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1.(教材变式)下列关系式中，表示y是x的反比例函数的是（
A.$y=2x$
B.$y=\dfrac{3}{x^2}$
C.$y=\dfrac{2}{x}$
D.$y=\dfrac{2}{x-5}$
C
）A.$y=2x$
B.$y=\dfrac{3}{x^2}$
C.$y=\dfrac{2}{x}$
D.$y=\dfrac{2}{x-5}$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征，再逐一验证每个选项是否符合要求。首先回忆反比例函数的标准形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，核心要求为：①分母仅含自变量$x$；②$x$的次数为1；③常数$k$不为0。我们可依据这三个特征逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，其中自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\frac{3}{x^2}$中分母是$x^2$，即$x$的次数为2，不符合反比例函数中$x$次数为1的要求，排除；
选项C：$y=\frac{2}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=2≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数；
选项D：$y=\frac{2}{x-5}$的分母是$x-5$，此时是$y$关于$(x-5)$的反比例函数，不是$y$关于$x$的反比例函数，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题考查反比例函数的基础定义，解题的核心是牢记反比例函数的标准形式，注意区分自变量的位置和次数，避免混淆其他函数类型，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征，再逐一验证每个选项是否符合要求。首先回忆反比例函数的标准形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，核心要求为：①分母仅含自变量$x$；②$x$的次数为1；③常数$k$不为0。我们可依据这三个特征逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，其中自变量$x$的取值范围是$x≠0$。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\frac{3}{x^2}$中分母是$x^2$，即$x$的次数为2，不符合反比例函数中$x$次数为1的要求，排除；
选项C：$y=\frac{2}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=2≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数；
选项D：$y=\frac{2}{x-5}$的分母是$x-5$，此时是$y$关于$(x-5)$的反比例函数，不是$y$关于$x$的反比例函数，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题考查反比例函数的基础定义，解题的核心是牢记反比例函数的标准形式，注意区分自变量的位置和次数，避免混淆其他函数类型，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
2.若$y=(a+2)x^{a^2 -5}$是反比例函数，则a的值为
2
。答案
2.2
解析
【分析】
要确定a的取值，需结合反比例函数的定义推导，反比例函数有两个核心约束条件：一是自变量x的指数为-1，二是x的系数不能为0。我们可以先根据指数要求列方程求出a的所有可能值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，可列不等式组：
$\begin{cases}a^2 - 5 = -1 \quad ① \\a + 2 ≠ 0 \quad \quad ②\end{cases}$
求解①式：移项得$a^2=4$，开方得$a=2$或$a=-2$。
求解②式：得$a≠ -2$。
同时满足两个条件的a值只有2。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为0的限制，误将a=-2也当作正确结果，解题时要注意完整匹配定义的所有约束条件。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值，需结合反比例函数的定义推导，反比例函数有两个核心约束条件：一是自变量x的指数为-1，二是x的系数不能为0。我们可以先根据指数要求列方程求出a的所有可能值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，可列不等式组：
$\begin{cases}a^2 - 5 = -1 \quad ① \\a + 2 ≠ 0 \quad \quad ②\end{cases}$
求解①式：移项得$a^2=4$，开方得$a=2$或$a=-2$。
求解②式：得$a≠ -2$。
同时满足两个条件的a值只有2。
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为0的限制，误将a=-2也当作正确结果，解题时要注意完整匹配定义的所有约束条件。
【难度系数】
0.7
3.已知y是x的反比例函数，下表给出了y与x的一些对应值，则“☆”和“☼”所表示的数分别为（
A.6,－4
B.－6,2
C.6,－2
D.－6,－4
D
）A.6,－4
B.－6,2
C.6,－2
D.－6,－4
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的形式：反比例函数的一般表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），只要确定了比例系数$k$，就能根据已知的$x$求对应$y$，或根据已知的$y$求对应$x$。解题步骤为：①先利用表格中给出的一组完整的$x、y$值代入解析式求出$k$，确定反比例函数的解析式；②将$y=\frac{1}{3}$代入解析式求出对应的$x$，即为“☆”表示的数；③将$x=\frac{1}{2}$代入解析式求出对应的$y$，即为“☼”表示的数，最后匹配选项即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$，因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
1. 求“☆”的值：当$y=\frac{1}{3}$时，代入解析式得$\frac{1}{3}=-\frac{2}{x}$，解得$x=-2÷\frac{1}{3}=-6$，即“☆”为$-6$。
2. 求“☼”的值：当$x=\frac{1}{2}$时，代入解析式得$y=-\frac{2}{\frac{1}{2}}=-4$，即“☼”为$-4$。
