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7. [2025西安交大苏州附中月考] 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（
），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE，CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB=88 m，BC=20 m，上口宽EF=16 m，则整个冷却塔的高度为
），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE，CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB=88 m，BC=20 m，上口宽EF=16 m，则整个冷却塔的高度为110 m
。答案
7 110 m $\because AB=88\ \mathrm{m}$,$BC=20\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标是 $(44,20)$. 设点 $C$ 所在图象的函数表达式为 $y=\frac{k}{x}$,由题意,得 $k=44×20=880$,则 $y=\frac{880}{x}$.$\because$ 上口宽 $EF=16\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 点 $F$ 的横坐标为 $\frac{16}{2}=8$,当 $x=8$ 时,$y=\frac{880}{8}=110$. 故整个冷却塔的高度为 $110\ \mathrm{m}$.
8. [2026 南通海门区期末]区政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为 $10^6 \, \mathrm{m}^3$,某运输公司承担了运送土石方的任务.
(1)运输公司平均运送速度$v$(单位:$\mathrm{m}^3/\mathrm{天}$)与完成运送任务所需时间$t$(单位:天)之间具有怎样的函数关系?
(2)这个运输公司共有100辆卡车,每天可运送土石方$10^4 \, \mathrm{m}^3$,公司完成全部运输任务需要多长时间?
(3)若公司以(2)中的速度工作了40天,由于工程进度的需要,剩下的所有运输任务必须在50天内完成,公司至少增加多少辆卡车?
(1)运输公司平均运送速度$v$(单位:$\mathrm{m}^3/\mathrm{天}$)与完成运送任务所需时间$t$(单位:天)之间具有怎样的函数关系?
(2)这个运输公司共有100辆卡车,每天可运送土石方$10^4 \, \mathrm{m}^3$,公司完成全部运输任务需要多长时间?
(3)若公司以(2)中的速度工作了40天,由于工程进度的需要,剩下的所有运输任务必须在50天内完成,公司至少增加多少辆卡车?
答案
8 解:(1)$\because vt=10^6$,$\therefore v=\frac{10^6}{t}$,
即运输公司平均运送速度 $v$(单位:$\mathrm{m}^3/$天)与完成运送任务所需时间 $t$(单位:天)之间的函数关系为 $v=\frac{10^6}{t}$.
(2)当 $v=10^4$ 时,$t=\frac{10^6}{10^4}=100$.
答:公司完成全部运输任务需要 100 天.
(3)每辆卡车每天运送土石方 $\frac{10^4}{100}=100(\mathrm{m}^3)$.
设公司增加 $x$ 辆卡车,
由题意,得 $40×10^4 +50×100(100+x)≥10^6$,
解得 $x≥20$,
$\therefore$ 公司至少增加 20 辆卡车.
即运输公司平均运送速度 $v$(单位:$\mathrm{m}^3/$天)与完成运送任务所需时间 $t$(单位:天)之间的函数关系为 $v=\frac{10^6}{t}$.
(2)当 $v=10^4$ 时,$t=\frac{10^6}{10^4}=100$.
答:公司完成全部运输任务需要 100 天.
(3)每辆卡车每天运送土石方 $\frac{10^4}{100}=100(\mathrm{m}^3)$.
设公司增加 $x$ 辆卡车,
由题意,得 $40×10^4 +50×100(100+x)≥10^6$,
解得 $x≥20$,
$\therefore$ 公司至少增加 20 辆卡车.
9 运算能力 心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知,学生的注意力指数$y$随时间$x$(分)的变化规律如图所示(其中$AB$,$BC$为线段,$CD$为双曲线的一部分).
(1)求出线段$AB$和双曲线$CD$的函数表达式,并写出自变量的取值范围;
(2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指数最低为36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到需求的状态下讲完这道题目?
【回顾与思考】请举出现实生活中几个运用反比例函数性质的实例.
(1)求出线段$AB$和双曲线$CD$的函数表达式,并写出自变量的取值范围;
(2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指数最低为36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到需求的状态下讲完这道题目?
【回顾与思考】请举出现实生活中几个运用反比例函数性质的实例.
答案
9 解:(1)设 $AB$ 所在直线的函数表达式为 $y=k_1x+20$,
把 $B(10,40)$ 代入,得 $10k_1+20=40$,
解得 $k_1=2$,
$\therefore$ 线段 $AB$ 的函数表达式为 $y=2x+20(0≤ x≤10)$.
设双曲线 $CD$ 的函数表达式为 $y=\frac{k_2}{x}$,
把 $C(25,40)$ 代入,得 $40=\frac{k_2}{25}$,故 $k_2=1\ 000$,
$\therefore$ 双曲线 $CD$ 的函数表达式为 $y=\frac{1\ 000}{x}(25≤ x≤40)$.
(2)当 $x=5$ 时,$y=2×5+20=30$,当 $x=30$ 时,$y=\frac{1\ 000}{30}=\frac{100}{3}$.
$\because 30＜\frac{100}{3}$,$\therefore$ 第 30 分钟时注意力更集中.
(3)将 $y=36$ 代入 $y=2x+20$,得 $36=2x+20$,$\therefore x=8$.
将 $y=36$ 代入 $y=\frac{1\ 000}{x}$,得 $36=\frac{1\ 000}{x}$,
$\therefore x=\frac{1\ 000}{36}\approx27.8$.
$\because 27.8-8=19.8＞19$,
$\therefore$ 经过适当安排,老师能在学生注意力达到需求的状态下讲完这道题目.
把 $B(10,40)$ 代入,得 $10k_1+20=40$,
解得 $k_1=2$,
$\therefore$ 线段 $AB$ 的函数表达式为 $y=2x+20(0≤ x≤10)$.
设双曲线 $CD$ 的函数表达式为 $y=\frac{k_2}{x}$,
把 $C(25,40)$ 代入,得 $40=\frac{k_2}{25}$,故 $k_2=1\ 000$,
$\therefore$ 双曲线 $CD$ 的函数表达式为 $y=\frac{1\ 000}{x}(25≤ x≤40)$.
(2)当 $x=5$ 时,$y=2×5+20=30$,当 $x=30$ 时,$y=\frac{1\ 000}{30}=\frac{100}{3}$.
$\because 30＜\frac{100}{3}$,$\therefore$ 第 30 分钟时注意力更集中.
(3)将 $y=36$ 代入 $y=2x+20$,得 $36=2x+20$,$\therefore x=8$.
将 $y=36$ 代入 $y=\frac{1\ 000}{x}$,得 $36=\frac{1\ 000}{x}$,
$\therefore x=\frac{1\ 000}{36}\approx27.8$.
$\because 27.8-8=19.8＞19$,
$\therefore$ 经过适当安排,老师能在学生注意力达到需求的状态下讲完这道题目.
