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7 如果一个数的平方等于它的立方，那么这个数为 （
A.0,1
B.0,-1
C.±1
D.0,±1
A
）A.0,1
B.0,-1
C.±1
D.0,±1
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以用两种思路解题：第一种是根据题意列出等量关系，分情况讨论求解；第二种是将选项中的数分别代入验证，排除不符合条件的选项即可得到答案。需要注意负数的乘方符号规律：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，同时不要忽略0这个特殊值。
【解析】
方法一：列等式求解
设这个数为$x$，根据题意可得：$x^2 = x^3$
分两种情况讨论：
1. 当$x = 0$时，左边$0^2 = 0$，右边$0^3 = 0$，等式成立，故$x=0$符合条件；
2. 当$x ≠ 0$时，根据等式的性质，等式两边同时除以不为0的$x^2$，可得$x = 1$，代入验证：$1^2=1$，$1^3=1$，等式成立，故$x=1$符合条件。
验证$x=-1$：$(-1)^2=1$，$(-1)^3=-1$，$1 ≠ -1$，不符合条件。
因此符合条件的数是0和1。
方法二：代入排除法
依次验证选项中的数：
0：平方为0，立方为0，相等，符合；
1：平方为1，立方为1，相等，符合；
-1：平方为1，立方为-1，不相等，不符合。
排除包含-1的选项B、C、D，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；等式的性质
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，既可以通过列等式分情况讨论求解，也可以用代入法快速锁定答案，解题时要注意特殊值0的验证，同时牢记负数乘方的符号规律，避免误选包含-1的选项。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，我们可以用两种思路解题：第一种是根据题意列出等量关系，分情况讨论求解；第二种是将选项中的数分别代入验证，排除不符合条件的选项即可得到答案。需要注意负数的乘方符号规律：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，同时不要忽略0这个特殊值。
【解析】
方法一：列等式求解
设这个数为$x$，根据题意可得：$x^2 = x^3$
分两种情况讨论：
1. 当$x = 0$时，左边$0^2 = 0$，右边$0^3 = 0$，等式成立，故$x=0$符合条件；
2. 当$x ≠ 0$时，根据等式的性质，等式两边同时除以不为0的$x^2$，可得$x = 1$，代入验证：$1^2=1$，$1^3=1$，等式成立，故$x=1$符合条件。
验证$x=-1$：$(-1)^2=1$，$(-1)^3=-1$，$1 ≠ -1$，不符合条件。
因此符合条件的数是0和1。
方法二：代入排除法
依次验证选项中的数：
0：平方为0，立方为0，相等，符合；
1：平方为1，立方为1，相等，符合；
-1：平方为1，立方为-1，不相等，不符合。
排除包含-1的选项B、C、D，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；等式的性质
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，既可以通过列等式分情况讨论求解，也可以用代入法快速锁定答案，解题时要注意特殊值0的验证，同时牢记负数乘方的符号规律，避免误选包含-1的选项。
【难度系数】
0.85
8 新情境 数学文化 数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题:七个老妇人同往罗马,每人有七匹骡子,每匹骡子驮七只口袋,每只口袋装有七个面包,每个面包附有七把餐刀,每把餐刀配有七只刀鞘,则刀鞘共有 (
A.42 只
B.49 只
C.$7^6$ 只
D.$7^7$ 只
C
)A.42 只
B.49 只
C.$7^6$ 只
D.$7^7$ 只
答案
C
解析
【分析】
这是一道结合乘方意义的实际计数题，解题时可逐层梳理数量关系：从最上层的老妇人数量开始，每往下一级对应的物品数量都是上一级的7倍，我们只需要数清楚从老妇人到刀鞘一共乘了几次7，即可结合乘方的定义得到刀鞘的总数。
【解析】
我们逐层计算物品数量：
1. 老妇人数量：共7个，即$7^1$；
2. 骡子数量：每位老妇人有7匹骡子，总数为$7×7=7^2$；
3. 口袋数量：每匹骡子驮7只口袋，总数为$7^2×7=7^3$；
4. 面包数量：每只口袋装7个面包，总数为$7^3×7=7^4$；
5. 餐刀数量：每个面包附7把餐刀，总数为$7^4×7=7^5$；
6. 刀鞘数量：每把餐刀配7只刀鞘，总数为$7^5×7=7^6$。
因此刀鞘共有$7^6$只。
【答案】
C