因此“☆”和“☼”表示的数分别为$-6$、$-4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题核心是先通过已知点求出比例系数$k$，再代入未知量计算，难度较低，掌握反比例函数的基本形式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆反比例函数的形式：反比例函数的一般表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），只要确定了比例系数$k$，就能根据已知的$x$求对应$y$，或根据已知的$y$求对应$x$。解题步骤为：①先利用表格中给出的一组完整的$x、y$值代入解析式求出$k$，确定反比例函数的解析式；②将$y=\frac{1}{3}$代入解析式求出对应的$x$，即为“☆”表示的数；③将$x=\frac{1}{2}$代入解析式求出对应的$y$，即为“☼”表示的数，最后匹配选项即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$，因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
1. 求“☆”的值：当$y=\frac{1}{3}$时，代入解析式得$\frac{1}{3}=-\frac{2}{x}$，解得$x=-2÷\frac{1}{3}=-6$，即“☆”为$-6$。
2. 求“☼”的值：当$x=\frac{1}{2}$时，代入解析式得$y=-\frac{2}{\frac{1}{2}}=-4$，即“☼”为$-4$。
因此“☆”和“☼”表示的数分别为$-6$、$-4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题核心是先通过已知点求出比例系数$k$，再代入未知量计算，难度较低，掌握反比例函数的基本形式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.已知$y$与$x$成反比例，且当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=2$，则$y$关于$x$的函数解析式为
$y=-\dfrac{1}{x}$
答案
4.$y=-\dfrac{1}{x}$
解析
【分析】
要确定y关于x的函数解析式，首先根据反比例的定义，先设出反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），其中未知量只有常数$k$；接下来将已知的$x$、$y$的对应值代入所设的式子，即可求出$k$的值；最后把求得的$k$代回所设的解析式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
∵ $y$与$x$成反比例
∴ 设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）
将$x=-\frac{1}{2}$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{-\frac{1}{2}}$
解得：$k=2×(-\frac{1}{2})=-1$
将$k=-1$代入$y=\frac{k}{x}$，得函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查利用待定系数法求解反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的前提。
【难度系数】
0.9
要确定y关于x的函数解析式，首先根据反比例的定义，先设出反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），其中未知量只有常数$k$；接下来将已知的$x$、$y$的对应值代入所设的式子，即可求出$k$的值；最后把求得的$k$代回所设的解析式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
∵ $y$与$x$成反比例
∴ 设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）
将$x=-\frac{1}{2}$，$y=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{-\frac{1}{2}}$
解得：$k=2×(-\frac{1}{2})=-1$
将$k=-1$代入$y=\frac{k}{x}$，得函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查利用待定系数法求解反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的前提。
【难度系数】
0.9
5. (教材变式)已知$y$与$x+1$成反比例，且当$x=\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{1}{3}$。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式。
(2)当$y=\frac{1}{6}$时，求$x$的值。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式。
(2)当$y=\frac{1}{6}$时，求$x$的值。
答案
5.解:(1)设 y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x+1}(k≠0).$
$\because 当 x=\dfrac{1}{2} 时,y=-\dfrac{1}{3},\therefore -\dfrac{1}{3}=\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}+1},$
解得 $k=-\dfrac{1}{2},\therefore y=-\dfrac{1}{2(x+1)}.$
(2)令 $y=\dfrac{1}{6},即 \dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{2(x+1)},解得 x=-4.$
$\because 当 x=\dfrac{1}{2} 时,y=-\dfrac{1}{3},\therefore -\dfrac{1}{3}=\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}+1},$
解得 $k=-\dfrac{1}{2},\therefore y=-\dfrac{1}{2(x+1)}.$
(2)令 $y=\dfrac{1}{6},即 \dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{2(x+1)},解得 x=-4.$
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先根据“y与x+1成反比例”的条件，结合反比例关系的定义，设出带待定系数k的函数解析式（注意k≠0的要求），再将已知的x、y对应值代入解析式，得到关于k的方程，解出k即可确定函数解析式。(2) 求解第二问时，直接将y的取值代入第一问求出的函数解析式，得到关于x的分式方程，解方程即可得到x的值，注意验证分母不为0。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x+1}(k≠0)$，
$\because$ 当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore -\dfrac{1}{3}=\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}+1}$，
