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学习了二次根式以后，你知道海伦公式与秦九韶公式吗？下面我们一起去了解一下吧！
我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定。若给出任意一个三角形的三边长，你能求出它的面积吗？翻阅了各种资料后发现，古希腊的几何学家海伦（Heron）在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么记三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$。这一公式后来被称为海伦公式。
其实在我国古代算学专著《九章算术》中，已经有求三角形面积的公式——“底乘高的一半”。但在实际丈量三角形土地面积时，要找出高来并非易事，所以古人想到了三角形的三条边，这样求三角形的面积就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积呢？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法，化为公式如下：$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$（a, b, c分别为小斜、中斜、大斜）。
秦九韶公式与海伦公式等价。对比这两个公式，我们发现海伦公式形式美观，便于记忆；但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是用秦九韶公式处理比较方便。聪明的你能够从秦九韶公式推导出海伦公式来吗？
我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定。若给出任意一个三角形的三边长，你能求出它的面积吗？翻阅了各种资料后发现，古希腊的几何学家海伦（Heron）在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么记三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$。这一公式后来被称为海伦公式。
其实在我国古代算学专著《九章算术》中，已经有求三角形面积的公式——“底乘高的一半”。但在实际丈量三角形土地面积时，要找出高来并非易事，所以古人想到了三角形的三条边，这样求三角形的面积就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积呢？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法，化为公式如下：$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$（a, b, c分别为小斜、中斜、大斜）。
秦九韶公式与海伦公式等价。对比这两个公式，我们发现海伦公式形式美观，便于记忆；但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是用秦九韶公式处理比较方便。聪明的你能够从秦九韶公式推导出海伦公式来吗？
答案
证明：
由秦九韶公式可得
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}·\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2}·\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}\end{aligned}$
已知$p=\frac{a+b+c}{2}$，因此：
$a+b+c=2p$，
$b+c-a=2(p-a)$，
$a+c-b=2(p-b)$，
$a+b-c=2(p-c)$，
将上述式子代入根号内的表达式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{16}· 2(p-a)· 2(p-b)· 2(p-c)· 2p}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
即从秦九韶公式可推导出海伦公式。
由秦九韶公式可得
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}·\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2}·\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}\end{aligned}$
已知$p=\frac{a+b+c}{2}$，因此：
$a+b+c=2p$，
$b+c-a=2(p-a)$，
$a+c-b=2(p-b)$，
$a+b-c=2(p-c)$，
将上述式子代入根号内的表达式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{16}· 2(p-a)· 2(p-b)· 2(p-c)· 2p}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
即从秦九韶公式可推导出海伦公式。
解析
【分析】
要完成从秦九韶公式到海伦公式的推导，我们可以按三步思考：第一步，观察秦九韶公式中根号内的$a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2$，这是典型的“平方差”结构，可先用平方差公式$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$因式分解；第二步，对分解后得到的两个分式的分子整理，会发现分子也符合平方差的特征，再次用平方差公式分解，得到四个含a、b、c的一次因式的乘积；第三步，结合$p=\frac{a+b+c}{2}$，将四个一次因式全部转化为含p的表达式，代入后化简二次根式，即可得到海伦公式。
【解析】
证明：由秦九韶公式可得
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}·\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2}·\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}\end{aligned}$
已知$p=\frac{a+b+c}{2}$，因此：
$a+b+c=2p$，
$b+c-a=2(p-a)$，
$a+c-b=2(p-b)$，
$a+b-c=2(p-c)$，
将上述式子代入根号内的表达式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{16}· 2(p-a)· 2(p-b)· 2(p-c)· 2p}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
即从秦九韶公式可推导出海伦公式。
【答案】
可以从秦九韶公式推导出海伦公式，三角形面积可表示为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$。
【知识点】
平方差公式因式分解、二次根式化简、整式恒等变形
【点评】
本题结合数学史中的经典公式考查代数式变形能力，既巩固了因式分解、二次根式运算的核心知识，也能让学生感受到不同数学公式之间的内在关联，体会古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.6
要完成从秦九韶公式到海伦公式的推导，我们可以按三步思考：第一步，观察秦九韶公式中根号内的$a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2$，这是典型的“平方差”结构，可先用平方差公式$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$因式分解；第二步，对分解后得到的两个分式的分子整理，会发现分子也符合平方差的特征，再次用平方差公式分解，得到四个含a、b、c的一次因式的乘积；第三步，结合$p=\frac{a+b+c}{2}$，将四个一次因式全部转化为含p的表达式，代入后化简二次根式，即可得到海伦公式。
【解析】
证明：由秦九韶公式可得
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}·\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2}·\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}\end{aligned}$
已知$p=\frac{a+b+c}{2}$，因此：
$a+b+c=2p$，
$b+c-a=2(p-a)$，
$a+c-b=2(p-b)$，
$a+b-c=2(p-c)$，
将上述式子代入根号内的表达式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{16}· 2(p-a)· 2(p-b)· 2(p-c)· 2p}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
即从秦九韶公式可推导出海伦公式。
【答案】
可以从秦九韶公式推导出海伦公式，三角形面积可表示为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$。
【知识点】
平方差公式因式分解、二次根式化简、整式恒等变形
【点评】
本题结合数学史中的经典公式考查代数式变形能力，既巩固了因式分解、二次根式运算的核心知识，也能让学生感受到不同数学公式之间的内在关联，体会古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.6