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 有理数乘法应用
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查乘方的实际应用，解题关键是理清各层级物品的数量关系，准确统计7相乘的次数，避免因漏数或多算层数导致指数错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合乘方意义的实际计数题，解题时可逐层梳理数量关系：从最上层的老妇人数量开始，每往下一级对应的物品数量都是上一级的7倍，我们只需要数清楚从老妇人到刀鞘一共乘了几次7，即可结合乘方的定义得到刀鞘的总数。
【解析】
我们逐层计算物品数量：
1. 老妇人数量：共7个，即$7^1$；
2. 骡子数量：每位老妇人有7匹骡子，总数为$7×7=7^2$；
3. 口袋数量：每匹骡子驮7只口袋，总数为$7^2×7=7^3$；
4. 面包数量：每只口袋装7个面包，总数为$7^3×7=7^4$；
5. 餐刀数量：每个面包附7把餐刀，总数为$7^4×7=7^5$；
6. 刀鞘数量：每把餐刀配7只刀鞘，总数为$7^5×7=7^6$。
因此刀鞘共有$7^6$只。
【答案】
C
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 有理数乘法应用
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查乘方的实际应用，解题关键是理清各层级物品的数量关系，准确统计7相乘的次数，避免因漏数或多算层数导致指数错误。
【难度系数】
0.7
9（1）若一个数的平方是$\frac{1}{64}$，则这个数是
（2）观察下列运算：$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4096,8^5=32768,8^6=262144,···$，则$8^{2026}$的个位上的数字是
10（1）计算$(-1)^8 + (-1^8)$的结果为
（2）若$n$是正整数，则$(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}$的值为
$\pm \dfrac{1}{8}$
；若一个数的立方是$\frac{1}{64}$，则这个数是$\dfrac{1}{4}$
。（2）观察下列运算：$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4096,8^5=32768,8^6=262144,···$，则$8^{2026}$的个位上的数字是
4
。10（1）计算$(-1)^8 + (-1^8)$的结果为
0
；（2）若$n$是正整数，则$(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}$的值为
0
。答案
9. (1) $\pm \dfrac{1}{8}$ $\dfrac{1}{4}$
(2) 4 【解析】因为 $8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,8^6=262\ 144,···,$所以个位上的数字以 8,4,2,6 四个为一组依次循环. 因为 $2\ 026÷ 4=506······2,$所以 $8^{2\ 026}$ 的个位上的数字与 $8^2$ 的个位上的数字相同,即 $8^{2\ 026}$ 的个位上的数字是 4.
10. (1) 0 (2) 0
(2) 4 【解析】因为 $8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,8^6=262\ 144,···,$所以个位上的数字以 8,4,2,6 四个为一组依次循环. 因为 $2\ 026÷ 4=506······2,$所以 $8^{2\ 026}$ 的个位上的数字与 $8^2$ 的个位上的数字相同,即 $8^{2\ 026}$ 的个位上的数字是 4.
10. (1) 0 (2) 0
解析
【分析】
1. 9（1）题：根据平方与平方根的关系，正数有两个互为相反数的平方根，因此求平方为某正数的数要考虑正负两种情况；而立方与立方根一一对应，正数的立方根是唯一正数，直接计算即可。
2. 9（2）题：求高次幂个位数字的核心是找个位数字的循环周期，先列举前几个乘方的个位数字找到循环规律，再用指数除以周期看余数，对应周期内的位置即可得到结果。
3. 10（1）题：要注意区分$(-1)^8$和$-1^8$的运算顺序，带括号时是-1整体乘方，不带括号时是先算$1^8$再取相反数，分别计算后求和即可。
4. 10（2）题：正整数范围内，$2n$表示偶数，$2n+1$表示奇数，根据-1的偶次幂为1、奇次幂为-1的性质计算即可。
【解析】
9.（1）
∵ $( \pm \dfrac{1}{8} )^2 = \dfrac{1}{64}$，
∴ 平方为$\dfrac{1}{64}$的数是$\pm \dfrac{1}{8}$；