解得 $k=-\dfrac{1}{2}$，
$\therefore y$ 关于$x$的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{2(x+1)}$。
(2) 令 $y=\dfrac{1}{6}$，即 $\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{2(x+1)}$，
去分母得：$x+1=-3$，
解得 $x=-4$，经检验$x=-4$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2(x+1)}$；
(2) $x=-4$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 分式方程求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，主要考查对成反比例关系的理解，以及待定系数法求函数解析式的基本方法，计算难度较低，掌握基础概念和运算规则即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问时，先根据“y与x+1成反比例”的条件，结合反比例关系的定义，设出带待定系数k的函数解析式（注意k≠0的要求），再将已知的x、y对应值代入解析式，得到关于k的方程，解出k即可确定函数解析式。(2) 求解第二问时，直接将y的取值代入第一问求出的函数解析式，得到关于x的分式方程，解方程即可得到x的值，注意验证分母不为0。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x+1}(k≠0)$，
$\because$ 当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore -\dfrac{1}{3}=\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}+1}$，
解得 $k=-\dfrac{1}{2}$，
$\therefore y$ 关于$x$的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{2(x+1)}$。
(2) 令 $y=\dfrac{1}{6}$，即 $\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{2(x+1)}$，
去分母得：$x+1=-3$，
解得 $x=-4$，经检验$x=-4$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2(x+1)}$；
(2) $x=-4$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 分式方程求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，主要考查对成反比例关系的理解，以及待定系数法求函数解析式的基本方法，计算难度较低，掌握基础概念和运算规则即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 模型观念 节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买$500\ \mathrm{kW·h}$电,若平均每天用电$x\ \mathrm{kW·h}$,则能使用$y$天.下列说法错误的是 (
A.若$x=5$,则$y=100$
B.若$y=125$,则$x=4$
C.若$x$减小,则$y$也减小
D.若$x$减小一半,则$y$增大一倍
C
)A.若$x=5$,则$y=100$
B.若$y=125$,则$x=4$
C.若$x$减小,则$y$也减小
D.若$x$减小一半,则$y$增大一倍
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据“总用电量=每天用电量×使用天数”的等量关系，列出y与x的函数解析式为$y=\frac{500}{x}$，可知y是x的反比例函数，再结合反比例函数的性质、代入求值的方法逐一判断四个选项的正误，注意题目要求选出说法错误的选项。
【解析】
解：由题意得总用电量为$500\ \mathrm{kW·h}$，因此x与y满足关系：$xy=500$，即$y=\frac{500}{x}(x＞0)$，属于反比例函数。
选项A：当$x=5$时，代入解析式得$y=\frac{500}{5}=100$，说法正确，不符合题意；
选项B：当$y=125$时，代入解析式得$125=\frac{500}{x}$，解得$x=\frac{500}{125}=4$，说法正确，不符合题意；
选项C：该反比例函数中$k=500＞0$，在$x＞0$的范围内，y随x的减小而增大，因此“x减小则y也减小”的说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即新的日用电量为$\frac{x}{2}$，代入得新的使用天数$y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2y$，即y增大一倍，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的性质，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活节能的实际情境考查反比例函数的相关知识，解题的关键是先正确列出函数解析式，再结合反比例函数的增减性和代入计算判断选项，做题时需注意题干要求选择错误的说法，避免因审题粗心失分。
【难度系数】
0.8
首先根据“总用电量=每天用电量×使用天数”的等量关系，列出y与x的函数解析式为$y=\frac{500}{x}$，可知y是x的反比例函数，再结合反比例函数的性质、代入求值的方法逐一判断四个选项的正误，注意题目要求选出说法错误的选项。
【解析】
解：由题意得总用电量为$500\ \mathrm{kW·h}$，因此x与y满足关系：$xy=500$，即$y=\frac{500}{x}(x＞0)$，属于反比例函数。
选项A：当$x=5$时，代入解析式得$y=\frac{500}{5}=100$，说法正确，不符合题意；
选项B：当$y=125$时，代入解析式得$125=\frac{500}{x}$，解得$x=\frac{500}{125}=4$，说法正确，不符合题意；
选项C：该反比例函数中$k=500＞0$，在$x＞0$的范围内，y随x的减小而增大，因此“x减小则y也减小”的说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即新的日用电量为$\frac{x}{2}$，代入得新的使用天数$y'=\frac{500}{\frac{x}{2}}=\frac{1000}{x}=2y$，即y增大一倍，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的性质，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活节能的实际情境考查反比例函数的相关知识，解题的关键是先正确列出函数解析式，再结合反比例函数的增减性和代入计算判断选项，做题时需注意题干要求选择错误的说法，避免因审题粗心失分。
【难度系数】
0.8
