7.(★★★)在矩形ABCD中,作∠B的平分线交直线AD于点E,则∠BED的大小是度.

解：
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，∠A=90°。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠EBC=45°。
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB=∠EBC=45°。
分两种情况讨论：
1. 当AB ＜ AD时，点E在线段AD上：
∠BED = 180° - ∠AEB = 180° - 45° = 135°。
2. 当AB ＞ AD时，点E在AD的延长线上：
∠BED = ∠AEB = 45°。
综上，∠BED的大小是45或135度。

8. (★★)如图，在$□ ABCD$中，边AB，CD被直线EF所截，$EG ⊥ CD$于点G，$∠ AEF=45°$，$FG=6\ \mathrm{cm}$，则AB与CD之间的距离为cm.

$\boldsymbol{6}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠EFG = ∠AEF = 45°。
∵ EG⊥CD，
∴ ∠EGF = 90°，
∴ △EFG是等腰直角三角形，
∴ EG = FG。
∵ FG = 6 cm，
∴ EG = 6 cm，
即AB与CD之间的距离为6 cm。
最终

9. (★★★)如图,在菱形ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠D=120°,BE=1,则AC=.

$\boldsymbol{3}$

解：
∵ 四边形ABCD是菱形，∠D=120°，
∴ AB=BC，∠ABC=∠D=120°，∠BAD=180°-∠D=60°，AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC=∠BCA=30°。
∵ BE⊥AB，
∴ ∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，BE=1，
∴ AE=2BE=2。
∵ ∠BEC=∠ABE + ∠BAC=90°+30°=120°，
∴ ∠EBC=180°-∠BEC - ∠BCE=180°-120°-30°=30°，
∴ ∠EBC=∠BCE，
∴ CE=BE=1，
∴ AC=AE + CE=2+1=3。
最终

10. (★★★)如图,在正方形ABCD中,F为边CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED的大小为度.

$\boldsymbol{65}$

解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠ BAE=∠ DAE=45°$，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，$BC=DC$。
在$△ ABE$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAE=∠ DAE \\AE=AE\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ADE$（SAS）。
同理可证$△ CBE ≌ △ CDE$（SAS），
∴ $∠ CDE=∠ CBF=20°$，
∴ $∠ ADE=∠ ADC-∠ CDE=90°-20°=70°$。
在$△ ADE$中：
$∠ AED=180°-∠ DAE-∠ ADE=180°-45°-70°=65°$。

11. (★★★)如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形；
(2)已知$DE=2$,连接BN,若BN平分$∠DBC$,求CN的长.

(1) 证明：
∵ $∠ A = ∠ F$，
∴ $DF // AC$，即 $DE // BC$。
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，且 $∠ 1 = ∠ AMC$（对顶角相等），
∴ $∠ 2 = ∠ AMC$，
∴ $BD // CE$。
∵ $DE // BC$，$BD // CE$，
∴ 四边形 $BCED$ 是平行四边形。
---
(2) 解：
∵ 四边形 $BCED$ 是平行四边形，
∴ $BC = DE = 2$，且 $BD // CE$，
∴ $∠ DBN = ∠ CNB$。
∵ $BN$ 平分 $∠ DBC$，
∴ $∠ DBN = ∠ CBN$，
∴ $∠ CBN = ∠ CNB$，
∴ $CN = BC = 2$。
答：$CN$ 的长为 $\boldsymbol{2}$。

12. (★★★)如图,在$□ ABCD$中,点E,F分别在边BC,AD上,$BE=DF$,$∠ AEC=90°$.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)连接BF,若$AB=6$,$∠ ABC=60°$,$BF$平分$∠ ABC$,则平行四边形ABCD的面积为.

$\boldsymbol{27\sqrt{3}}$

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$，
∵ $BE=DF$，
∴ $AD-DF=BC-BE$，即 $AF=EC$，
又∵ $AF// EC$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形，
又∵ $∠ AEC=90°$，
∴ 平行四边形$AECF$是矩形。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$∠ ABC=60°$，$AB=6$，
∴ $BE=AB·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，
$AE=AB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∵ $BF$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ FBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AFB=∠ FBC=30°$，
∴ $∠ ABF=∠ AFB=30°$，
∴ $AF=AB=6$，
∵ $DF=BE=3$，
∴ $AD=AF+DF=6+3=9$，
∴ 平行四边形$ABCD$的面积$=BC· AE=AD· AE=9×3\sqrt{3}=27\sqrt{3}$。
最终