9. 下列二次根式中，与$\sqrt{32}$能合并的是（）

A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{27}$
D.$\sqrt{50}$

9.D

【分析】
要判断哪个二次根式能和$\sqrt{32}$合并，首先明确只有化简后被开方数相同的同类二次根式才能合并，因此解题思路为：第一步先将$\sqrt{32}$化为最简二次根式，第二步逐一将四个选项的二次根式化为最简形式，第三步对比化简后的被开方数，和$\sqrt{32}$化简后被开方数相同的即为正确选项。
【解析】
先化简题干中的二次根式：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，化简后被开方数为2。
再逐一化简各选项：
A. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，与2不同，不能和$\sqrt{32}$合并；
B. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，与2不同，不能和$\sqrt{32}$合并；
C. $\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数为3，与2不同，不能和$\sqrt{32}$合并；
D. $\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{32}$化简后被开方数相同，可以合并。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；二次根式合并
【点评】
本题属于基础题，主要考查同类二次根式的判断，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记只有化简后被开方数相同的二次根式才可以合并。
【难度系数】
0.8

10. 下列运算正确的是（）

A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{4\frac{1}{9}} = 2\frac{1}{3}$
C.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
D.$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = 2 - \sqrt{5}$

10.C

【分析】
这道题考查二次根式的相关运算与性质，解题时需逐个分析选项，结合3个核心规则判断正误：1.只有被开方数相同的同类二次根式才能直接合并；2.化简带分数的二次根式时，要先将带分数化为假分数再开方，不能直接拆分整数和分数部分开方；3.$\sqrt{a^2}=|a|$，计算时先判断$a$的正负再去绝对值，最后排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接相减合并，因此A运算错误；
B选项：先将带分数化为假分数，$4\frac{1}{9}=\frac{37}{9}$，因此$\sqrt{4\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{37}{9}}=\frac{\sqrt{37}}{3}$，而$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，二者不相等，因此B运算错误；
C选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，因此C运算正确；
D选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$2-\sqrt{5}＜0$，因此$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2≠2-\sqrt{5}$，因此D运算错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算、二次根式的性质、算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式的基础考查题，重点考察学生对二次根式化简、合并规则以及相关性质的掌握程度，做题时要注意只有同类二次根式才能合并，处理平方开方问题时要注意符号判断。
【难度系数】
0.8

11.已知$a=\sqrt{2},b=\sqrt{5}$,用含$a,b$的代数式表示$\sqrt{20}$,下列表示正确的是（）

A.$ab^2$
B.$ab$
C.$2a$
D.$a^2b$

11.D

【分析】
解题时可以从两个方向思考：一是先化简待求的$\sqrt{20}$，将其转化为含$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$的式子，再用a、b代换得到结果；二是分别计算每个选项的结果，和$\sqrt{20}$对比判断对错。首先回忆二次根式的性质：$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），结合已知$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{5}$进行推导即可。
【解析】
方法一：直接推导
已知$a=\sqrt{2}$，可得$a^2=(\sqrt{2})^2=2$；$b=\sqrt{5}$。
先化简$\sqrt{20}$：$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2×\sqrt{5}$。
将2替换为$a^2$，$\sqrt{5}$替换为$b$，可得$\sqrt{20}=a^2b$。
方法二：逐一验证选项
A. $ab^2=\sqrt{2}×(\sqrt{5})^2=\sqrt{2}×5=5\sqrt{2}≠\sqrt{20}$，错误；
B. $ab=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}≠\sqrt{20}$，错误；
C. $2a=2\sqrt{2}≠\sqrt{20}$，错误；
D. $a^2b=(\sqrt{2})^2×\sqrt{5}=2×\sqrt{5}=\sqrt{20}$，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；二次根式运算；代数式代换
【点评】
本题主要考查二次根式的基本运算和等价转换能力，解题的核心是熟练运用二次根式的性质对式子进行变形，也可通过代入验证的方法降低解题难度，掌握二次根式的运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.8

