1. 下列二次根式中，取值范围是$x≥3$的是（）

A.$\sqrt{3-x}$
B.$\sqrt{6+2x}$
C.$\sqrt{2x-6}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{x-3}}$

1.C

【分析】
要选出取值范围是$x≥3$的二次根式，核心依据是二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；如果被开方数是分式，还要额外满足分母不为0。我们只需分别计算四个选项中$x$的取值范围，再和题干要求的$x≥3$比对即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：对于$\sqrt{3-x}$，需满足被开方数$3-x≥0$，解不等式得$x≤3$，不符合要求，排除；
2. 选项B：对于$\sqrt{6+2x}$，需满足被开方数$6+2x≥0$，移项化简得$x≥-3$，不符合要求，排除；
3. 选项C：对于$\sqrt{2x-6}$，需满足被开方数$2x-6≥0$，移项得$2x≥6$，解得$x≥3$，完全符合题干要求；
4. 选项D：对于$\sqrt{\dfrac{1}{x-3}}$，需同时满足被开方数$\dfrac{1}{x-3}≥0$且分母$x-3≠0$，因此$x-3＞0$，解得$x＞3$，不符合要求，排除。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，分式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式取值范围的基础考查题，易错点是容易忽略分式分母不能为0的要求，混淆$x≥3$和$x＞3$的边界情况，只要牢记各类代数式有意义的判定规则，逐一验证即可准确作答。
【难度系数】
0.8

2. 下列计算正确的是（）

A.$\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
C.$\sqrt{(-3)^2}=3$
D.$(\sqrt{3})^2=6$

2.C

【分析】
本题考查二次根式的相关运算与性质，解题思路为逐个验证每个选项的计算是否正确：先回忆二次根式分母有理化、同类二次根式合并、二次根式的平方、算术平方根的相关规则，再依次对四个选项进行计算判断，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：对$\frac{1}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，得$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\sqrt{3}$，故A错误；
B选项：$2\sqrt{3}$和$\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时系数相减、被开方数不变，即$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，故B错误；
C选项：根据算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，计算正确，故C正确；
D选项：根据二次根式的平方性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{3})^2=3≠6$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的性质；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，主要考查二次根式的基础运算规则和性质，熟练掌握相关基础知识即可快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.8

3.下列二次根式中,是最简二次根式的是（）

3.A

【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐一验证四个选项是否满足这两个条件，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据最简二次根式的判定条件逐一分析：
1. 分析选项A：$2\sqrt{xy}$的被开方数$xy$是整式，且不存在能开得尽方的因式，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式。
2. 分析选项B：$\sqrt{\frac{ab}{2}}$的被开方数含有分母2，不满足判定条件，化简后为$\frac{\sqrt{2ab}}{2}$，因此不是最简二次根式。
3. 分析选项C：$\sqrt{\frac{1}{2}}$的被开方数是分数，含有分母，不满足判定条件，化简后为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此不是最简二次根式。
4. 分析选项D：$\sqrt{x^4+x^2y^2}$的被开方数因式分解可得$x^2(x^2+y^2)$，其中$x^2$是能开得尽方的因式，不满足判定条件，化简后为$|x|\sqrt{x^2+y^2}$，因此不是最简二次根式。
综上，只有选项A是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对最简二次根式概念的理解，只要牢记判定的两个核心条件，就能快速完成判断，这类基础概念题是后续二次根式计算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

4. 如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是1和$\sqrt{2}$，AB=CB，则点C所表示的数是（）


A.$\sqrt{2}-1$
B.$1+\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-1$

4.D

【分析】
解题时首先回忆数轴上两点间距离的计算方法：数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。我们可以先算出AB的长度，再根据AB=CB得到CB的长度，最后结合点C在点B右侧的位置关系，用点B表示的数加上CB的长度，就能求出点C表示的数。
【解析】
第一步：计算AB的长度，已知点A表示的数是1，点B表示的数是$\sqrt{2}$，所以$AB=\sqrt{2}-1$。
第二步：由题意$AB=CB$，可得$CB=\sqrt{2}-1$。
第三步：点C在点B的右侧，因此点C表示的数为点B表示的数加上CB的长度，即：
$\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-1$
【答案】
D
【知识点】
数轴两点距离计算，实数加减法
【点评】
本题是数轴与实数运算结合的基础题，解题核心是掌握数轴上两点距离的计算方法，结合已知的线段等量关系即可求出对应点表示的数。
【难度系数】
0.8

5. 下列各式计算正确的是 （）

A.$8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6$
B.$5\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} × 2\sqrt{2} = 8\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{2} ÷ 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