∵ $( \dfrac{1}{4} )^3 = \dfrac{1}{64}$，
∴ 立方为$\dfrac{1}{64}$的数是$\dfrac{1}{4}$。
（2）
观察$8$的乘方结果，个位数字依次为8、4、2、6、8、4……，每4个为一个循环周期。
计算$2026 ÷ 4 = 506······2$，余数为2，说明$8^{2026}$的个位数字和周期中第2个数字，即$8^2$的个位数字相同，为4。
10.（1）
$(-1)^8$是8个-1相乘，结果为1；
$-1^8$是$1^8$的相反数，$1^8=1$，因此$-1^8=-1$；
求和得：$1 + (-1) = 0$。
（2）
∵ $n$是正整数，
∴ $2n$是偶数，$2n+1$是奇数；
根据乘方性质：$(-1)^{2n}=1$，$(-1)^{2n+1}=-1$；
求和得：$1 + (-1) = 0$。
【答案】
9.（1）$\pm \dfrac{1}{8}$；$\dfrac{1}{4}$ （2）4
10.（1）0 （2）0
【知识点】
有理数乘方运算，平方根与立方根性质，数字规律探究
【点评】
本组题目围绕有理数乘方的基础知识点设计，易错点在于区分带括号和不带括号的乘方运算顺序，以及求正数平方根时容易遗漏负根，循环规律题需要掌握“找周期、算余数、定结果”的解题思路，是乘方部分的基础巩固题型。
【难度系数】
0.7
1. 9（1）题：根据平方与平方根的关系，正数有两个互为相反数的平方根，因此求平方为某正数的数要考虑正负两种情况；而立方与立方根一一对应，正数的立方根是唯一正数，直接计算即可。
2. 9（2）题：求高次幂个位数字的核心是找个位数字的循环周期，先列举前几个乘方的个位数字找到循环规律，再用指数除以周期看余数，对应周期内的位置即可得到结果。
3. 10（1）题：要注意区分$(-1)^8$和$-1^8$的运算顺序，带括号时是-1整体乘方，不带括号时是先算$1^8$再取相反数，分别计算后求和即可。
4. 10（2）题：正整数范围内，$2n$表示偶数，$2n+1$表示奇数，根据-1的偶次幂为1、奇次幂为-1的性质计算即可。
【解析】
9.（1）
∵ $( \pm \dfrac{1}{8} )^2 = \dfrac{1}{64}$，
∴ 平方为$\dfrac{1}{64}$的数是$\pm \dfrac{1}{8}$；
∵ $( \dfrac{1}{4} )^3 = \dfrac{1}{64}$，
∴ 立方为$\dfrac{1}{64}$的数是$\dfrac{1}{4}$。
（2）
观察$8$的乘方结果，个位数字依次为8、4、2、6、8、4……，每4个为一个循环周期。
计算$2026 ÷ 4 = 506······2$，余数为2，说明$8^{2026}$的个位数字和周期中第2个数字，即$8^2$的个位数字相同，为4。
10.（1）
$(-1)^8$是8个-1相乘，结果为1；
$-1^8$是$1^8$的相反数，$1^8=1$，因此$-1^8=-1$；
求和得：$1 + (-1) = 0$。
（2）
∵ $n$是正整数，
∴ $2n$是偶数，$2n+1$是奇数；
根据乘方性质：$(-1)^{2n}=1$，$(-1)^{2n+1}=-1$；
求和得：$1 + (-1) = 0$。
【答案】
9.（1）$\pm \dfrac{1}{8}$；$\dfrac{1}{4}$ （2）4
10.（1）0 （2）0
【知识点】
有理数乘方运算，平方根与立方根性质，数字规律探究
【点评】
本组题目围绕有理数乘方的基础知识点设计，易错点在于区分带括号和不带括号的乘方运算顺序，以及求正数平方根时容易遗漏负根，循环规律题需要掌握“找周期、算余数、定结果”的解题思路，是乘方部分的基础巩固题型。
【难度系数】
0.7
11 计算：
(1) $-1^2 + |-2026|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^5 - 1^{10}$；
(3) $-\dfrac{1^4}{2} ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$；
(4) $2^3 × (-\dfrac{1}{2} + 1) ÷ (1 - 3)$。
(1) $-1^2 + |-2026|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^5 - 1^{10}$；
(3) $-\dfrac{1^4}{2} ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$；
(4) $2^3 × (-\dfrac{1}{2} + 1) ÷ (1 - 3)$。
答案
(1) 2 025
(2) $-1\dfrac{1}{32}$
(3) $\dfrac{32}{27}$
(4) $-2$
(2) $-1\dfrac{1}{32}$
(3) $\dfrac{32}{27}$
(4) $-2$
解析
【分析】