12. 计算：$(-10\sqrt{3})^2 =$ ，$-\sqrt{(-17)^2} =$ 。

12.300 −17

【分析】
本题分为两个小问，均考查二次根式相关的基础运算：
1. 计算$(-10\sqrt{3})^2$时，可利用积的乘方法则，把括号内的两个因式分别平方后再相乘，注意平方运算后负号会消失；
2. 计算$-\sqrt{(-17)^2}$时，先计算根号内的平方运算，再求算术平方根，最后结合根号外的负号得到最终结果，要注意算术平方根的结果是非负数，不要被根号内的负号误导。
【解析】
1. 计算$(-10\sqrt{3})^2$：
根据积的乘方法则$(ab)^2=a^2b^2$，可得：
$(-10\sqrt{3})^2 = (-10)^2 × (\sqrt{3})^2 = 100 × 3 = 300$
2. 计算$-\sqrt{(-17)^2}$：
方法1：先计算根号内的乘方$(-17)^2=289$，再求289的算术平方根为17，结合前面的负号可得：
$-\sqrt{(-17)^2} = -\sqrt{289} = -17$
方法2：利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算：
$-\sqrt{(-17)^2}=-|-17|=-17$
【答案】
$300$；$-17$
【知识点】
1. 积的乘方运算
2. 二次根式的性质
3. 算术平方根化简
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，核心是掌握乘方运算法则和二次根式的性质，运算时要格外注意符号的处理，避免因漏看负号出现错误。
【难度系数】
0.85

13.若二次根式$\sqrt{$$}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围为.

13.$x＞2$

【分析】
要确定二次根式有意义时x的取值范围，首先回忆相关规则：①二次根式的被开方数必须是非负数（即≥0）；②分式有意义的前提是分母不为0。本题被开方数是分式$\frac{1}{4x-8}$，分子为正数1，因此要同时满足上述两个规则，只需让分母为正数即可，接下来解对应的一元一次不等式就能得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{1}{4x-8}}$在实数范围内有意义，需满足：
1. 被开方数非负：$\dfrac{1}{4x-8}≥ 0$；
2. 分式分母不为0：$4x-8≠ 0$。
结合两个条件可得$\dfrac{1}{4x-8}＞0$，由于分子1是正数，因此分母必须为正，即：
$4x-8＞0$
移项得：$4x＞8$
两边同时除以4得：$x＞2$
【答案】
$x＞2$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，易错点是忽略分母不能为0，误写为$x≥ 2$，解题时需注意多个限制条件要同时满足。
【难度系数】
0.7

14.如果最简二次根式$\sqrt{3a-8}$与$\sqrt{17-2a}$能够合并，那么$a$的值为。

14.5

【分析】
要解决这道题，首先回忆最简二次根式合并的条件：几个最简二次根式如果能够合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数完全相同。同时二次根式要有意义，被开方数必须是非负数。因此我们可以根据被开方数相等列出关于a的一元一次方程，求解后检验结果是否满足二次根式有意义的条件即可。
【解析】
∵最简二次根式$\sqrt{3a-8}$与$\sqrt{17-2a}$能够合并
∴二者的被开方数相等，可列方程：
$3a-8=17-2a$
移项得：$3a+2a=17+8$
合并同类项得：$5a=25$
系数化为1得：$a=5$
检验：当$a=5$时，$3a-8=3×5-8=7≥0$，$17-2a=17-2×5=7≥0$，两个二次根式均有意义，符合要求。
【答案】
5
【知识点】
同类二次根式的判定；一元一次方程的解法；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是掌握“可合并的最简二次根式被开方数相同”这一性质，求解后注意验证被开方数的非负性，避免出现根式无意义的错误。
【难度系数】
0.8

15.如图2，四边形ABCD是张大爷的一块小菜地.已知AD⊥AB，AD⊥CD，AD=$\sqrt{3}$米，BC=CD=$2\sqrt{3}$米.请你帮张大爷计算一下这块四边形菜地的周长和面积.

15.周长为$(3+7\sqrt{3})$米，面积为$(6+\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$平方米.

