5.如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点A的坐标为(3,4)，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过BC的中点D.
(1)求k的值；
(2)AB的垂直平分线交反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点E，连接AE，OE，求△AOE的面积.

5.解:(1)
∵点 A 的坐标为$(3,4)$,四边形 OABC 是菱形，
∴$C(5,0)$,$B(8,4)$,
∴$D(\frac{13}{2},2)$,
∴$k=\frac{13}{2}×2=13$.
(2)
∵点 E 在 AB 的垂直平分线上,易得点 E 的横坐标为$\frac{11}{2}$,把$x=\frac{11}{2}$代入$y=\frac{13}{x}$,得$y=\frac{26}{11}$,
∴$E(\frac{11}{2},\frac{26}{11})$.
如答图,过点 A 作 $AH⊥x$ 轴于点 H,设 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 F,则
$S_{△ AOE} = S_{△ AOH} + S_{梯形AHFE} - S_{△ FOE} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × (4 + \frac{26}{11}) × (\frac{11}{2} - 3) - \frac{13}{2} = \frac{82}{11}$.

【分析】
(1) 要计算反比例函数的k值，需先得到图象上点D的坐标。首先根据点A的坐标用勾股定理算出菱形边长OA，再利用菱形四条边相等、对边平行的性质，依次求出点C、点B的坐标，结合D是BC中点的条件得到D的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 要求△AOE的面积，首先确定点E的坐标：AB是水平线段，其垂直平分线为垂直于x轴的直线，横坐标为A、B横坐标的平均值，将该横坐标代入反比例函数即可得到E的纵坐标。对于坐标系中不规则三角形的面积，采用割补法，将△AOE的面积转化为直角三角形AOH的面积加梯形AHFE的面积，再减去直角三角形FOE的面积，分别计算各部分后相加减即可得到结果。
【解析】
(1) 已知点A坐标为$(3,4)$，由勾股定理得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵四边形OABC是菱形，
∴$OA=OC=AB=BC=5$，且$AB// OC$。
∴点C坐标为$(5,0)$，点B横坐标为$3+5=8$，纵坐标与A相同为4，即$B(8,4)$。
∵D是BC中点，
∴D的横坐标为$\frac{8+5}{2}=\frac{13}{2}$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即$D(\frac{13}{2},2)$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$过点D，
∴$k=\frac{13}{2}×2=13$。
(2)
∵E在AB的垂直平分线上，A横坐标为3，B横坐标为8，
∴E的横坐标为$\frac{3+8}{2}=\frac{11}{2}$。
将$x=\frac{11}{2}$代入$y=\frac{13}{x}$，得$y=\frac{26}{11}$，即$E(\frac{11}{2},\frac{26}{11})$。
如图，过点A作$AH⊥x$轴于H，设AB的垂直平分线交x轴于F，则：
$\begin{aligned}S_{△ AOE}&=S_{△ AOH}+S_{梯形AHFE}-S_{△ FOE}\\&=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×(4+\frac{26}{11})×(\frac{11}{2}-3)-\frac{1}{2}×\frac{11}{2}×\frac{26}{11}\\&=6+\frac{175}{22}-\frac{13}{2}\\&=\frac{82}{11}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=13}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ AOE}=\frac{82}{11}}$

【知识点】
菱形的性质，反比例函数解析式确定，坐标法求面积
【点评】
本题是反比例函数与菱形结合的综合题，考查了特殊四边形的坐标运算、反比例函数的基本性质，以及不规则图形面积的割补计算方法，解题关键是准确求解各点坐标，灵活选用面积计算方法。
【难度系数】
0.65

6. 如图，点 P 在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，过点 P 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函数$y=\frac{1}{x}$的图象于点 M，N，直线 MN 与坐标轴的交点分别为 E，F.
(1)设点 P 的横坐标为 a，则点 P 的坐标为，点 M 的坐标为，点 N 的坐标为.(用含字母 a 的式子表示)
(2)当点 P 在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上运动时，$△ PMN$的面积是否发生变化？若不变，求出$△ PMN$的面积；若变化，请说明理由.

6.(1)$(a,\frac{4}{a})$ $(\frac{a}{4},\frac{4}{a})$ $(a,\frac{1}{a})$
(2)解:当点 P 在函数 $y=\frac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上运动时,
$△ PMN$ 的面积不发生变化.
由(1)知 $P(a,\frac{4}{a})$,$M(\frac{a}{4},\frac{4}{a})$,$N(a,\frac{1}{a})$,
∴$PM=\frac{3}{4}a$,$PN=\frac{3}{a}$,
∴$△ PMN$ 的面积为$\frac{1}{2}PM· PN=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}a×\frac{3}{a}=\frac{9}{8}$.

【分析】
(1) 解题思路：已知点P在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，且横坐标为a，将x=a代入解析式即可得到P的坐标；过P作x轴的平行线交$y=\frac{1}{x}$于M，可知M的纵坐标与P相等，将纵坐标代入$y=\frac{1}{x}$即可求出M的横坐标；过P作y轴的平行线交$y=\frac{1}{x}$于N，可知N的横坐标与P相等，将横坐标代入$y=\frac{1}{x}$即可求出N的纵坐标。
(2) 解题思路：首先根据PM平行x轴、PN平行y轴，可判断$△ PMN$是直角三角形，直角顶点为P。再用参数a表示出两条直角边PM、PN的长度，代入直角三角形面积公式计算，若计算结果不含参数a则面积为定值，否则面积随点P的运动变化。
【解析】
(1)
∵点P在$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，横坐标为a，
∴将$x=a$代入解析式得$y=\frac{4}{a}$，即$P(a,\frac{4}{a})$；
∵PM平行于x轴，
∴点M的纵坐标与P相等，为$\frac{4}{a}$，
将$y=\frac{4}{a}$代入$y=\frac{1}{x}$，解得$x=\frac{a}{4}$，即$M(\frac{a}{4},\frac{4}{a})$；
∵PN平行于y轴，
∴点N的横坐标与P相等，为a，
将$x=a$代入$y=\frac{1}{x}$，解得$y=\frac{1}{a}$，即$N(a,\frac{1}{a})$。
(2) $△ PMN$的面积不发生变化，求解过程如下：
由(1)可得$P(a,\frac{4}{a})$，$M(\frac{a}{4},\frac{4}{a})$，$N(a,\frac{1}{a})$，
∴$PM = a - \frac{a}{4} = \frac{3}{4}a$，$PN = \frac{4}{a} - \frac{1}{a} = \frac{3}{a}$，
∵PM平行x轴，PN平行y轴，
∴$∠ MPN=90°$，
∴$S_{△ PMN} = \frac{1}{2} · PM · PN = \frac{1}{2} × \frac{3}{4}a × \frac{3}{a} = \frac{9}{8}$，
计算结果不含参数a，故$△ PMN$的面积为定值，不随点P的运动发生变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a,\frac{4}{a})}$；$\boldsymbol{(\frac{a}{4},\frac{4}{a})}$；$\boldsymbol{(a,\frac{1}{a})}$
(2) 面积不发生变化，$△ PMN$的面积为$\boldsymbol{\frac{9}{8}}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，核心考查平行于坐标轴的点的坐标规律、反比例函数图象上点的坐标与解析式的关系，处理定值类问题时，通过参数表示相关量后化简，若参数可消去则对应量为定值，解题思路清晰，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7