这组题目是有理数混合运算基础题，解题时遵循固定运算顺序：①先算乘方、绝对值运算，有括号时优先计算括号内的运算；②再算乘除，最后算加减；③同级运算从左到右依次计算。特别注意要区分负号在乘方内和乘方外的区别：如$-1^n$表示1的n次方的相反数，$(-a)^n$表示n个-a相乘，负数的奇次幂为负，偶次幂为正，计算时优先处理符号再算数值。
【解析】
(1) 先分别计算乘方和绝对值：
$-1^2=-1$，$|-2026|=2026$
原式$=-1+2026=2025$
(2) 先计算乘方运算：
$(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$，$1^{10}=1$
原式$=-\dfrac{1}{32}-1=-1\dfrac{1}{32}$
(3) 先计算乘方运算：
$1^4=1$，$(-\dfrac{3}{4})^3=-\dfrac{27}{64}$
原式$=-\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{27}{64})$
将除法转化为乘法计算：$=-\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{64}{27})=\dfrac{32}{27}$
(4) 先计算乘方和括号内的运算：
$2^3=8$，$-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$，$1-3=-2$
原式$=8×\dfrac{1}{2}÷(-2)$
从左到右依次计算：$=4÷(-2)=-2$
【答案】
(1) $\boxed{2025}$
(2) $\boxed{-1\dfrac{1}{32}}$
(3) $\boxed{\dfrac{32}{27}}$
(4) $\boxed{-2}$
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，有理数混合运算
【点评】
本题核心考察有理数混合运算的运算顺序，易错点是乘方的符号判断，要注意区分乘方的相反数和带负号的乘方的差异，计算时优先确定符号再计算数值，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这组题目是有理数混合运算基础题，解题时遵循固定运算顺序：①先算乘方、绝对值运算，有括号时优先计算括号内的运算；②再算乘除，最后算加减；③同级运算从左到右依次计算。特别注意要区分负号在乘方内和乘方外的区别：如$-1^n$表示1的n次方的相反数，$(-a)^n$表示n个-a相乘，负数的奇次幂为负，偶次幂为正，计算时优先处理符号再算数值。
【解析】
(1) 先分别计算乘方和绝对值：
$-1^2=-1$，$|-2026|=2026$
原式$=-1+2026=2025$
(2) 先计算乘方运算：
$(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$，$1^{10}=1$
原式$=-\dfrac{1}{32}-1=-1\dfrac{1}{32}$
(3) 先计算乘方运算：
$1^4=1$，$(-\dfrac{3}{4})^3=-\dfrac{27}{64}$
原式$=-\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{27}{64})$
将除法转化为乘法计算：$=-\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{64}{27})=\dfrac{32}{27}$
(4) 先计算乘方和括号内的运算：
$2^3=8$，$-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$，$1-3=-2$
原式$=8×\dfrac{1}{2}÷(-2)$
从左到右依次计算：$=4÷(-2)=-2$
【答案】
(1) $\boxed{2025}$
(2) $\boxed{-1\dfrac{1}{32}}$
(3) $\boxed{\dfrac{32}{27}}$
(4) $\boxed{-2}$
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，有理数混合运算
【点评】
本题核心考察有理数混合运算的运算顺序，易错点是乘方的符号判断，要注意区分乘方的相反数和带负号的乘方的差异，计算时优先确定符号再计算数值，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
12 新考向 探究题 观察下列各组算式，解答问题：
① $(1×2)^2$ 与 $1^2×2^2$；② $(2×3)^2$ 与 $2^2×3^2$；③ $[(-3)×(-4)]^2$ 与 $(-3)^2×(-4)^2$。
（1）试通过计算来说明每组两个算式的结果是否相等。
（2）猜想：$(a×b)^2=$
（3）用（2）中的结论计算：$(\dfrac{1}{5})^{2026}×(-5)^{2026}$。