【分析】
本题是直角梯形的周长与面积计算类题目，解题思路如下：1. 过点C作CE⊥AB于点E，将四边形ABCD分割为矩形AECD和直角三角形CEB，利用矩形性质可直接得到CE=AD、AE=CD；2. 在Rt△CEB中用勾股定理求出BE的长度，相加即可得到AB的长度；3. 把四边形四条边长度求和得到周长，用梯形面积公式（或分割为矩形和三角形分别求面积再求和）即可算出菜地面积。
【解析】
解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵AD⊥AB，AD⊥CD，
∴∠A=∠D=∠AEC=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴$AE=CD=2\sqrt{3}$米，$CE=AD=\sqrt{3}$米，且$DC// AB$。
在Rt△CEB中，已知$BC=2\sqrt{3}$米，$CE=\sqrt{3}$米，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3$米，
∴$AB=AE+BE=2\sqrt{3}+3$米。
计算周长：
四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+DA$
$=(2\sqrt{3}+3)+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3+7\sqrt{3}$（米）
计算面积：
四边形ABCD为直角梯形，按梯形面积公式计算：
$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}=\frac{(CD+AB)× AD}{2}$
$=\frac{(2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3)×\sqrt{3}}{2}=\frac{(4\sqrt{3}+3)×\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{12+3\sqrt{3}}{2}=6+\frac{3\sqrt{3}}{2}$（平方米）
【答案】
周长为$(3+7\sqrt{3})$米，面积为$(6+\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$平方米。
【知识点】
直角梯形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题考查不规则四边形的周长与面积计算，核心解题方法是通过作辅助线将陌生的图形分割为我们熟悉的矩形、直角三角形，结合勾股定理求出未知边长度后套用对应公式即可求解，解题的关键是正确作出辅助线完成图形分割。
【难度系数】
0.7

16. 已知$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$2a^2 -8a +1$的值. 小明同学的解答过程如下：
$\because a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$，$\therefore a-2=-\sqrt{3}$，
$\therefore (a-2)^2=3$，即$a^2 -4a +4=3$，
$\therefore a^2 -4a=-1$，
$\therefore 2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1$.
请你根据小明同学的解答过程，解决如下问题：
(1) 计算：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=$；
(2) 计算：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=$；
(3) 若$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$，求$3a^2 -12a -1$的值.

16.(1)$\sqrt{2}-1$ (2)$9$ (3)$2$

【分析】
(1) 对于分母含二次根式的分式，利用平方差公式，给分子分母同乘分母的共轭根式（根号前符号相反的同式），即可去掉分母的根号，完成分母有理化后直接计算。
(2) 参照(1)的方法先将每一项分母有理化，会发现相邻两项的中间二次根式可相互抵消，用裂项相消的方法简化求和，最后仅需计算首尾两项即可得到结果。
(3) 参照题干给出的解题思路，先对a进行分母有理化，再通过移项、平方得到$a^2-4a$的取值，将所求代数式变形为含有$a^2-4a$的形式，整体代入计算即可，无需直接代入a的值进行复杂运算。
【解析】
(1) 对$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$
(2) 先对每一项分别分母有理化：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})$
观察可得相邻两项的中间二次根式相互抵消，整理得：
原式$=-1+\sqrt{100}=-1+10=9$
(3) 先化简a的取值：
$\because a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2$
$\therefore a-2=\sqrt{5}$，两边平方得：
$(a-2)^2=(\sqrt{5})^2$，即$a^2-4a+4=5$
整理得$a^2-4a=1$
对所求代数式变形：
$3a^2-12a-1=3(a^2-4a)-1$
将$a^2-4a=1$代入得：
$3×1 -1=2$
【答案】
(1)$\sqrt{2}-1$；(2)$9$；(3)$2$
【知识点】
分母有理化，二次根式运算，整体代入求值
【点评】
本题围绕二次根式的化简展开，核心考查分母有理化的操作方法，以及裂项相消、整体代入的简化计算技巧，掌握这类方法可以避免繁琐的直接运算，大幅提升解题效率与准确率。
【难度系数】
0.7