1) 点O即为所求，作图如下：
(2) 四边形AOCE是平行四边形，证明成立。
【知识点】
尺规作图，平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题结合基础尺规作图与几何证明，考查核心几何基础能力，解题的关键是牢记平行四边形的性质与判定定理，作图时要保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
(1) 已知BC是圆的直径，圆心为BC的中点，因此只需作出线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点就是所求的圆心O。
(2) 要证明四边形AOCE是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E是AD中点、O是BC中点的条件，可推出AE与OC平行且相等，即可完成证明。
【解析】
(1) 作线段BC的垂直平分线，与BC交于点O，点O即为所求圆心，保留垂直平分线的作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC$，$AD// BC$，
∵ E是AD的中点，O是BC的中点，
∴ $AE=DE=OC=OB$，
∵ $AE// OC$，
∴ 四边形AOCE是平行四边形。
【答案】
(1) 点O即为所求，作图如下：
(2) 四边形AOCE是平行四边形，证明成立。
【知识点】
尺规作图，平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题结合基础尺规作图与几何证明，考查核心几何基础能力，解题的关键是牢记平行四边形的性质与判定定理，作图时要保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
8.「2025四川达州中考」项目调研.
请阅读上述材料，解决下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是
(2)若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数.
(3)甲同学从B,C,D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C,D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率.
请阅读上述材料，解决下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是
90°
.(2)若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数.
(3)甲同学从B,C,D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C,D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率.
答案
解析 (1)总人数为$20÷10\%=200$,参加D研学基地的人数为$15\%×200=30,$$\therefore$ 参加A研学基地的人数为$200-50-40-30-20=60$.补全条形统计图如图,
意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是$\frac{50}{200}×360°=90°,$故答案为$90°$.
(2)$2\ 000×\frac{60}{200}=600$(人).
答:估计全校参加A研学基地的学生人数为600.
(3)列表如下：
| | B | C | D |
|---|---|---|---|
| C | BC | CC | DC |
| D | BD | CD | DD |
共有6种等可能的结果,其中两位同学选择相同研学基地的结果有2种,$\therefore$ 两位同学选择相同研学基地的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 首先结合两类统计图的已知信息：E基地人数为20，对应占比10%，先计算抽样调查的总人数，再根据D基地的占比算出D的人数，最后用总人数减去B、C、D、E的人数得到A的人数，即可补全条形统计图；求B对应的扇形圆心角，只需用B的人数占总人数的比例乘360°即可。
(2) 利用样本估计总体的思想，用全校总人数乘样本中选择A基地的人数占比，即可估算全校选择A基地的总人数。
(3) 用列表法列出甲、乙两位同学选择基地的所有等可能结果，再筛选出两人选择相同基地的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
(1) 本次抽样调查的总人数为：$20÷10\%=200$（人）
意向参加D研学基地的人数为：$200×15\%=30$（人）
意向参加A研学基地的人数为：$200-50-40-30-20=60$（人）
补全条形统计图如图：
意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数为：$\frac{50}{200}×360°=90°$
(2) 样本中参加A研学基地的人数占比为$\frac{60}{200}$，估计全校2000名学生中参加A研学基地的人数为：
$2000×\frac{60}{200}=600$（人）
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为600人。
(3) 列表表示所有等可能的结果如下：
| | B | C | D |
|---|---|---|---|
| C | BC | CC | DC |
| D | BD | CD | DD |
由表可知，共有6种等可能的结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果有2种。
所以两位同学选择相同研学基地的概率为：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 补全条形统计图见，$90°$
(2) 600人
(3) $\frac{1}{3}$
【知识点】
条形与扇形统计图、用样本估计总体、列表法求概率
【点评】
本题结合实际研学场景综合考查统计与概率相关知识，要求学生能够从两类统计图中提取有效信息，灵活运用样本估计总体的方法解决实际问题，同时掌握用列表法计算简单事件概率的技能，是中考统计概率板块的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1) 首先结合两类统计图的已知信息：E基地人数为20，对应占比10%，先计算抽样调查的总人数，再根据D基地的占比算出D的人数，最后用总人数减去B、C、D、E的人数得到A的人数，即可补全条形统计图；求B对应的扇形圆心角，只需用B的人数占总人数的比例乘360°即可。
(2) 利用样本估计总体的思想，用全校总人数乘样本中选择A基地的人数占比，即可估算全校选择A基地的总人数。
(3) 用列表法列出甲、乙两位同学选择基地的所有等可能结果，再筛选出两人选择相同基地的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
(1) 本次抽样调查的总人数为：$20÷10\%=200$（人）
意向参加D研学基地的人数为：$200×15\%=30$（人）
意向参加A研学基地的人数为：$200-50-40-30-20=60$（人）
补全条形统计图如图：
意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数为：$\frac{50}{200}×360°=90°$
(2) 样本中参加A研学基地的人数占比为$\frac{60}{200}$，估计全校2000名学生中参加A研学基地的人数为：
$2000×\frac{60}{200}=600$（人）
答：估计全校参加A研学基地的学生人数为600人。
(3) 列表表示所有等可能的结果如下：
| | B | C | D |
|---|---|---|---|
| C | BC | CC | DC |
| D | BD | CD | DD |
由表可知，共有6种等可能的结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果有2种。
所以两位同学选择相同研学基地的概率为：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 补全条形统计图见
，$90°$(2) 600人
(3) $\frac{1}{3}$
【知识点】
条形与扇形统计图、用样本估计总体、列表法求概率
【点评】
本题结合实际研学场景综合考查统计与概率相关知识，要求学生能够从两类统计图中提取有效信息，灵活运用样本估计总体的方法解决实际问题，同时掌握用列表法计算简单事件概率的技能，是中考统计概率板块的典型考题。
【难度系数】
0.7