5.C

【分析】
这道题考查二次根式的四则运算规则，解题时先明确核心运算规则：二次根式加减时，只有同类二次根式（被开方数相同的二次根式）才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变；二次根式乘除时，分别对系数、被开方数做乘除运算，最后化简结果，接下来逐个验证选项即可判断正误。
【解析】
我们依次对每个选项进行运算验证：
A选项：$8\sqrt{3}$和$2\sqrt{3}$是同类二次根式，合并得$8\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(8-2)\sqrt{3}=6\sqrt{3}≠6$，故A错误；
B选项：$5\sqrt{3}$和$5\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不属于同类二次根式，无法直接合并，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$4\sqrt{3}×2\sqrt{2}=(4×2)×(\sqrt{3}×\sqrt{2})=8×\sqrt{3×2}=8\sqrt{6}$，运算正确，故C正确；
D选项：根据二次根式除法法则，$4\sqrt{2}÷2\sqrt{2}=(4÷2)×(\sqrt{2}÷\sqrt{2})=2×1=2≠2\sqrt{2}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式加减运算；二次根式乘除运算；同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式四则运算规则的掌握程度，解题关键是区分清楚加减、乘除的运算差异，避免混淆规则出现运算错误。
【难度系数】
0.8

6.计算：$(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})=$.

6.2

【分析】
观察算式的结构，是两个数的和与这两个数的差相乘，完全符合平方差公式的特征，我们可以直接用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$来简化计算，先确定公式中$a$对应3，$b$对应$\sqrt{7}$，再分别计算$a^2$和$b^2$，最后求差即可得到结果，比直接展开多项式计算更简便。
【解析】
利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=3^2-(\sqrt{7})^2\\&=9-7\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
1.平方差公式 2.二次根式的运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查乘法公式在二次根式运算中的应用，熟练掌握乘法公式的结构特征可以简化计算步骤，减少计算错误。
【难度系数】
0.9

7.已知$y=\sqrt{2x-5}+\sqrt{5-2x}-3$，则2xy的值是。

7.−15

【分析】
要计算2xy的值，需先求出x、y的取值。观察已知等式，等式右侧两个二次根式的被开方数2x-5和5-2x互为相反数，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可得两个被开方数均大于等于0，由此可先求出x的唯一取值，再将x代入原式求出y的值，最后代入2xy计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2x - 5 ≥ 0 \\5 - 2x ≥ 0 \end{cases}$
解不等式$2x - 5 ≥ 0$，得$x ≥ \frac{5}{2}$；
解不等式$5 - 2x ≥ 0$，得$x ≤ \frac{5}{2}$；
因此$x = \frac{5}{2}$。
将$x = \frac{5}{2}$代入原式，得$y = \sqrt{2×\frac{5}{2}-5} + \sqrt{5-2×\frac{5}{2}} - 3 = 0 + 0 - 3 = -3$。
计算2xy的值：$2xy = 2×\frac{5}{2}×(-3) = -15$。
【答案】
$-15$
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题是二次根式相关计算的典型基础题，解题关键是抓住二次根式被开方数的非负性这一隐含条件，确定未知数x的唯一取值，再代入计算即可，注意不要忽略隐含的不等式限制条件。
【难度系数】
0.7

8. 计算：
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{3}$；
(2) $2\sqrt{8} ÷ \frac{1}{\sqrt{3}} × (-\sqrt{24})$；
(3) $\frac{2}{3}\sqrt{9a} + 6a\sqrt{\frac{a}{4}} - a^2\sqrt{\frac{1}{a}}$。

8.(1)$3\sqrt{3}-5\sqrt{2}$ (2)$-48$ (3)$(2+2a)\sqrt{a}$

【分析】
这三道题均属于二次根式的运算类题目，解题核心思路如下：① 先将所有二次根式化为最简二次根式；② 加减运算中，合并被开方数相同的同类二次根式即可；③ 乘除运算中，先确定运算符号，再分别将系数、被开方数对应相乘除，最后把结果化为最简；④ 含字母的二次根式要先根据根号下被开方数非负确定字母的取值范围，再进行化简运算。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，代入原式合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{3}\\&=(2\sqrt{3}+\sqrt{3})+(-3\sqrt{2}-2\sqrt{2})\\&=3\sqrt{3}-5\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，确定结果符号为负，再按二次根式乘法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{8} × \sqrt{3} × (-\sqrt{24})\\&=-2 × \sqrt{8 × 3 × 24}\\&=-2 × \sqrt{576}\\&=-2 × 24\\&=-48\end{aligned}$
(3) 由$\sqrt{\frac{1}{a}}$有意义得$a＞0$，先化简各二次根式：$\frac{2}{3}\sqrt{9a}=2\sqrt{a}$，$6a\sqrt{\frac{a}{4}}=3a\sqrt{a}$，$a^2\sqrt{\frac{1}{a}}=a\sqrt{a}$，代入原式合并：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} - a\sqrt{a}\\&=2\sqrt{a} + 2a\sqrt{a}\\&=(2+2a)\sqrt{a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$3\sqrt{3}-5\sqrt{2}$；(2)$-48$；(3)$(2+2a)\sqrt{a}$
【知识点】
最简二次根式化简，二次根式加减运算，二次根式乘除运算
【点评】
本组题目是二次根式运算的基础题型，解题关键是先准确将各二次根式化为最简形式，再按照对应运算法则计算，运算时要注意符号的处理，含字母的根式需先根据二次根式有意义的条件确定字母取值范围，避免化简出错。
【难度系数】
0.75