① $(1×2)^2$ 与 $1^2×2^2$；② $(2×3)^2$ 与 $2^2×3^2$；③ $[(-3)×(-4)]^2$ 与 $(-3)^2×(-4)^2$。
（1）试通过计算来说明每组两个算式的结果是否相等。
（2）猜想：$(a×b)^2=$
$a^2 × b^2$
；$(a×b)^3=$$a^3 × b^3$
。（3）用（2）中的结论计算：$(\dfrac{1}{5})^{2026}×(-5)^{2026}$。
答案
(1) ① $(1×2)^2=2^2=4,1^2×2^2=1×4=4;$② $(2×3)^2=6^2=36,2^2×3^2 = 4 × 9 = 36;$ ③ $[(-3) × (-4)]^2 = 12^2 = 144,$$(-3)^2×(-4)^2=9×16=144,$所以每组两个算式的结果均相等
(2) $a^2 × b^2$ $a^3 × b^3$
(3) $(\dfrac{1}{5})^{2\,026} × (-5)^{2\,026} = (-5 × \dfrac{1}{5})^{2\,026}=(-1)^{2\,026}=1$
(2) $a^2 × b^2$ $a^3 × b^3$
(3) $(\dfrac{1}{5})^{2\,026} × (-5)^{2\,026} = (-5 × \dfrac{1}{5})^{2\,026}=(-1)^{2\,026}=1$
解析
【分析】
解题按照三步逻辑推进：1. 解决第一问时，严格遵循有理数运算顺序，分别计算每组两个算式的结果，直接对比数值即可判断是否相等；2. 第二问为规律猜想，根据第一问三组特殊算式的相等关系，从特殊案例推广到一般情况，就能总结出两个数乘积的乘方的展开规律；3. 第三问是规律的应用，观察到两个幂的指数完全相同，逆用第二问得到的积的乘方规律，先将底数相乘再计算乘方，可大幅简化高次幂的计算过程。
【解析】
(1) 分别计算每组两个算式的结果：
① $(1×2)^2=2^2=4$，$1^2×2^2=1×4=4$，二者结果相等；
② $(2×3)^2=6^2=36$，$2^2×3^2=4×9=36$，二者结果相等；
③ $[(-3)×(-4)]^2=12^2=144$，$(-3)^2×(-4)^2=9×16=144$，二者结果相等。
因此每组两个算式的结果均相等。
(2) 根据(1)的规律推广可得：两个数乘积的平方等于两个数分别平方后的乘积，即$(a×b)^2=a^2×b^2$；同理推广到三次方，可得$(a×b)^3=a^3×b^3$。
(3) 逆用积的乘方规律计算：
$(\dfrac{1}{5})^{2026}×(-5)^{2026} = (\dfrac{1}{5}×(-5))^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
(1) 每组两个算式的结果均相等，计算过程见解析；
(2) $a^2×b^2$；$a^3×b^3$
(3) $1$
【知识点】
有理数乘方运算；积的乘方规律；逆用积的乘方简便计算
【点评】
本题以特殊算式探究为切入点，考查从特殊到一般的数学归纳思想，既覆盖了基础乘方运算的考点，又引导学生主动发现运算规律并迁移应用，侧重规律探究能力和运算技巧的考查。
【难度系数】
0.8
解题按照三步逻辑推进：1. 解决第一问时，严格遵循有理数运算顺序，分别计算每组两个算式的结果，直接对比数值即可判断是否相等；2. 第二问为规律猜想，根据第一问三组特殊算式的相等关系，从特殊案例推广到一般情况，就能总结出两个数乘积的乘方的展开规律；3. 第三问是规律的应用，观察到两个幂的指数完全相同，逆用第二问得到的积的乘方规律，先将底数相乘再计算乘方，可大幅简化高次幂的计算过程。
【解析】
(1) 分别计算每组两个算式的结果：
① $(1×2)^2=2^2=4$，$1^2×2^2=1×4=4$，二者结果相等；
② $(2×3)^2=6^2=36$，$2^2×3^2=4×9=36$，二者结果相等；
③ $[(-3)×(-4)]^2=12^2=144$，$(-3)^2×(-4)^2=9×16=144$，二者结果相等。
因此每组两个算式的结果均相等。
(2) 根据(1)的规律推广可得：两个数乘积的平方等于两个数分别平方后的乘积，即$(a×b)^2=a^2×b^2$；同理推广到三次方，可得$(a×b)^3=a^3×b^3$。
(3) 逆用积的乘方规律计算：
$(\dfrac{1}{5})^{2026}×(-5)^{2026} = (\dfrac{1}{5}×(-5))^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
(1) 每组两个算式的结果均相等，计算过程见解析；
(2) $a^2×b^2$；$a^3×b^3$
(3) $1$
【知识点】
有理数乘方运算；积的乘方规律；逆用积的乘方简便计算
【点评】
本题以特殊算式探究为切入点，考查从特殊到一般的数学归纳思想，既覆盖了基础乘方运算的考点，又引导学生主动发现运算规律并迁移应用，侧重规律探究能力和运算技巧的考查。
【难度系数】
0.8
