13. (★★★)某村搬迁后新开垦的耕种田地(四边形ABCD是平行四边形)如图所示，O为田地中的一口井.
(1)如图1，项目部为了充分利用这口井，计划在相对的两块三角形的田地(△AOB，△COD)中种药材，剩下的田地(△AOD，△COB)中种蔬菜.请你比较一下蔬菜地和药材地的面积的大小，并说明理由；
(2)如图2，如果这口井(即点O)在边BC上，你能否找到一个简便的分法，使得蔬菜地和药材地的面积一样大，并且共用这口井？

(1)
解：蔬菜地和药材地的面积相等。
理由：过点O作MN⊥AD，垂足为M，MN交BC于点N。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，
∴ MN⊥BC，即ON⊥BC。
∴ $S_{△ AOD}=\frac{1}{2}AD· OM$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC· ON$，
∴ $S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}AD· OM+\frac{1}{2}BC· ON=\frac{1}{2}AD·(OM+ON)=\frac{1}{2}AD· MN$。
∵ $S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=AD· MN$，
∴ 蔬菜地面积 $S_{\mathrm{蔬菜}}=S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}$。
同理可得药材地面积 $S_{\mathrm{药材}}=S_{△ AOB}+S_{△ COD}=S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}-S_{\mathrm{蔬菜}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}$。
∴ $S_{\mathrm{蔬菜}}=S_{\mathrm{药材}}$。
(2)
解：分法如下：
连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线交于点P，过点P和点O作直线，交AD于点E。沿直线OE将田地分成两部分，其中一部分种药材，另一部分种蔬菜，即可满足蔬菜地和药材地面积相等，且共用井O。
理由：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点P是它的对称中心，过对称中心的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，因此该分法符合要求。

数学长廊
阿泰和弟弟分得一块相邻的四边形荒地.为公平起见,父亲要求他们用篱笆各自围出面积最大的一块地,且边界必须是四边形.
阿泰直接围了一个长方形,弟弟却歪歪扭扭地拉成了一个平行四边形.测量时他们惊奇地发现:尽管弟弟的篱笆歪斜,但两人的土地面积竟然相同!父亲笑着在弟弟的地块两角补钉两根木桩固定形状,歪斜的平行四边形瞬间变成了规整的矩形.他解释道:"当平行四边形的邻边互相垂直时,便是矩形.而若更进一步,当四边相等时……"说着将木桩重新钉成菱形,再调整成直角——一个完美的正方形出现了."这才是用等长篱笆围出最大面积的终极形状!"你能说说为什么正方形是"用等长篱笆围出最大面积的四边形"吗?

解：
设篱笆总长度，即四边形的周长为定值$L$。
1. 对任意周长为$L$的平行四边形，设一组邻边长度为$a$、$b$，可得$2(a+b)=L$，即$a+b=\frac{L}{2}$为定值。
设邻边的夹角为$θ$，平行四边形的面积为$S = ab·\sinθ$。
由于$0＜\sinθ≤1$，当且仅当$θ=90°$时，$\sinθ$取最大值1，此时该平行四边形为矩形，面积$S=ab$，是所有同周长平行四边形中的最大面积。
2. 对周长为$L$的矩形，由完全平方公式可得：
$(a-b)^2≥0$，展开整理得$(a+b)^2≥4ab$，即$ab≤\frac{(a+b)^2}{4}$。
代入$a+b=\frac{L}{2}$，得$ab≤(\frac{L}{4})^2$，当且仅当$a=b$时等号成立，此时矩形的四边长度相等，即为正方形。
3. 任意非平行四边形的普通四边形，同周长下的面积都小于对应调整得到的同周长平行四边形的面积，无法达到上述正方形的最大面积。
综上，等长篱笆围出的所有四边形中，正方形的面积最大。